O universo primitivo 6. A dinâmica de um universo em expansão homogêneo, parte 2

No site de palestras gratuitas, o MIT OpenCourseWare publicou um curso de palestras sobre a cosmologia de Alan Gus, um dos criadores do modelo inflacionário do universo.

Sua atenção está convidada à tradução da sexta palestra: “Dinâmica de um universo em expansão homogêneo, parte 2”.

A impossibilidade de um universo estático

Vamos repetir brevemente o que paramos da última vez, pois não terminamos o tópico anterior.

Consideramos um universo completamente homogêneo no qual a matéria preenche todo o espaço. Lembre-se de que Newton chegou à conclusão de que esse sistema seria estático. No entanto, argumento que esse sistema não será estático, mesmo de acordo com as leis da mecânica newtoniana.


Eu forneci algumas evidências. Por exemplo, examinamos o teorema de Gauss para a lei da gravidade de Newton. Usando um raciocínio bastante simples, passamos da lei da gravidade de Newton, formulada como uma força que atua à distância, para a lei de Gauss. Se a força gravitacional é descrita pela lei de Newton, então para qualquer partícula criando um campo gravitacional, a lei de Gauss é cumprida.

Fluxo do vetor de aceleração gravitacional $$$\ vec g$ através de qualquer superfície fechada é igual $$$-4πGM$ onde $$$M$ - massa dentro da superfície. Se aplicarmos a lei de Gauss à distribuição infinita da matéria, e supormos que Newton estava certo, e não há forças gravitacionais, isso significaria que a aceleração gravitacional $$$\ vec g$ seria zero em todo lugar. Então flua $$$\ vec g$ através de qualquer superfície também será zero. No entanto $$$-4πGM$ obviamente, não é igual a zero para qualquer volume com tamanho diferente de zero e contendo uma massa diferente de zero. Assim, tal formulação da lei da gravidade de Newton mostra claramente que a distribuição infinita da matéria não pode ser estática.

Além disso, mostrei uma formulação diferente e mais moderna da lei da gravidade de Newton, a chamada equação de Poisson. Ela foi dada para quem a conhece. Se você não está familiarizado com ela, nada de ruim. Isto não é necessário.


Para esta formulação da lei da gravidade, introduzimos o potencial gravitacional φ e anotamos a aceleração gravitacional como menos o gradiente φ. Então pode ser mostrado que φ obedece à equação de Poisson,

$$$$ exibição $$ ∇ ^ 2φ = 4πGρ $$ exibição $$

onde ρ é a densidade de massa.

Novamente, é imediatamente evidente que uma distribuição estática da matéria é impossível. Se a distribuição da matéria fosse estática, então o vetor $$$\ vec g$ seria igual a 0. Isso significa que o gradiente de φ seria igual a 0. Isso significa que φ seria uma constante. Se φ seria uma constante, $$$∇ ^ 2φ$ seria igual a 0, e isso é incompatível com a equação de Poisson.

Também quero acrescentar que, de um ponto de vista moderno, equações como a equação de Poisson são consideradas mais fundamentais que a equação original de Newton, que considera a gravidade como uma ação à distância. Em particular, ao generalizar a lei de Newton para a teoria geral da relatividade, Einstein começou com a equação de Poisson, e não com a lei que descreve a força à distância.

Na teoria geral da relatividade, não há lei que descreva a ação da força à distância. A teoria geral da relatividade é formulada de maneira muito semelhante à equação de Poisson. A idéia principal subjacente a essa abordagem é que todas as leis da física conhecidas por nós podem ser expressas localmente.

A equação de Poisson é uma equação local. Essa é uma equação diferencial que ocorre em todos os pontos do espaço e não diz nada sobre como a matéria em um ponto no espaço afeta a matéria em outro ponto. Essa influência é uma conseqüência da equação e não é incorporada inicialmente à equação.

A ambiguidade do cálculo da aceleração gravitacional

Depois discutimos o que aconteceria se somarmos nossas forças usando a lei e a ação de Newton à distância. Eu mostrei que obtemos uma integral condicionalmente convergente. Essa integral converge, mas pode convergir para valores diferentes, dependendo da ordem na qual colocar as diferentes partes da integral.


Examinamos duas ordens possíveis de adição de forças. Calculamos a força em um ponto $$$P$ localizado dentro da distribuição infinita da matéria. Podemos assumir que o quadro inteiro está cheio de substância. Em nossa tarefa, a substância preenche uniformemente toda a imagem e todo o universo. A única coisa que faremos de maneira diferente em nossos dois cálculos é resumir as forças criadas pela substância em uma ordem diferente.

Se você tomar uma substância encomendada por conchas concêntricas ao redor $$$P$ , então cada shell não cria nenhuma força no ponto $$$P$ . Portanto, no limite, quando adicionamos um número infinito de conchas, a soma ainda será 0. Portanto, neste caso, obtemos $$$\ vec g$ igual a 0.

Mas a lei de Newton não nos diz nada em que ordem reunir forças. A lei de Newton simplesmente afirma que cada massa cria uma força proporcional à $$$1 / r ^ 2$ e o que é um vetor. Segundo Newton, é necessário adicionar os vetores de força criados por cada massa. Geralmente a adição de vetores é comutativa. Não importa em que ordem os empilharemos. Mas, no nosso caso, a ordem da adição é importante. Portanto, a resposta é mista.

Para ver isso, consideraremos uma ordem de adição diferente. Continuaremos a usar cascas esféricas porque são mais fáceis de trabalhar. Pode ser dobrado de outra maneira, mas qualquer outra forma é muito mais difícil de usar.

