Na memória do meu professor, o primeiro decano da Faculdade de Física e Matemática do Instituto Politécnico Novocherkassk, chefe do Departamento de Mecânica Teórica, Alexander Nikolayevich Kabelkov

1. Introdução

Agosto, o verão está chegando ao fim. As pessoas correram furiosamente para o mar, e sim, não é de surpreender - a própria estação. Enquanto isso, em Habr, a pseudociência floresce e cheira a cores violentas . Se falarmos sobre o tópico desta edição de "Modelagem ...", combinaremos negócios com prazer - continuaremos o ciclo prometido e lutaremos um pouco com essa pseudociência pelas mentes curiosas da juventude moderna.


Mas a questão não é válida - desde os anos escolares, acreditávamos que nosso satélite mais próximo no espaço sideral - a Lua se move ao redor da Terra com um período de 29,5 dias, especialmente sem entrar em detalhes relacionados. De fato, nosso vizinho é um tipo de objeto astronômico, e até certo ponto único, cujo movimento ao redor da Terra não é tão simples como alguns de meus colegas do exterior mais próximo gostariam.

Portanto, deixando de lado a polêmica, tentaremos de diferentes lados, na medida de nossa competência, considerar esta tarefa incondicionalmente bela, interessante e muito reveladora.

1. A lei da gravidade e que conclusões podemos tirar dela

Descoberta na segunda metade do século XVII, por Sir Isaac Newton, a lei da gravidade sugere que a Lua é atraída para a Terra (e a Terra para a Lua!) Com uma força direcionada ao longo da linha que liga os centros dos corpos celestes em consideração e iguais em magnitude

$$

$$F_ {1,2} = G \, \ frac {m_1 \, m_2} {r_ {1,2} ^ 2}$$

onde m ₁ , m ₂ são as massas, respectivamente, da Lua e da Terra; G = 6,67e-11 m3 / (kg * s2) - constante gravitacional; r _1,2 é a distância entre os centros da lua e da terra. Se levarmos em conta apenas essa força, então, tendo resolvido o problema do movimento da Lua como satélite da Terra e aprendendo a calcular a posição da Lua no céu contra o fundo das estrelas, em breve nos convenceremos, por medições diretas das coordenadas equatoriais da Lua, que em nosso conservatório nem tudo é tão suave quanto Eu gostaria de E o ponto aqui não é a lei da gravitação universal (e, nos estágios iniciais do desenvolvimento da mecânica celeste, tais pensamentos eram expressos com bastante frequência), mas a indignação inexplicada do movimento da lua de outros corpos. Quais? Nós olhamos para o céu e nosso olhar repousa imediatamente sobre uma massa pesada de uma bola de plasma de 1,99e30 kg bem embaixo do nariz - o sol. A lua é atraída pelo sol? Assim, com uma força igual em valor absoluto

$$

$$F_ {1,3} = G \, \ frac {m_1 \, m_3} {r_ {1,3} ^ 2}$$

onde m ₃ é a massa do sol; r _1.3 é a distância da lua ao sol. Compare esse poder com o anterior.

$$

$$\ frac {F_ {1,3}} {F_ {1,2}} = \ frac {G \, \ frac {m_1 \, m_3} {r_ {1,3} ^ 2}} {G \, \ frac {m_1 \, m_2} {r_ {1,2} ^ 2}} = \ frac {m_3} {m_2} \, \ left (\ frac {r_ {1,2}} {r_ {1,3}} \ right) ^ 2$$

Vamos tomar a posição dos corpos em que a atração da Lua pelo Sol será mínima: todos os três corpos estão em uma linha reta e a Terra está localizada entre a Lua e o Sol. Nesse caso, nossa fórmula assumirá a forma:

$$

$$\ frac {F_ {1,3}} {F_ {1,2}} = \ frac {m_3} {m_2} \, \ left (\ frac {\ rho} {a + \ rho} \ right) ^ 2$$

onde $$$\ rho = 3.844 \ cdot 10 ^ {8}$ , m - a distância média da Terra à Lua; $$$a = 1.496 \ cdot10 ^ {11}$ , m - a distância média da Terra ao Sol. Substituímos parâmetros reais nessa fórmula

$$

$$\ frac {F_ {1,3}} {F_ {1,2}} = \ frac {1,99 \ cdot 10 ^ {30}} {5,98 \ cdot10 ^ {24}} \, \ left (\ frac {3,844 \ cdot10 ^ {8}} {1,496 \ cdot10 ^ {11} + 3,844 \ cdot10 ^ {8}} \ right) ^ 2 = US $ 2,1$$

Este é o número! Acontece que a Lua é atraída pelo Sol por uma força mais que o dobro da força de sua atração pela Terra.

