O princípio da menor ação. Parte 1

Quando aprendi sobre esse princípio, tive um sentimento de algum tipo de misticismo. Parece que a natureza misteriosamente percorre todos os caminhos possíveis do sistema e seleciona o melhor deles.

Hoje eu quero falar um pouco sobre um dos princípios físicos mais notáveis ​​- o princípio da menor ação.

Antecedentes

Desde os dias de Galileu, sabia-se que corpos que não são afetados por nenhuma força se movem em linhas retas, ou seja, pelo caminho mais curto. Os raios de luz se propagam em linhas retas.

Quando refletida, a luz também se move de maneira a ir de um ponto a outro da maneira mais curta. Na figura, o caminho mais curto será o caminho verde no qual o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Qualquer outro caminho, como vermelho, será mais longo.


É fácil provar isso simplesmente refletindo os caminhos dos raios para o lado oposto do espelho. Na figura, eles são mostrados com uma linha pontilhada.


Pode-se ver que o caminho verde do ACB se transforma em um ACB direto '. E o caminho vermelho se transforma em uma linha quebrada ADB ', que, é claro, é maior que o verde.

Em 1662, Pierre Fermat sugeriu que a velocidade da luz em uma substância densa, por exemplo, no vidro, é menor que no ar. Antes disso, havia uma versão geralmente aceita de Descartes, segundo a qual a velocidade da luz na matéria deveria ser maior que no ar, a fim de obter a lei correta da refração. Para Fermat, a suposição de que a luz pode se mover em um meio mais denso mais rápido do que em um rarefeito parecia artificial. Portanto, ele sugeriu que tudo era exatamente o oposto e provou uma coisa incrível - sob essa suposição, a luz é refratada para chegar ao seu destino no menor tempo possível.


Na figura novamente, a cor verde mostra o caminho ao longo do qual o feixe de luz realmente se move. O caminho marcado em vermelho é o mais curto, mas não o mais rápido, porque a luz tem um caminho maior para atravessar o vidro e sua velocidade é mais lenta nele. O mais rápido é o caminho real do feixe de luz.

Todos esses fatos sugeriram que a natureza age de maneira racional, que a luz e os corpos se movem da melhor maneira possível, gastando o mínimo de esforço possível. Mas que tipo de esforço foi e como contá-lo permaneceu um mistério.

Em 1744, Maupertuis introduziu o conceito de “ação” e formulou o princípio segundo o qual a verdadeira trajetória de uma partícula difere de qualquer outra, na medida em que a ação é mínima. No entanto, o próprio Maupertuis não conseguiu dar uma definição clara do que é essa ação. A formulação matemática estrita do princípio de menos ação já foi desenvolvida por outros matemáticos - Euler, Lagrange, e foi finalmente dada por William Hamilton:


Na linguagem matemática, o princípio da menor ação é formulado brevemente, mas nem todos os leitores conseguem entender o significado da notação usada. Quero tentar explicar esse princípio mais claramente e em palavras simples.

Corpo livre

Imagine que você está sentado em um carro em um ponto $$ e no tempo $$ Você recebeu uma tarefa simples: no momento em que $$ você precisa ir direto ao ponto de carro $$ .


O combustível para o carro é caro e, é claro, você deseja gastá-lo o mínimo possível. O seu carro é fabricado com as mais modernas tecnologias e pode acelerar ou frear o mais rápido possível. No entanto, ele foi projetado para que, quanto mais rápido, mais combustível consuma. Além disso, o consumo de combustível é proporcional ao quadrado da velocidade. Se você dirigir duas vezes mais rápido, pelo mesmo período de tempo você consome 4 vezes mais combustível. Além da velocidade, a massa do carro também afeta o consumo de combustível. Quanto mais pesado nosso carro, mais combustível ele consome. O consumo de combustível do nosso carro a qualquer momento é $$ , ou seja, exatamente a energia cinética do carro.

Então, como você precisa ir direto ao ponto $$ até o horário exato e consumir o mínimo possível de combustível? É claro que você precisa seguir uma linha reta. Com o aumento da distância de condução, o combustível será consumido exatamente não menos. E então você pode escolher táticas diferentes. Por exemplo, você pode chegar rapidamente ao ponto $$ com antecedência e apenas sente-se, espere, quando chegar a hora $$ . A velocidade de condução e, portanto, o consumo de combustível a qualquer momento, serão grandes, mas o tempo de condução também será reduzido. Talvez o consumo total de combustível neste caso não seja tão grande. Ou você pode andar uniformemente, na mesma velocidade, de modo que, sem pressa, chegue de cada vez $$ . Ou parte do caminho para dirigir rápido e parte mais lenta. Qual o melhor caminho a percorrer?

Acontece que a maneira mais ideal e econômica de dirigir é dirigir a uma velocidade constante, como estar em um ponto $$ no horário exato $$ . Com qualquer outra opção, o combustível será consumido mais. Você pode verificar você mesmo com alguns exemplos. A razão é que o consumo de combustível aumenta proporcionalmente ao quadrado da velocidade. Portanto, à medida que a velocidade aumenta, o consumo de combustível aumenta mais rapidamente do que o tempo de condução e o consumo geral de combustível também aumenta.