Desta vez, consideraremos conchas esféricas, centralizadas em outro ponto. Vamos chamar esse ponto $$$Q$ . Vamos calcular novamente a força no ponto $$$P$ criado pela distribuição infinita de matéria que preenche o espaço, isto é, resolveremos o mesmo problema de antes, mas adicionaremos forças em uma ordem diferente.

Na última vez, mostramos que toda a matéria dentro da esfera, centrada em $$$Q$ e um raio menor que a distância de $$$Q$ antes $$$P$ , contribui para a força no ponto $$$P$ . E todo o restante da substância pode ser dividido em conchas esféricas, para as quais o ponto $$$P$ localizado dentro. Dentro da casca esférica, a força é zero. Portanto, todo o restante da substância não contribui.

Nesse caso, a força no ponto $$$P$ igual à força criada por uma massa pontual localizada em $$$Q$ , e uma massa igual à massa total da área sombreada. Obviamente, essa força não é igual a zero. Além disso, é óbvio que podemos obter o poder que quisermos escolhendo pontos diferentes $$$Q$ . Podemos aumentar a força escolhendo um ponto mais distante. Porque a força sempre apontará na direção do ponto $$$Q$ , podemos obter energia em qualquer direção, escolhendo um ponto $$$Q$ no local apropriado.

Portanto, dependendo de como resumimos as forças, podemos obter qualquer resposta. Assim, a descrição da gravidade como uma ação à distância leva à ambiguidade. A descrição da gravidade na forma da lei de Gauss ou da lei de Poisson mostra que o sistema não pode ser estático. Em breve, tentaremos descobrir exatamente como ela se comportará.

Problema de simetria

Agora, quero voltar ao argumento que convenceu Newton da natureza estática do universo. Newton acreditava que, ao calcular a aceleração gravitacional em um determinado ponto em uma distribuição infinita da matéria, surge um problema de simetria. Todas as direções a partir deste ponto têm a mesma aparência. Se a aceleração gravitacional existe em um determinado ponto, então para onde deve ser direcionada? Esse argumento de simetria é muito lógico e soa muito convincente. Não pode haver aceleração, simplesmente porque não há direção preferida para ele.

Provavelmente seria difícil convencer Newton da falácia desse argumento. Não sei se poderíamos convencê-lo ou não. Não temos oportunidade de tentar fazer isso.
Mas se tivéssemos essa oportunidade, tentaríamos explicar a ele que a aceleração é geralmente medida em um referencial inercial. O próprio Newton sempre o descreveu assim. Para ele, havia um sistema de referência inercial único, preciso a uma velocidade constante, determinado em relação às estrelas fixas. Esta é a terminologia de Newton. Então ele determinou o referencial inercial. Todas as suas leis da física eram válidas neste sistema inercial.

Por outro lado, se todo o espaço estiver preenchido com matéria, que, como afirmamos, se contrairá, não haverá estrelas fixas. A própria idéia de um sistema de referência inercial desaparece. Não há objeto em repouso ou que se mova uniformemente em relação a qualquer referencial inercial em potencial.

Na ausência de um referencial inercial, deve-se reconhecer que todas as acelerações, como velocidades, são relativas. Podemos falar sobre a aceleração de uma partícula em relação a outra. Mas não se pode falar em aceleração absoluta de uma partícula, porque não existe um referencial inercial no qual a aceleração possa ser medida.

Quando todas as acelerações são relativas, verifica-se que a descrição correta, que finalmente deduzimos, é semelhante à lei de Hubble. A lei de Hubble é a lei das velocidades. Ele afirma que, do ponto de vista de qualquer observador, todos os outros objetos são removidos desse observador. Apesar de parecer que o observador está em um lugar especial, você pode ir para o quadro de referência de qualquer outro observador e ver exatamente a mesma imagem. Assim, o fato de todos os objetos serem removidos do observador não viola a uniformidade. Isso não quebra a simetria que estamos tentando incorporar ao sistema. O mesmo vale para a aceleração. Eu não vou provar isso agora. Mostraremos isso no curso de nossos cálculos futuros.

Em nosso universo em colapso, qualquer observador pode se considerar em repouso. Então o observador verá que todas as outras partículas estão acelerando em sua direção. Embora pareça que o observador esteja em um lugar especial, não está. Você pode ir para o quadro de referência de qualquer outro observador e ver que ele agora está em repouso, e todos os outros objetos estão acelerando em sua direção.

Modelo matemático do universo

Agora estamos prontos para ir além e construir um modelo matemático que nos mostrará como se comportará a distribuição uniforme da matéria. Primeiro, eliminamos o problema do infinito. Para fazer isso, começamos com uma bola finita. Então, no final, aumentaremos o tamanho dessa bola para o infinito.

Nosso objetivo é construir um modelo matemático do nosso universo. Queremos incluir nele as três características que discutimos anteriormente - isotropia, homogeneidade e lei de Hubble. Vamos construí-lo como um sistema mecânico, usando as leis da mecânica conhecidas por nós. Usaremos as leis de Newton. Mas garanto que, embora usemos as leis de Newton, a resposta que obtemos coincide exatamente com a resposta dada pela teoria geral da relatividade. Discutiremos mais tarde por que isso é assim. Não perderemos tempo com cálculos aproximados. Obteremos um cálculo absolutamente correto, o que nos dará uma resposta absolutamente correta.


Para construir um modelo do universo, imaginamos que nosso universo seja uma bola de tamanho finito, preenchida com matéria. Vamos $$$t_i$ - Este é o ponto inicial no tempo em nossa imagem. Este ponto no tempo não precisa ser especial, do ponto de vista da evolução do universo. Quando construímos o modelo, podemos calcular como o universo se comportará em tempos posteriores a $$$t_i$ e em épocas anteriores a $$$t_i$ . $$$t_i$ - é apenas a hora atual.