Esse distúrbio não pode mais ser ignorado e definitivamente afetará a trajetória final da lua. Vamos além, levando em consideração a suposição de que a órbita da Terra é circular com raio a, encontramos o local geométrico dos pontos ao redor da Terra, onde a força de atração de qualquer objeto para a Terra é igual à força de atração ao Sol. Será uma esfera com um raio

$$

$$R = \ frac {a \, \ sqrt {\ gama}} {1 - \ gama}$$

deslocados ao longo da linha que liga a Terra e o Sol ao lado oposto à direção do Sol por uma distância

$$

$$l = R \, \ sqrt {\ gama}$$

onde $$$\ gama = m_2 / m_3$ - a relação entre a massa da terra e a massa do sol. Substituindo os valores numéricos dos parâmetros, obtemos as dimensões reais desta região: R = 259300 quilômetros el = 450 quilômetros. Essa esfera é chamada de esfera de gravidade da Terra em relação ao Sol.

A órbita conhecida da lua fica fora desta região. Ou seja, em qualquer ponto da trajetória, a Lua experimenta uma atração significativamente maior pelo lado do Sol do que pelo lado da Terra.

2. Satélite ou planeta? Âmbito gravitacional

Essas informações frequentemente suscitam o debate de que a Lua não é um satélite da Terra, mas um planeta independente do sistema solar, cuja órbita é perturbada pela atração de uma Terra próxima.

Vamos avaliar a perturbação introduzida pelo Sol na trajetória da Lua em relação à Terra, bem como a perturbação introduzida pela Terra na trajetória da Lua em relação ao Sol, usando o critério proposto por P. Laplace. Considere três corpos: o Sol (S), a Terra (E) e a Lua (M).
Assumimos que as órbitas da Terra em relação ao sol e da Lua em relação à Terra são circulares.


Considere o movimento da lua em um referencial inercial geocêntrico. A aceleração absoluta da lua no sistema de referência heliocêntrico é determinada pelas forças da gravidade que atuam sobre ela e é igual a:

$$

$$\ vec a_1 = \ vec a_1 ^ {(3)} + \ vec a_1 ^ {(2)} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3} + \ frac {1} { m_1} \, \ vec F_ {1,2}$$

Por outro lado, de acordo com o teorema de Coriolis, a aceleração absoluta da lua

$$

$$\ vec a_1 = \ vec a_2 + \ vec a_ {1,2}$$

onde $$$\ vec a_2$ - aceleração portátil igual à aceleração da Terra em relação ao Sol; $$$\ vec a_ {1,2}$ - Aceleração da lua em relação à Terra. Não haverá aceleração Coriolis aqui - o sistema de coordenadas escolhido por nós se move progressivamente. A partir daqui, obtemos a aceleração da lua em relação à terra

$$

$$\ vec a_ {1,2} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3} + \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,2} - \ vec a_2$$

Parte dessa aceleração igual a $$$\ vec a_1 ^ {(2)} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,2}$ devido à atração da lua para a terra e caracteriza seu movimento geocêntrico imperturbável. O resto de

$$

$$\ Delta \ vec a_ {1,3} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3} - \ vec a_2$$

Aceleração da lua causada pela perturbação do sol.

Se considerarmos o movimento da lua em um sistema de referência inercial heliocêntrico, tudo será muito mais simples, aceleração $$$\ vec a_1 ^ {(3)} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3}$ caracteriza o movimento heliocêntrico imperturbado da lua e a aceleração $$$\ Delta \ v a \ {1,2} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,2}$ - perturbação deste movimento do lado da terra.