Então, descobrimos que, se um carro em um dado momento consome combustível proporcionalmente à sua energia cinética, a maneira mais econômica de obter um ponto $$ direto ao ponto $$ chegar a um tempo determinado é andar de maneira uniforme e retilínea, assim como um corpo se move na ausência de forças atuando sobre ele. Qualquer outra maneira de dirigir resultará em maior consumo geral de combustível.

Em gravidade

Agora vamos melhorar um pouco o nosso carro. Vamos anexar motores a jato para que ele possa voar livremente em qualquer direção. Em geral, o design permaneceu o mesmo, então o consumo de combustível permaneceu estritamente proporcional à energia cinética do carro. Se agora a tarefa é dada para sair do ponto $$ no tempo $$ e voe direto ao ponto $$ por tempo $$ , a maneira mais econômica, como antes, é claro, voará de maneira uniforme e retilínea, para chegar a um ponto $$ no horário exato $$ . Isso novamente corresponde ao movimento livre do corpo no espaço tridimensional.


No entanto, um dispositivo incomum foi instalado no modelo de carro mais recente. Esta unidade pode produzir combustível literalmente do nada. Mas o design é tal que, quanto mais alto o carro, mais combustível o dispositivo gera a cada momento. A produção de combustível é diretamente proporcional à altura $$ no qual o carro está localizado atualmente. Além disso, quanto mais pesado o carro, mais poderoso o dispositivo é instalado e mais combustível ele produz, e a saída é diretamente proporcional à massa do carro $$ . O dispositivo saiu para que a produção de combustível seja exatamente igual $$ (onde $$ - aceleração da gravidade), ou seja, energia potencial do carro.

O consumo de combustível em cada momento é igual à energia cinética menos a energia potencial do carro (menos a energia potencial, porque o dispositivo instalado gera combustível e não gasta). Agora, nossa tarefa é o movimento de carro mais econômico entre pontos $$ e $$ ficando mais difícil. O movimento uniforme retilíneo, nesse caso, não é o mais eficaz. Acontece que é mais ideal ganhar um pouco de altitude, ficar lá por um tempo, tendo desenvolvido mais combustível e depois indo direto ao ponto $$ . Com a trajetória de vôo correta, a produção total de combustível devido à subida irá bloquear o consumo adicional de combustível, aumentando o comprimento da trajetória e aumentando a velocidade. Se você calcular cuidadosamente, a maneira mais econômica para um carro voar ao longo de uma parábola, exatamente ao longo de uma trajetória e exatamente na mesma velocidade que uma pedra voaria no campo de gravidade da Terra.


Vale a pena fazer uma explicação aqui. Claro que você pode do ponto $$ jogue uma pedra de muitas maneiras diferentes para que ela atinja um ponto $$ . Mas você precisa jogá-lo para que, voando fora do ponto $$ no tempo $$ acertar o ponto $$ exatamente na hora $$ . Este movimento será o mais econômico para o nosso carro.

Função Lagrange e princípio de menor ação

Agora podemos transferir essa analogia para corpos físicos reais. Um análogo da intensidade do consumo de combustível para os corpos é chamado de função Lagrange ou Lagrangiano (em homenagem a Lagrange) e é indicado pela letra $$ . Lagrangian mostra quanto "combustível" o corpo consome em um dado momento no tempo. Para um corpo que se move em um campo potencial, o Lagrangiano é igual à sua energia cinética menos energia potencial.

Um análogo da quantidade total de combustível consumido durante todo o tempo de movimento, ou seja, o valor do lagrangiano acumulado ao longo de todo o tempo do movimento é chamado de "ação".

O princípio da menor ação é que o corpo se mova de tal maneira que a ação (que depende da trajetória do movimento) seja mínima. Ao mesmo tempo, não se deve esquecer que as condições inicial e final são especificadas, ou seja, onde o corpo está em um ponto no tempo $$ e no tempo $$ .

Além disso, o corpo não precisa se mover em um campo gravitacional uniforme, que consideramos para o nosso carro. Você pode considerar situações completamente diferentes. O corpo pode oscilar em um elástico, girar em um pêndulo ou voar ao redor do Sol; em todos esses casos, ele se move de maneira a minimizar o “consumo total de combustível”, ou seja, ação.

Se o sistema consistir em vários corpos, o Lagrangiano de tal sistema será igual à energia cinética total de todos os corpos menos a energia potencial total de todos os corpos. E, novamente, todos os corpos se moverão de maneira coordenada, de modo que a ação de todo o sistema com esse movimento seja mínima.

Não é tão simples

De fato, trapacei um pouco dizendo que os corpos sempre se movem de maneira a minimizar a ação. Embora em muitos casos isso seja verdade, você pode apresentar situações em que a ação claramente não é mínima.

Por exemplo, pegue uma bola e coloque-a em um espaço vazio. A alguma distância, colocamos uma parede elástica. Suponha que queremos que a bola esteja no mesmo lugar depois de algum tempo. Sob tais condições, a bola pode se mover de duas maneiras diferentes. Em primeiro lugar, ele pode simplesmente permanecer no lugar. Em segundo lugar, pode ser empurrado em direção à parede. A bola voa contra a parede, ricocheteia e volta. É claro que você pode pressioná-lo tão rápido que ele retorna exatamente na hora certa.


As duas variantes do movimento da bola são possíveis, mas a ação no segundo caso resultará mais, porque todo esse tempo a bola se moverá com energia cinética diferente de zero.

Como salvar o princípio da menor ação para que seja justo em tais situações? Falaremos sobre isso na próxima vez .