Por um tempo $$$t_i$ vamos dar a nossa bola o tamanho máximo $$$R_ {max, i}$ . Eu chamei isso de máximo, pois a bola está cheia de partículas. Portanto, essa é a distância máxima inicial do centro da bola a qualquer partícula. O significado inicial durante $$$t_i$ . Consideraremos que a substância que enche a bola é poeira de partículas muito pequenas. A substância tem uma densidade $$$ρ_i$ . A substância é homogênea e isotrópica, pelo menos isotrópica do centro.

Agora queremos adicionar a lei do Hubble. Vamos ter toda a matéria, em nosso universo modelo, expandindo e expandindo exatamente de acordo com a lei de Hubble. Ou seja, todas as velocidades serão direcionadas do centro com um valor proporcional à distância. Vou denotar a velocidade da partícula $$$v_i$ , $$$i$ velocidade inicial média. Para qualquer partícula, no momento inicial, a velocidade obedecerá à lei de Hubble. Será igual a alguma constante que vou nomear $$$H_i$ É o valor inicial da constante do Hubble vezes o vetor $$$\ vec r$ que é igual ao vetor do centro da bola para a partícula. Mostra onde a partícula em questão está localizada.

$$

$$\ vec v_i = H_i \ cdot \ vec r$$

Desta maneira $$$\ vec v_i$ - a velocidade inicial de qualquer partícula. $$$H_i$ - constante inicial do Hubble. Um $$$\ vec r$ -posição da partícula.

Como eu disse, começaremos com um sistema de tamanho finito com o qual podemos trabalhar. Sabemos como calcular exclusivamente, pelo menos em princípio, como esse sistema evoluirá sob determinadas condições iniciais. No final do cálculo, passaremos para o limite quando $$$R_ {max, i}$ tende ao infinito. Assim, estenderemos nosso modelo ao espaço infinito.

Uma pequena digressão sobre infinitos

Também quero dizer algumas palavras sobre o infinito, porque recentemente encontrei uma coisa interessante. Esta é uma pequena digressão, você pode ignorá-la. Mas para aqueles que estão interessados, o conceito de infinito apresentou uma surpresa inesperada ao considerar o multiverso, sobre o qual falei um pouco na palestra de revisão, e ao qual retornaremos no final do curso.

O multiverso tornou o trabalho com infinitos muito mais cuidadoso do que antes. No processo, aprendi algumas coisas sobre o infinito que me surpreenderam. Basicamente, na física, consideramos o infinito o limite de sistemas finitos, como fazemos em nosso modelo. Se queremos entender o comportamento de um sistema infinito, em física muitas vezes começamos olhando para um sistema finito, que é muito mais fácil trabalhar matematicamente. Então tomamos o limite no qual o sistema se torna cada vez mais.

Na física, isso funciona em quase todas as situações. Acredito que isso funcione porque assumimos que as interações físicas são locais. O que acontece muito longe não afeta o que está acontecendo aqui.

À medida que aumentamos nossa esfera, adicionamos matéria a distâncias cada vez maiores. Essa nova substância que adicionamos não afetará muito o que está acontecendo lá dentro. De fato, em nossa tarefa, a substância adicional adicionada de fora não terá nenhum efeito sobre o que está acontecendo no interior, devido ao fato de que o campo gravitacional dentro da casca esférica é 0.

Essa é uma situação típica e, por causa disso, os físicos tendem a sempre considerar infinitos como limites de sistemas finitos. No entanto, quero observar que isso nem sempre é correto. Há momentos em que isso está absolutamente errado. Os matemáticos sabem disso, mas os físicos geralmente não.

Portanto, quero observar que nem todos os infinitos são bem descritos como limites de sistemas finitos. Isso não se aplica à descrição do nosso universo modelo. Está tudo bem aqui. Continuaremos nossa discussão sobre nosso modelo depois que terminar minha breve digressão.

Como exemplo de um sistema que é infinito e não é bem descrito como o limite de sistemas finitos, podemos usar muitos números naturais $$$\ mathbb N$ .

Suponha que desejemos descrever o conjunto de números naturais como o limite de um conjunto finito. Você pode tentar considerar o conjunto de todos os números naturais como o conjunto de números naturais menor que N com N tendendo ao infinito. Se tomarmos conjuntos de mais e mais números e atingirmos o limite, obteremos o conjunto de todos os números naturais?

Você pode pensar que a resposta é sim. Argumento que o conjunto resultante não é igual ao conjunto de números inteiros. Na verdade, eu argumento que o limite não existe, portanto não pode ser igual ao conjunto de números inteiros.

Para esclarecer isso, lembrarei a você qual é o limite. Como não temos um curso de matemática, não darei uma definição rigorosa. Vou apenas dar um exemplo que atualizará os fatos que você aprendeu nos cursos de matemática.

Suponha que consideremos o limite $$$sin (x) / x$ às $$$x$ tendendo a 0. Sabe-se a que é igual. Geralmente use a regra do Lital. Mas você pode simplesmente usar a definição de limite diretamente. O valor limite é 1.

Para qualquer $$$x$ diferente de 0, podemos calcular esta expressão. At $$$x = 0$ a expressão é ambígua. Como $$$x$ chegando cada vez mais perto de 0, os números resultantes estão se aproximando de 1. Podemos obter o número arbitrariamente perto de 1 escolhendo $$$x$ perto o suficiente para 0.

Se aplicarmos o mesmo conceito ao conjunto de números inteiros de 1 a N, ele se aproximará do conjunto de todos os números naturais com o aumento de N? Os números de 1 a 10 estão próximos do conjunto de todos os números naturais? Não. E de 1 a um milhão? Ainda infinitamente longe. 1 a 1 bilhão? De 1 a 10 até o centésimo?