Dados os parâmetros das órbitas da Terra e da Lua existentes na época atual, a desigualdade

$$

$$\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,3} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(2)} |} <\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,2} |} {| \ v a a {1} ^ {(3)} |} \ quad \ quad (1)$$

que pode ser verificado por cálculo direto, mas vou me referir à fonte , para não confundir o artigo desnecessariamente.

O que significa desigualdade (1)? Sim, o fato de que, em termos relativos, o efeito da perturbação da Lua pelo Sol (e muito significativamente) é menor que o efeito da atração da Lua para a Terra. Por outro lado, a indignação da Terra pela trajetória geolocêntrica da Lua tem uma influência decisiva na natureza de seu movimento. A influência da gravidade da Terra, neste caso, é mais significativa, o que significa que a Lua "pertence" à Terra por direito e é seu satélite.

Outra coisa é interessante: transformando a desigualdade (1) em uma equação, você pode encontrar o lugar geométrico dos pontos em que os efeitos da perturbação da Lua (e de qualquer outro corpo) são idênticos à Terra e ao Sol. Infelizmente, isso não é tão simples como no caso da esfera de gravidade. Os cálculos mostram que essa superfície é descrita por uma equação de ordem maluca, mas está próxima de um elipsóide de revolução. Tudo o que podemos fazer sem problemas desnecessários é avaliar as dimensões gerais dessa superfície em relação ao centro da Terra. Resolvendo a equação numericamente

$$

$$\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,3} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(2)} |} = \ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,2} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(3)} |} \ quad \ quad (2)$$

em relação à distância do centro da Terra à superfície desejada em um número suficiente de pontos, obtemos a seção transversal da superfície desejada pelo plano eclíptico


Para maior clareza, a órbita geocêntrica da lua e a esfera de gravidade da terra que encontramos acima em relação ao sol são mostradas aqui. Pode-se ver pela figura que a esfera de influência, ou a esfera da ação gravitacional da Terra em relação ao Sol, é a superfície da revolução em relação ao eixo X, achatada ao longo da linha reta que liga a Terra e o Sol (ao longo do eixo do eclipse). A órbita da lua está profundamente dentro desta superfície imaginária.

Para cálculos práticos, essa superfície é convenientemente aproximada por uma esfera com um centro no centro da Terra e um raio igual a

$$

$$r = a \, \ left (\ frac {m} {M} \ right) ^ {\ frac {2} {5}} \ quad \ quad (3)$$

onde m é a massa de um corpo celeste menor; M é a massa de um corpo maior em cujo campo gravitacional um corpo menor se move; a é a distância entre os centros dos corpos. No nosso caso

$$

$$r = a \, \ left (\ frac {m_2} {m_3} \ right) ^ {\ frac {2} {5}} = 1.496 \ cdot10 ^ {11} \, \ left (\ frac {5.98 \ cdot10 ^ {24}} {1,99 \ cdot10 ^ {30}} \ right) ^ {\ frac {2} {5}} = 925000, \, km$$

Esse milhão de quilômetros inacabados é o limite teórico além do qual o poder da velha da Terra não se estende - sua influência nas trajetórias dos objetos astronômicos é tão pequena que pode ser negligenciada. Isso significa que o lançamento da Lua em uma órbita circular a uma distância de 38,4 milhões de quilômetros da Terra (como alguns linguistas fazem) falhará, é fisicamente impossível.

Essa esfera, para comparação, é mostrada na figura por uma linha tracejada azul. Nos cálculos avaliativos, assume-se que um corpo dentro desta esfera experimentará gravitação exclusivamente do lado da Terra. Se o corpo estiver fora desta esfera, consideramos que ele se move no campo gravitacional do Sol. Na astronáutica prática, é conhecido o método de conjugar seções cônicas, que permite calcular aproximadamente a trajetória de uma espaçonave usando uma solução do problema de dois corpos. Além disso, todo o espaço que o aparelho supera é dividido em esferas de influência semelhantes.