Independentemente do número escolhido como limite superior, ainda estamos infinitamente longe de muitos números naturais. Nós não estamos nos aproximando. Nossos conjuntos não convergem para o conjunto de números naturais. Este é um conceito diferente.

O que isso importa?Há alguma pergunta em que isso é importante: você considera os números naturais determinados de alguma outra maneira ou por esse limite? Deixe-me primeiro dizer como eles são definidos.

Se você perguntar aos matemáticos como eles determinam o conjunto de números naturais, acho que todos dirão que usam os axiomas de Peano. O ponto chave nos axiomas de Peano, que determina a existência de um número infinito de números naturais, é o axioma da sucessão.

Um dos axiomas de Peano que descrevem matematicamente números naturais é a afirmação de que todo número natural tem um número a seguir. Além disso, existem outras declarações que garantem que o próximo número não seja um dos anteriores. Assim, para qualquer número, há um número ainda maior. Esse conjunto de axiomas garante inicialmente o infinito do conjunto de números naturais. Não é considerado como o limite de conjuntos finitos e não pode ser considerado como o limite de conjuntos finitos. Porque nenhum conjunto finito é como um conjunto infinito.

Isso importa?Existem problemas nos quais é importante, podemos descrever números inteiros dessa maneira ou não? Admito que as tarefas que conheço parecem exageradas. Mas quero dizer que em matemática a palavra "artificial" não importa. Se você encontrar uma contradição em algum lugar, ninguém lhe dirá que essa contradição deve ser ignorada, porque é exagerada. Se isso é realmente uma contradição, é importante.

A questão na qual realmente importa é se consideramos os números naturais como inicialmente infinitos ou se os consideramos como um limite; por exemplo, a pergunta é: que parte dos números naturais é tão grande que, quando duplicada, deixa de ser um número natural?

Se considerarmos um conjunto finito, para qualquer N, não importa quão grande seja N, metade dos números inteiros desse conjunto é tão grande que não pode ser duplicada, permanecendo nesse conjunto. Essa proporção será cumprida, independentemente do tamanho que escolhermos N.

Por outro lado, se observarmos uma série infinita de números naturais, sabemos que qualquer número natural pode ser duplicado, apenas obtemos outro número natural. Este é um exemplo da propriedade de números naturais, que estará incorreta se considerarmos o conjunto de números naturais como um limite. Você não pode fazer isso.

Foi um pequeno retiro. Este é apenas um aviso de que você precisa ter cuidado com o infinito como o limite de conjuntos finitos. No entanto, não está diretamente relacionado ao nosso tópico.

Uma observação no formulário usado
Vamos voltar ao nosso modelo. Também quero fazer alguns comentários sobre o formulário usado no modelo. Nós usamos esferas. Você pode perguntar, por que são esferas?

A esfera é de longe a forma mais simples com a qual podemos trabalhar. A esfera também garante isotropia, pelo menos isotropia do centro. Poderíamos, tendo feito muito mais trabalho, usar, por exemplo, um cubo, aumentando o cubo cada vez mais. À medida que o cubo cresce, ele também preenche todo o espaço. Pode-se supor que esse outro método dará a mesma resposta. E é mesmo.

Se usássemos cubos, teríamos muito mais computação. Mas teríamos a mesma resposta. O cubo é bastante simétrico. Nesse caso, dará o mesmo resultado que a esfera. Não vou lhe dizer como calcular o resultado para uma forma arbitrária. Mas eu garanto que o cubo dará a mesma resposta.

Por outro lado, se usarmos paralelepípedos com três ou pelo menos dois lados diferentes, começaremos com uma figura inicialmente assimétrica. Uma das instruções será destacada. Então, se usarmos paralelepípedos, da mesma maneira que usamos esferas, criaremos inicialmente anisotropia. Obteremos um modelo anisotrópico do universo.

Como estamos tentando simular um universo real altamente isotrópico, usamos uma forma que garante a isotropia. Uma esfera é a forma mais simples que pode ser usada.

O papel da matéria na evolução do universo

Agora, vamos adicionar dinâmica ao nosso modelo. A dinâmica que adicionamos será puramente dinâmica newtoniana. Vamos considerar a substância que preenche a esfera, a poeira das partículas newtonianas ou, se você quiser, o gás das partículas newtonianas.

Essas partículas serão não-relativísticas, o que é entendido pela palavra newtoniana. Este modelo descreve nosso universo real para um segmento significativo de sua evolução, mas não para todo o período de evolução. Antes de continuarmos, quero dizer algumas palavras sobre o universo real e qual a matéria que o dominou em diferentes épocas da evolução.

No começo, em nosso universo, acreditamos que a radiação dominava. Isso significa que, se seguirmos a evolução de nosso universo no tempo e vermos o que aconteceu em épocas anteriores, os fótons da radiação cósmica de fundo sofrerão uma mudança azul.

Descobrimos que eles experimentam um desvio para o vermelho à medida que o universo se expande. Isso significa que, se extrapolarmos na direção oposta, eles sofrerão uma mudança de azul. Cada fóton está se tornando mais enérgico. O número de fótons permanece constante. Sua concentração aumenta devido a uma diminuição no volume. E eles estão se tornando mais enérgicos.

Enquanto isso, a concentração de partículas da matéria comum e da matéria escura, seja lá o que for, também aumenta quando se move para trás no tempo. Mas eles não se tornam mais enérgicos. O próton permanece uma partícula cuja energia é igual à massa dos tempos do próton$$$c^2$ .

Assim, à medida que você retrocede no tempo, a densidade de energia da radiação cósmica de fundo no microondas torna-se cada vez mais comparada com a densidade de energia da substância. Mais tarde, aprenderemos como calculá-lo exatamente. Eles são comparados em uma idade do universo de cerca de 50.000 anos.

ALUNO: Se as partículas são ondas, por que elas não mudam?

PROFESSOR: Na verdade, eles estão mudando um pouco. Mas assumimos que essas partículas têm uma velocidade desprezível. O momento deles experimenta uma mudança azul. Mas o deslocamento azul é proporcional ao valor inicial. Se o valor inicial é muito pequeno, mesmo quando é alterado, o impulso ainda permanece insignificante.

Assim, no universo real, até cerca de 50.000 anos, a radiação dominava. Falaremos sobre isso em algumas palestras. Mas hoje não levamos isso em consideração. Então, a partir de cerca de 50.000 a 9 bilhões de anos, um período bastante grande na história do universo, a matéria dominou o universo. Substância significa substância não relativista. Este é um termo padrão em cosmologia. Quando dizemos que o universo é dominado pela matéria, embora não usemos a palavra não-relativista, tudo isso está implícito. É o caso que consideraremos hoje, a substância não relativística usual que preenche o espaço.

Então outra mudança ocorreu em nosso universo real - de cerca de 9 bilhões de anos até o presente e, presumivelmente, será a mesma no futuro, a energia escura começou a dominar o universo. Energia escura é algo que faz o universo se expandir rapidamente. O universo está se expandindo rapidamente a partir de 9 bilhões de anos após o Big Bang.

A matéria comum não se transforma em energia escura, como seria de esperar devido a uma mudança no domínio. Eles apenas se comportam de maneira diferente ao expandir o universo. A densidade da matéria comum diminui proporcionalmente ao cubo do fator de escala. Um número fixo de partículas é distribuído por um volume crescente. A energia escura, por razões que aprendemos mais perto do final do curso, não altera sua densidade de energia à medida que o universo se expande. 9 bilhões de anos atrás, a densidade da matéria comum caiu abaixo da densidade da energia escura. Então a energia escura começou a dominar e o universo começou a se expandir rapidamente. Hoje, a energia escura representa cerca de 60% ou 70% da energia total. Isso não é domínio absoluto. Mas esta é a maior parte.

Para o cálculo de hoje, vamos nos concentrar no período intermediário e fingir que essa é a história toda. Voltaremos e discutiremos outras épocas. Nós não os ignoraremos. Mas hoje não vamos discuti-los.

Quebrar conchas

Portanto, consideraremos o universo em que a matéria domina. Usaremos a mecânica newtoniana. Apesar de usarmos a mecânica newtoniana, garanto-lhe, e tentarei apresentar alguns argumentos mais tarde, mas dará exatamente a mesma resposta que a teoria geral da relatividade.

Para anotar as equações que descrevem a expansão da bola, usaremos cascas esféricas. Apresentaremos nossa bola na forma de suas conchas. Em outras palavras, no momento inicial, dividimos a substância em conchas. Introduzimos uma notação para cada uma das conchas e traçamos sua evolução.

A razão pela qual podemos descrever toda a matéria com conchas é porque as velocidades iniciais de todas as partículas são direcionadas ao longo do raio. De acordo com a lei de Hubble, as velocidades são proporcionais ao vetor do raio lançado do centro da bola. Portanto, todas as nossas velocidades iniciais são direcionadas ao longo do raio.

Além disso, a gravidade newtoniana para partículas também será direcionada ao longo do raio. Portanto, o movimento de qualquer partícula será direcionado ao longo do raio. Nunca haverá forças que ajam sobre a partícula na direção tangencial, onde tangencial significa qualquer direção que não seja radial. Ao alterar o raio de cada partícula, suas variáveis ​​angulares ϑ e ϕ serão constantes no tempo. Portanto, não vou mais falar sobre eles.

Cada shell possui uma designação $$$r_i$ igual ao seu raio no momento inicial $$$t_i$ . No futuro, essa designação da concha será preservada.

Para descrever o movimento, apresentamos a função $$$r (r_i, t)$ . A função é igual ao raio da casca $$$r_i$ no tempo $$$t$ . Função $$$r (r_i, t)$ nos mostra onde o shell está a qualquer momento posterior ou anterior.

Devo dizer que no livro você verá uma conclusão mais simples do que a que lhe mostrarei. Por que estou complicando isso? O fato é que meu cálculo mostrará mais do que o indicado no livro. A maioria dos livros pressupõe que o movimento das conchas continuará a obedecer à lei de Hubble e manterá uma densidade completamente uniforme. Não assumiremos que a substância permaneça homogênea. Provamos que permanece homogêneo. Parece-me que é muito melhor provar algo do que simplesmente assumir sem provar.

Há outro problema que é um pouco mais complicado. Novamente, essa é uma sutileza que provavelmente não é mencionada nos livros didáticos. Temos várias conchas expansíveis. Podemos calcular a força que atua sobre qualquer concha se soubermos qual substância está dentro dessa concha. Conchas do lado de fora não criam força. Portanto, é muito importante saber em qual ordem as cascas estão localizadas. Inicialmente, é claro que sabemos disso. Eles são pedidos de acordo com $$$r_i$ . Mas assim que eles começam a se mover, em princípio, existe a possibilidade de que as conchas comecem a se cruzar.

Se as conchas se cruzarem, nossas equações de movimento mudarão, porque a quantidade de matéria que atua na concha mudará. Teremos que levar isso em conta. Felizmente, esse problema não ocorre. Vamos mostrar da seguinte forma. Inicialmente, todas as conchas são removidas uma da outra, de acordo com a lei de Hubble. A lei de Hubble afirma que quaisquer duas partículas se afastam uma da outra com uma velocidade relativa proporcional à sua distância. Isso vale para duas conchas. Se as conchas começarem a se cruzar, elas certamente não farão isso imediatamente. Não há duas conchas que inicialmente se aproximam. Todas as conchas são inicialmente separadas uma da outra.