Por exemplo, agora está claro que, para ter a capacidade teórica de fazer manobras para entrar na órbita da lua próxima, a espaçonave deve cair dentro da esfera de ação da Lua em relação à Terra. Seu raio é facilmente calculado pela fórmula (3) e tem 66 mil quilômetros.

Assim, a Lua pode ser corretamente considerada um satélite da Terra. No entanto, devido à influência significativa do campo gravitacional do Sol, ele não se move no campo gravitacional central, o que significa que sua trajetória não é uma seção cônica.

3. O problema dos três corpos na formulação clássica

Portanto, consideraremos um problema modelo em um cenário geral, conhecido na mecânica celeste como o problema dos três corpos. Vamos considerar três corpos de massa arbitrária localizados arbitrariamente no espaço e movendo-se exclusivamente sob a influência de forças de atração gravitacional mútua


Consideramos corpos como pontos materiais. A posição dos corpos será contada de forma arbitrária, à qual o sistema de referência inercial Oxyz está associado. A posição de cada um dos corpos é definida pelo vetor raio, respectivamente $$$\ vec r_1$ , $$$\ vec r_2$ e $$$\ vec r_3$ . A força da atração gravitacional do lado de dois outros corpos atua sobre cada corpo, além disso, de acordo com o terceiro axioma da dinâmica de pontos (3ª lei de Newton)

$$

$$\ vec F_ {i, j} = - \ vec F_ {j, i} \ quad \ quad (4)$$

Escrevemos as equações diferenciais de movimento de cada ponto em forma vetorial

$$

$$\ begin {align} e m_1 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ vec F_ {1,2} + \ vec F_ {1,3} \\ & m_2 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = \ v F_ {2,1} + \ vec F_ {2,3} \\ & m_3 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = \ vec F_ {3,1} + \ vec F_ {3,2} \ end {align$$

ou, levando em consideração (4)

$$

$$\ begin {align} e m_1 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ vec F_ {1,2} + \ vec F_ {1,3} \\ & m_2 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - \ vec F_ {1,2} + \ vec F_ {2,3} \\ & m_3 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} { dt ^ 2} = - \ vec F_ {1,3} - \ vec F_ {2,3} \ end {align$$

De acordo com a lei da gravitação universal, as forças de interação são direcionadas ao longo dos vetores

$$

$$\ begin {align} e \ vec r_ {1,2} = \ vec r_2 - \ vec r_1 \\ & \ vec r_ {1,3} = \ vec r_3 - \ vec r_1 \\ & \ vec r_ {2 , 3} = \ vec r_3 - \ vec r_2 \\ \ end {align$$

Ao longo de cada um desses vetores, emitimos um vetor unitário correspondente

$$

$$\ vec e_ {i, j} = \ frac {1} {r_ {i, j}} \, \ vec r_ {i, j}$$

então cada uma das forças gravitacionais é calculada pela fórmula

$$

$$\ vec F_ {i, j} = G \, \ frac {m_i \, m_j} {r_ {i, j} ^ 2} \, \ vec e_ {i, j}$$

Diante de tudo isso, o sistema de equações de movimento assume a forma

$$

$$\ begin {align} e \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ frac {G \, m_2} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2 } + \ frac {G \, m_3} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - \ frac {G \, m_1} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2} + \ frac {G \, m_3} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = - \ frac {G \, m_1} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} - \ frac {G \, m_2} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \ end {align$$

Introduzimos a notação aceita na mecânica celeste

$$

$$\ mu_i = G \, m_i$$

É o parâmetro gravitacional do centro de atração. Então as equações de movimento assumirão a forma final do vetor

$$

$$\ begin {align} e \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ frac {\ mu_2} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2} + \ frac {\ mu_3} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - \ frac {\ mu_1} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2} + \ frac {\ mu_3} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \ \ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = - \ frac {\ mu_1} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} - \ frac {\ mu_2} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ v r r {2,3} \ end {align$$

4. Racionamento de equações para variáveis ​​adimensionais

Uma técnica bastante popular na modelagem matemática é a redução de equações diferenciais e outras relações que descrevem o processo para coordenadas de fase sem dimensão e tempo sem dimensão. Outros parâmetros também são normalizados. Isso nos permite considerar, embora com o uso de modelagem numérica, mas de uma forma bastante geral, toda uma classe de problemas típicos. Deixo a questão de como isso se justifica em cada problema a ser resolvido, mas concordo que, nesse caso, essa abordagem é bastante justa.