Esta situação pode mudar devido às forças existentes. No entanto, podemos escrever equações que serão satisfeitas pelo menos até que as interseções das conchas apareçam. Se as cascas se cruzarem, essas equações deverão ser válidas até o momento da interseção das cascas. Portanto, as equações devem mostrar que as conchas se cruzam. Os reservatórios não podem começar a se cruzar ao contrário das equações de movimento. Veremos que, de acordo com nossas equações, não haverá interseções das conchas.

Então, escrevemos as equações que são válidas até que não haja interseções das cascas. Desde que não haja interseções das conchas, a massa total dentro de qualquer concha não depende do tempo. Estas são apenas outras conchas dentro. Assim, na concha com um raio inicial $$$r_i$ , a força criada pela massa dentro da concha atua. Podemos escrever a fórmula para a massa dentro da casca. Massa dentro da casca com um raio inicial $$$r_i$ igual ao volume inicial do invólucro multiplicado pela densidade mássica inicial, $$$ρ_i$

$$

$$M (r_i) = \ frac {4π} 3 {r_i} ^ 3ρ_i$$

Nós compomos uma equação diferencial
A lei de Newton determina a aceleração de uma partícula arbitrária em nosso sistema. A lei de Newton afirma que a aceleração é direcionada na direção oposta de um vetor de raio unitário a uma partícula e é igual aos tempos constantes de Newton da massa dentro da esfera dividida pelo quadrado da distância da concha à origem. É essa distância que é igual à função $$$r (r_i, t)$ . Este é o raio da concha em um ponto específico no tempo.

$$

$$\ vec g = - \ frac {GM (r_i)} {r ^ 2 (r_i, t)} \ hat r$$

Isso é verdade para qualquer shell indicado por uma variável. $$$r_i$ .

Esta é uma equação realmente importante. Tudo o resto se segue. Reflete o teorema de Newton que, se a massa é distribuída esfericamente simetricamente, então a massa de qualquer concha com um raio maior que a distância da partícula não contribui para a aceleração da partícula. A aceleração é determinada apenas pela massa de conchas de raios menores.

Sabemos que todos os movimentos ocorrem ao longo dos raios. Tudo o que precisamos fazer é descobrir como $$$r$ muda com o tempo. Podemos escrever isso como uma equação diferencial ordinária para $$$r$ , sem nenhum vetor.

$$

$$\ ddot r = - \ frac {4π} 3 \ frac {Gr ^ 3_iρ_i} {r ^ 2}$$

$$$\ ddot r$ É aceleração. Nós moldamos $$$M (r_i)$ da fórmula anterior. $$$r$ É uma função de $$$r_i$ e $$$t$ . Não vou mais indicar isso.

Ao expandir o sistema $$$r_i$ é apenas uma constante, diferente para cada shell, mas constante no tempo. Imagine que estamos resolvendo um problema para um shell específico. $$$ρ_i$ - isso também é uma constante. É igual à densidade no momento inicial e mantém seu valor.

Temos uma equação diferencial em que apenas o tempo muda $$$r$ e nada mais. Esta é uma equação diferencial de segunda ordem para $$$r$ .

Condições iniciais

Há uma coisa que todos devem se lembrar ao trabalhar com equações diferenciais de segunda ordem. Para ter uma solução única, precisamos de condições iniciais. Se esta é uma equação de segunda ordem, e as equações de Newton são geralmente obtidas, devemos indicar a posição inicial e a velocidade inicial para que a equação de segunda ordem dê uma resposta única.

Vamos definir o valor inicial da posição $$$r$ e valor inicial da velocidade $$$\ ponto r$ partículas. Teremos um sistema que podemos dar à matemática. Se o matemático é inteligente o suficiente, ele pode resolvê-lo.

Então, queremos definir o valor inicial $$$r$ , meios iniciais no momento $$$t_i$ . Obviamente, é apenas igual $$$r_i$ .

$$

$$r (r_i, t_i) = r_i$$

Se queremos ter uma solução única para esta equação, também precisamos definir o valor inicial da velocidade $$$\ ponto r$ . Inicial significa novamente durante $$$t_i$ . É determinado pela constante Hubble. Cada velocidade inicial de partícula é igual ao valor inicial da constante do Hubble multiplicado pelo raio.

$$

$$\ ponto r = H_ir_i$$

Esta é a extensão do Hubble que introduzimos originalmente no sistema. Temos um sistema puramente matemático. Temos uma equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais para $$$r$ e $$$\ ponto r$ . Ele fornece uma solução única. Isso é pura matemática. Não é necessária mais física, pelo menos nesta fase.

Uniformidade

Pode-se notar características matemáticas interessantes desse sistema de equações. Veremos que essas equações milagrosamente preservam a homogeneidade do nosso sistema. Está embutido nas equações. A principal característica dessas equações é que você pode se livrar de $$$r_i$ alterando variáveis.

Vamos definir uma nova função $$$u$ . Eu escolhi arbitrariamente uma carta para designar, você pode pegar qualquer.

$$

$$u (r_i, t) = \ frac {r (r_i, t)} {r_i}$$

Para qualquer função, $$$r (r_i, t)$ você sempre pode definir uma nova função que seja igual à função original dividida por $$$r_i$ .

Agora vamos ver o que acontece com nossas equações. Eu afirmo que $$$r_i$ desaparecerá. Vamos ver como isso acontece:

$$$$ display $$ \ ddot u = \ frac {\ ddot r} {r_i} = - \ frac {4π} 3 \ frac {Gr ^ 3_iρ_i} {r_ir ^ 2} = - \ frac {4π} 3 \ frac { Gr ^ 3_iρ_i} {u ^ 2r ^ 3_i} = - \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {u ^ 2} $$ display $$

A equação mostra como ocorre a contração $$$r_i$ . $$$r_i$ em um cubo no numerador é proporcional ao volume da esfera. No denominador $$$r_i$ também fica em um cubo. Um $$$r_i$ apareceu devido à substituição de variáveis, ainda $$$r ^ 2_i$ apareceu devido à lei dos quadrados inversos.

Reduzindo assim $$$r_i$ aparece se a energia diminuir conforme $$$1 / r ^ 2$ . Se a força diminuiu de acordo com outra lei, se fosse apenas um pouco diferente de $$$1 / r ^ 2$ então $$$r_i$ não seria abreviado na fórmula. É uma redução $$$r_i$ é fundamental para garantir uniformidade na evolução do sistema. Se, de acordo com Newton, a força diminuir, como $$$1 / r ^ 2$ ao quadrado, o sistema permanece homogêneo. Caso contrário, não. Este é um fato muito interessante.

Então $$$r_i$ nós recusamos. Agora temos uma equação simples para $$$\ ddot u$ mais sem $$$r_i$ na equação. Isso significa que $$$u$ dá uma solução para qualquer $$$r_i$ . Não temos mais soluções diferentes para valores diferentes $$$r_i$ . $$$r_i$ desaparece da tarefa. Temos a única solução independente de $$$r_i$ . É justo para todos. $$$r_i$ .

O que eu esqueci de mencionar? Condições iniciais. Para obter uma solução única, precisamos não apenas ter uma equação diferencial independente de $$$r_i$ . Não teremos uma solução única se não verificarmos as condições iniciais, que também não devem depender $$$r_i$ . E eles não são dependentes.

Valor inicial $$$u (r_i, t_i)$ igual ao valor inicial $$$r$ dividido por $$$r_i$ . Mas o significado inicial $$$r$ é igual a $$$r_i$ . Para qualquer $$$r_i$ nós obtemos:

$$

$$u (r_i, t_i) = \ frac {r_i} {r_i} = 1$$

Agora considere o valor inicial $$$\ ponto u$ . É igual

$$

$$\ ponto u (r_i, t_i) = \ frac {\ ponto r} {r_i} = \ frac {H_ir_i} {r_i} = H_i$$

Interpretação de Variáveis

Se você olhar atentamente, poderá entender a interpretação física da quantidade $$$u$ . $$$u$ nada mais é do que um fator de grande escala, sobre o qual falamos anteriormente.

Provamos que tínhamos um sistema em expansão uniforme. Inicialmente, tivemos uma expansão uniforme, mas não sabíamos até considerarmos a equação do movimento se o universo continuaria a se expandir uniformemente. No entanto, é assim. Isso significa que a expansão pode ser descrita usando um fator de escala.

Nós descobrimos que $$$u$ é completamente determinado por equações nas quais não há $$$r_i$ . Desta maneira $$$u$ independente de $$$r_i$ e pode ser considerado apenas uma função do tempo $$$t$ . Também podemos mudar seu nome para $$$a (t)$ para estabelecer identidade com um fator de escala:

$$

$$u (r_i, t) = u (t) \ equivale a (t)$$

Também é visto que

$$

$$r (r_i, t) = u (t) r_i = a (t) r_i$$

O que isso significa? $$$r_i$ é a coordenada associada. Marcamos cada shell de acordo com sua posição inicial, $$$r_i$ . À medida que você expande, para cada rótulo de shell $$$r_i$ salvo. Ele marca as partículas, não importa para onde elas se movam. Um $$$r$ A distância física, neste caso da origem, é igual ao fator de escala multiplicado pela distância associada.

É útil escrever essas equações de uma forma diferente. A equação diferencial anterior usada $$$ρ_i$ . Isso é muito conveniente porque $$$ρ_i$ é uma constante. Não muda com o tempo. No entanto, também é útil escrever uma equação diferencial usando o valor $$$ρ$ , que muda ao longo do tempo para ver a relação entre quantidades físicas em um determinado momento. Isso não é difícil de fazer, porque sabemos a densidade a qualquer momento.

Para qualquer concha, podemos calcular a densidade como a massa total dentro da concha dividida pelo volume. Sabemos que a densidade permanece uniforme, pois, no nosso caso, todas as distâncias são simplesmente proporcionais ao fator de escala geral. Portanto, a densidade será uniforme.

Podemos calcular a densidade dentro da casca tomando $$$M (r_i)$ , para o qual já temos uma fórmula, e que não depende do tempo, e a dividimos pelo volume dentro do shell.

$$$$ display $$ ρ (t) = \ frac {M (r_I)} {\ frac {4π} 3r ^ 3} = \ frac {\ frac {4π} 3r ^ 3_iρ_i} {\ frac {4π} 3a ^ 3r ^ 3_i} = \ frac {ρ_i} {a ^ 3} $$ display $$

Este é o resultado esperado. A densidade é igual à densidade inicial dividida pelo cubo do fator de escala. O fator de escala é 1 no momento inicial, de acordo com nossas definições. Assim, a equação fornece a razão de fatores de escala no cubo. À medida que o universo se expande, a densidade cai inversamente com o fator de escala no cubo.

Agora podemos reescrever a equação para $$$\ nãofazer um$ usando a densidade de massa atual.

$$$$ display $$ \ ddot a = \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {a ^ 2} = \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {a ^ 2} \ frac aa = \ frac {4π } 3Gρ (t) uma exibição $$ $$

Essa equação fornece uma desaceleração do universo do nosso modelo, dependendo da densidade de massa atual. Note que realmente depende apenas da densidade de massa. Determina o relacionamento $$$\ ddot a / a$ . Deve ser assim, porque lembramos que $$$a$ medido em divisões por metro. Ao mesmo tempo, as divisões são reduzidas. Nós obtemos a resposta em unidades físicas.