Introduzimos um corpo celeste abstrato com um parâmetro gravitacional $$$\ mu$ , de modo que o período de rotação do satélite em uma órbita elíptica com um semi-eixo principal $$$a$ em torno dele é igual $$$T$ . Todas essas quantidades, em virtude das leis da mecânica, estão relacionadas pela relação

$$

$$T = 2 \, \ pi \, \ left (\ frac {a ^ 3} {\ mu} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}$$

Introduzimos a substituição de parâmetros. Para a posição dos pontos do nosso sistema

$$

$$\ vec r_i = a \, \ vec \ xi_i$$

onde $$$\ vec \ xi_i$ - vetor de raio sem dimensão do i-ésimo ponto;
para parâmetros gravitacionais de corpos

$$

$$\ mu_i = \ varkappa_i \, \ mu$$

onde $$$\ varkappa_i$ - parâmetro gravitacional adimensional do i-ésimo ponto;
por tempo

$$

$$t = T \, \ tau$$

onde $$$\ tau$ - tempo sem dimensão.

Agora, recalculamos os pontos de aceleração do sistema por meio desses parâmetros sem dimensão. Aplicamos a diferenciação direta de tempo duplo. Para velocidades

$$

$$\ vec v_i = \ frac {d \ vec r_i} {dt} = a \, \ frac {d \ vec \ xi_i} {dt} = \ frac {a} {T} \, \ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau} = \ frac {1} {2 \, \ pi} \, \ sqrt {\ frac {\ mu} {a}} \, \ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau }.$$

Para aceleração

$$

$$\ vec a_i = \ frac {d \ vec v_i} {dt} = \ frac {1} {2 \, \ pi} \, \ sqrt {\ frac {\ mu} {a}} \, \ frac {1 } {dt} \ left (\ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau} \ right) = \ frac {1} {4 \, \ pi ^ 2} \, \ frac {\ mu} {a ^ 2} \, \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_i} {d \ tau ^ 2}$$

Ao substituir as relações obtidas nas equações de movimento, tudo se reduz elegantemente a belas equações:

$$

$$\ begin {align} e \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_1} {d \ tau ^ 2} = 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_2 \, \ frac {\ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} + 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_3 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_2} {d \ tau ^ 2} = -4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_1 \, \ frac {\ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} + 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_3 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2 | ^ 3} \ quad \ quad (5) \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_3} {d \ tau ^ 2} = -4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_1 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} - 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_2 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2 | ^ 3} \ end {align$$

Este sistema de equações ainda é considerado não integrável em funções analíticas. Por que é considerado e não é? Como os sucessos da teoria das funções de uma variável complexa levaram ao fato de que uma solução geral para o problema dos três corpos apareceu em 1912 - Karl Zundman encontrou um algoritmo para encontrar os coeficientes para séries infinitas com relação a um parâmetro complexo, que teoricamente é uma solução geral para o problema dos três corpos. Mas ... para a aplicação da série Sundman em cálculos práticos com a precisão necessária para eles, é necessário obter um número tão grande de membros dessas séries que essa tarefa excede em muito as capacidades dos computadores ainda hoje.

Portanto, a integração numérica é a única maneira de analisar a solução da equação (5)

5. Cálculo das condições iniciais: obtemos os dados iniciais

Como escrevi anteriormente , antes de iniciar a integração numérica, você deve calcular as condições iniciais do problema que está sendo resolvido. No problema em consideração, a busca pelas condições iniciais se transforma em um subproblema independente, pois o sistema (5) nos fornece nove equações escalares de segunda ordem que, ao passar para a forma normal de Cauchy, aumentam a ordem do sistema por um fator de 2. Ou seja, precisamos calcular até 18 parâmetros - as posições iniciais e os componentes da velocidade inicial de todos os pontos no sistema. Onde obtemos dados sobre a posição dos corpos celestes que nos interessam? Vivemos em um mundo onde uma pessoa caminhou na lua - naturalmente, a humanidade deve ter informações sobre como essa lua se move e onde está localizada.