Eu disse no começo que, quando terminarmos, tomaremos o limite quando o raio máximo inicial $$$R_ {max, i}$ tende ao infinito. $$$R_ {max, i}$ não aparece em nenhuma dessas equações. Portanto, quando se esforça $$$R_ {max, i}$ até o infinito, nada realmente acontece. Isso significa que a resposta que recebemos não depende do tamanho da bola, se tudo o que consideramos estiver dentro da bola. Adicionar material adicional a partir do exterior não muda nada. Assim, no limite, adicionamos uma quantidade infinita de matéria externa. Para ir ao limite $$$R_ {max, i}$ tendendo ao infinito, nada precisa ser feito.

Por fim, queremos obter soluções diferentes para essa equação e entender como elas se parecem. Hoje, quero dar outro passo nessa direção, reescrevendo a equação um pouco diferente, o que nos ajudará a descobrir como são as soluções. Eu quero encontrar a primeira integral desta equação.

A primeira integral e a lei de conservação de energia

Para encontrar a primeira integral, quero voltar à equação em que é usada $$$ρ_i$ mas não $$$ρ (t)$ . Sua vantagem é que $$$ρ_i$ não depende do tempo. At $$$ρ$ Há uma dependência de tempo que não quero levar em consideração agora. Portanto, se eu usar uma fórmula que usa $$$ρ_i$ , apenas o fator de escala terá uma dependência de tempo.

Estou usando a equação anterior, mas substituirei $$$u$ em $$$a$ porque renomeamos $$$u$ em $$$a$ . Também transferirei todos os membros em uma direção. Acontece

$$

$$\ ddot a + \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {a ^ 2} = 0$$

Esta é uma equação diferencial de segunda ordem que é muito comum na mecânica newtoniana. Essa equação define $$$\ nãofazer um$ aceleração $$$a$ através de valores $$$a$ .

Na mecânica newtoniana, pode-se usar frequentemente a lei da conservação de energia. Nesse caso, não sei se deve ser chamado de conservação de energia. Mais tarde, falaremos sobre o significado físico do resultado que temos. Mas, é claro, como técnica matemática, podemos usar o mesmo método usado na mecânica newtoniana para obter a lei da conservação de energia.

Para obter a lei de conservação de energia correspondente a esta equação, multiplicamos a equação por um fator de integração, $$$\ ponto a$ . Depois disso, toda a expressão se tornará uma derivada completa. Esta equação é equivalente

$$

$$\ frac {dE} {dt} = 0, \: \: \: where \; E = \ frac 12 \ ponto a ^ 2 - \ frac {4π} 3 \ frac {G ρ_i} a$$

Isso pode ser facilmente verificado. Se eu diferenciar $$$E$ , Eu recebo exatamente essa equação. Então eles são equivalentes. Desta maneira $$$E$ é uma quantidade conservada.

Agora, se queremos amarrar $$$E$ com qualquer energia, existem várias maneiras de fazer isso. Uma maneira é multiplicar $$$E$ em $$$mr ^ 2_i$ e considere isso como a energia de uma partícula de teste na superfície de uma esfera. $$$m$ É a massa da partícula de teste. $$$r_i$ - o raio inicial da partícula de teste.

Desta maneira $$$E_ {phis}$ , ou a energia física de uma partícula de teste hipotético será igual a

$$

$$E_ {phys} = mr ^ 2_iE = \ frac 12 m (\ ponto a r_i) ^ 2- \ frac {GmM (r_i)} {ar_i} = \ frac 12 mv ^ 2- \ frac {GmM (r_i)} r$$

Se considerarmos que para uma partícula de teste $$$r_i$ É isso $$$R_ {max, i}$ isto é, estamos falando sobre a fronteira da nossa esfera, então fica claro o que está sendo preservado aqui. Acontece energia cinética mais energia potencial - onde a energia potencial é negativa - de uma partícula pontual nos limites da esfera.

Se queremos aplicar esta equação a uma partícula dentro de uma esfera, será um pouco mais difícil encontrar a interpretação correta. Se a partícula estiver dentro da esfera, se $$$r_i$ não é igual ao raio máximo da esfera, então $$$E_ {phis}$ , de fato, não é a energia potencial de uma partícula.

Para calcular a energia potencial de uma partícula, é necessário calcular que trabalho terá que ser feito para pegar a partícula no infinito e colocá-la em seu lugar. Nesse caso, a contribuição da massa localizada dentro da esfera em que a partícula está localizada, que determina a força nesse ponto, é levada em consideração. Mas também temos uma contribuição da matéria fora da esfera com a partícula.

Ao calcular a energia potencial, eu não apenas $$$Gm$ vezes a massa dentro da esfera dividida pela distância do centro. Vou ter uma expressão muito mais complexa. De fato, a energia que recebo não é conservada. Por que não é salvo?

Não é preservado, portanto, na presença de massas em movimento, não há razão para sua conservação.A energia de uma partícula pontual que se move em um campo de massas estáticas é conservada. É isso que você sabe dos cursos relevantes. Se outras partículas se moverem, a energia total de todo o sistema é conservada. Mas a energia potencial de uma partícula em particular que se move no campo gravitacional de outras partículas pode não ser conservada.

Além da energia das partículas, a energia total do sistema também é armazenada no limite. Ela será associada a$$$E$outra constante de proporcionalidade e será preservada por uma razão óbvia. Aqui você precisa ter cuidado para entender o que é salvo, por que e como usá-lo.