Ou seja, você diz, cara, está nos oferecendo para tirar livros astronômicos grossos das prateleiras, tirar a poeira deles ... Não adivinhe! Sugiro ir à NASA para aqueles que realmente caminharam na Lua, a saber, o Jet Propulsion Laboratory, Pasadena, Califórnia. Aqui - interface da web do JPL Horizonts .

Aqui, depois de algum tempo estudando a interface, obteremos todos os dados que precisamos. Escolha uma data, por exemplo, sim, não nos importamos, mas que seja 27 de julho de 2018 UT 20:21. Nesse exato momento, foi observada a fase completa do eclipse lunar. O programa nos dará um enorme calçado


Brrr, o que é isso? Sem pânico, não há nada a temer para quem estudou astronomia, mecânica e matemática bem na escola. Portanto, o mais importante são as coordenadas finais procuradas e os componentes de velocidade da lua.

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 1.537109094089627E-03 Y =-2.237488447258137E-03 Z = 5.112037386426180E-06 VX= 4.593816208618667E-04 VY= 3.187527302531735E-04 VZ=-5.183707711777675E-05 LT= 1.567825598846416E-05 RG= 2.714605874095336E-03 RR=-2.707898607099066E-06 $$EOE 

Sim, sim, eles são cartesianos! Se você ler atentamente todo o calçado, descobriremos que a origem desse sistema de coordenadas coincide com o centro da terra. O plano XY fica no plano da órbita da Terra (plano eclíptico) para a era do J2000. O eixo X é direcionado ao longo da linha de interseção do plano equatorial da Terra e a eclíptica no equinócio vernal. O eixo Z olha na direção do pólo norte da Terra perpendicular ao plano eclíptico. Bem, o eixo Y complementa toda essa felicidade para os três vetores certos. Por padrão, unidades de coordenadas: unidades astronômicas (smarties da NASA também fornecem a magnitude da unidade autônoma em quilômetros). Unidades de velocidade: unidades astronômicas por dia, presume-se que o dia seja 86400 segundos. Recheio completo!

Podemos obter informações semelhantes para a Terra.


Aqui, o baricentro (centro de massa) do sistema solar é selecionado como a origem. Dados de interesse para nós

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 5.755663665315949E-01 Y =-8.298818915224488E-01 Z =-5.366994499016168E-05 VX= 1.388633512282171E-02 VY= 9.678934168415631E-03 VZ= 3.429889230737491E-07 LT= 5.832932117417083E-03 RG= 1.009940888883960E+00 RR=-3.947237246302148E-05 $$EOE 

Para a lua, precisamos das coordenadas e da velocidade em relação ao baricentro do sistema solar, podemos calculá-las ou pedir à NASA que nos forneça esses dados

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 5.771034756256845E-01 Y =-8.321193799697072E-01 Z =-4.855790760378579E-05 VX= 1.434571674368357E-02 VY= 9.997686898668805E-03 VZ=-5.149408819470315E-05 LT= 5.848610189172283E-03 RG= 1.012655462859054E+00 RR=-3.979984423450087E-05 $$EOE 

Maravilhoso! Agora você precisa processar levemente os dados recebidos com um arquivo.

6.38 papagaios e uma asa de papagaio

Para começar, determinaremos a escala, porque nossas equações de movimento (5) são escritas na forma adimensional. Os dados fornecidos pela própria NASA nos dizem que vale a pena levar uma unidade astronômica para a escala de coordenadas. Consequentemente, tomaremos o Sol como o corpo padrão para o qual normalizaremos as massas de outros corpos e o período da revolução da Terra em torno do Sol como a escala de tempo.

É claro que tudo isso é muito bom, mas não estabelecemos as condições iniciais para o sol. "Por quê?" Um linguista me perguntaria. E eu responderia que o sol não está imóvel, mas também gira em sua órbita em torno do centro de massa do sistema solar. Isso pode ser visto olhando os dados da NASA para o Sol.

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 6.520050993518213E+04 Y = 1.049687363172734E+06 Z =-1.304404963058507E+04 VX=-1.265326939350981E-02 VY= 5.853475278436883E-03 VZ= 3.136673455633667E-04 LT= 3.508397935601254E+00 RG= 1.051791240756026E+06 RR= 5.053500842402456E-03 $$EOE 

Observando o parâmetro RG, vemos que o sol gira em torno do baricentro do sistema solar e, em 27 de julho de 2018, o centro da estrela está a um milhão de quilômetros dele. O raio do Sol, para referência - 696 mil quilômetros. Ou seja, o baricentro do sistema solar fica a meio milhão de quilômetros da superfície da estrela. Porque Sim, porque todos os outros corpos que interagem com o Sol também lhe dão aceleração, principalmente, é claro, Júpiter pesado. Consequentemente, o Sol também tem sua própria órbita.

Obviamente, podemos escolher esses dados como condições iniciais, mas não - estamos resolvendo o problema de três corpos do modelo, e Júpiter e outros caracteres não estão incluídos nele. Portanto, em detrimento do realismo, conhecendo a posição e a velocidade da Terra e da Lua, recalculamos as condições iniciais do Sol, para que o centro de massa do sistema Sol-Terra-Lua esteja na origem. Para o centro de massa do nosso sistema mecânico, a equação

$$

$$(m_1 + m_2 + m_3) \, \ vec r_C = m_1 \, \ vec r_1 + m_2 \, \ vec r_2 + m_3 \, \ vec r_3$$

Colocamos o centro de massa na origem, ou seja, pedimos $$$\ vec r_C = 0$ então

$$

$$m_1 \, \ vec r_1 + m_2 \, \ vec r_2 + m_3 \, \ vec r_3 = 0$$

de onde

$$

$$\ begin {align} & m_3 \, \ vec r_3 = -m_1 \, \ vec r_1 - m_2 \, \ vec r_2 \\ & \ vec r_3 = - \ frac {m_1} {m_3} \ vec r_1 - \ frac {m_2} {m_3} \, \ vec r_2 \ end {align$$

Vamos passar para coordenadas e parâmetros sem dimensão, escolhendo $$$\ mu = \ mu_3$

$$

$$\ vec \ xi_3 = - \ varkappa_1 \ vec \ xi_1 - \ varkappa_2 \ vec \ xi_2 \ quad \ quad (6)$$

Diferenciando (6) em relação ao tempo e passando para o tempo sem dimensão, também obtemos a relação para as velocidades

$$

$$\ vec u_3 = - \ varkappa_1 \, \ vec u_1 - \ varkappa_2 \, \ vec u_2$$

onde $$$\ vec u_i = \ cfrac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau}, \ forall i = \ overline {1,3}$

Agora vamos escrever um programa que formará as condições iniciais em nossos "papagaios" escolhidos. Em que escreveremos? Claro que em Python! Afinal, como você sabe, esta é a melhor linguagem para modelagem matemática.

No entanto, se nos afastarmos do sarcasmo, realmente tentaremos o python para esse fim, e por que não? Definitivamente vou fornecer um link para todo o código no meu perfil do Github .


Exaustão do programa

    mu[0] = 4901783000000.0 mu[1] = 386326400000000.0 mu[2] = 1.326663e+20    xi[0] = 3.6948215183509304e-08 xi[1] = 2.912016088486677e-06 xi[2] = 1.0   T = 31563683.35432583   , ..: [ 5.77103476e-01 -8.32119380e-01 -4.85579076e-05]   , ..: [ 5.75566367e-01 -8.29881892e-01 -5.36699450e-05]   , ..: [-1.69738146e-06 2.44737475e-06 1.58081871e-10]   , /: [24838.98933473 17310.56333294 -89.15979106] -//- : [ 5.24078311 3.65235907 -0.01881184]   , /: [2.40435899e+04 1.67586567e+04 5.93870516e-01] -//- : [5.07296163e+00 3.53591219e+00 1.25300854e-04]   , /: [-7.09330769e-02 -4.94410725e-02 1.56493465e-06] -//- : [-1.49661835e-05 -1.04315813e-05 3.30185861e-10] 

7. Integração de equações de movimento e análise de resultados

Na verdade, a integração em si é reduzida a um procedimento mais ou menos padrão para preparar um sistema de equações para o SciPy: transformar o sistema ODE na forma de Cauchy e chamar as funções correspondentes do solucionador. Para converter o sistema na forma Cauchy, lembramos que

$$

$$\ vec u_i = \ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau}, \ forall i = \ overline {1,3} \ quad \ quad (7)$$

Em seguida, introduzindo o vetor de estado do sistema

$$

$$\ vec y = \ left [\ vec \ xi_1, \ vec \ xi_2, \ vec \ xi_1, \ vec u_1, \ vec u_2, \ vec u_3 \ right] ^ T$$

reduzimos (7) e (5) a uma equação vetorial

$$

$$\ frac {d \ vec y} {d \ tau} = \ vec f (\ tau, \ vec y) \ quad \ quad (8)$$

Para integrar (8) às condições iniciais existentes, escrevemos um pouco, muito pouco código


Vamos ver o que temos. A trajetória espacial da Lua nos primeiros 29 dias a partir do ponto de partida escolhido


bem como sua projeção no plano da eclíptica.


“Ei tio, o que você está nos dando ?! Este é o círculo!

Em primeiro lugar, não é um círculo - é notável uma mudança na projeção da trajetória da origem para a direita e para baixo. Em segundo lugar - não percebe nada? Não é mesmo?


Prometo preparar uma justificativa para o fato (com base na análise de erros de conta e dados da NASA) de que o deslocamento do caminho obtido não é uma conseqüência dos erros de integração. Até agora, sugiro que o leitor aceite minha palavra - esse deslocamento é uma consequência do distúrbio solar da trajetória lunar. Torça outra vez



A que horas Além disso, preste atenção ao fato de que, com base nos dados iniciais do problema, o Sol está localizado exatamente no lado em que a trajetória da Lua muda a cada revolução. Sim, este sol insolente rouba de nós nosso amado companheiro! Oh, é o sol!

Podemos concluir que a gravidade solar afeta a órbita da lua de maneira bastante significativa - a velha mulher não anda no céu duas vezes da mesma maneira. Uma imagem durante meio ano de movimento permite (pelo menos qualitativamente) convencer-se disso (a imagem é clicável)



Interessante? Claro que você faria. Astronomia é geralmente uma ciência divertida.

Postscript

Na universidade onde estudei e trabalhei por quase sete anos - a Novocherkassk Polytechnic - a Olimpíada Zonal de estudantes de mecânica teórica das universidades do norte do Cáucaso era realizada anualmente. Três vezes fizemos a Olimpíada de toda a Rússia. Na abertura, nosso principal “atleta olímpico”, o professor A. Kondratenko, sempre dizia: “O acadêmico Krylov chamou a mecânica de poesia das ciências exatas”.

Eu amo mecânica. Todo o bem que consegui em minha vida e carreira aconteceu graças a essa ciência e a meus maravilhosos professores. Eu respeito mecânica.

Portanto, nunca permitirei que alguém zombe dessa ciência e a explore descaradamente para seus próprios propósitos, mesmo que ele tenha sido pelo menos três vezes doutor em ciências e quatro vezes linguista, e tenha desenvolvido pelo menos um milhão de programas de estudo. Acredito sinceramente que escrever artigos sobre um recurso público popular deve proporcionar uma revisão cuidadosa e design normal (as fórmulas LaTeX não são um capricho dos desenvolvedores do recurso!) E a ausência de erros que levem a resultados que violem as leis da natureza. O último é geralmente um deve ter.

Costumo dizer aos meus alunos: "o computador libera suas mãos, mas isso não significa que você também precise desligar o cérebro".

Para apreciar e respeitar a mecânica, exorto vocês, meus queridos leitores. Terei prazer em responder a quaisquer perguntas e, como prometido, publicarei o código-fonte de um exemplo de solução do problema de três corpos no Python, publicarei o Github no meu perfil .

Obrigado pela atenção!