Teoria da felicidade. Maldições do diretor e impressoras amaldiçoadas

Continuo familiarizando os leitores de Habr com os capítulos de seu livro "Theory of Happiness", com o subtítulo "Fundamentos matemáticos das leis da maldade". Este livro científico ainda não foi publicado, informando de maneira muito informal sobre como a matemática permite que você olhe para a vida do mundo e das pessoas com um novo grau de conscientização. É para aqueles que estão interessados ​​em ciência e para aqueles que estão interessados ​​na vida. E como nossa vida é complexa e, em geral, imprevisível, a ênfase no livro está principalmente na teoria das probabilidades e nas estatísticas matemáticas. Aqui os teoremas não são provados e os fundamentos da ciência não são dados; isso não é de forma alguma um livro, mas o que é chamado de ciência recreativa. Mas é precisamente essa abordagem quase lúdica que nos permite desenvolver a intuição, animar as palestras para os alunos com exemplos vívidos e, finalmente, explicar aos não matemáticos e nossos filhos que encontramos coisas tão interessantes em nossa ciência seca.





Falaremos sobre pressão de tempo, prazos e impressoras de interrupção não oportunas.

Estratégia pateta

No capítulo anterior, falamos sobre processos aleatórios. Um dos processos mais simples que exigem um mínimo de suposições adicionais é o fluxo de Poisson. Deixe-me lembrá-lo que ele pode ser implementado distribuindo aleatoriamente um número conhecido de eventos independentes ao longo de um intervalo de tempo. Bons exemplos incluem pancadas de chuva no telhado, fluxo de carros particulares na estrada, fortes terremotos, etc.

Mas o que obtemos se os eventos deixarem de ser independentes e formarem uma cadeia ordenada? Diga em cadeia $$$\ {A, B, C \}$ evento $$$B$ pode acontecer somente após o evento $$$A$ e antes do evento $$$C$ embora os momentos em que esses eventos ocorram permaneçam aleatórios. Vamos ver como essas cadeias ordenadas se encaixam em um intervalo de tempo limitado. Organizaremos o primeiro evento em um ponto arbitrário, o segundo também é aleatório, mas sempre depois do primeiro, o terceiro após o segundo e assim por diante. Restará cada vez menos tempo para cada etapa seguinte, para que um aumento notável na intensidade do processo seja observado no lado direito do intervalo (antes do prazo). Mais cedo ou mais tarde, o tempo para concluir as tarefas terminará e a cadeia terminará. Chamamos o processo de construção de uma cadeia estocástica com um prazo e a estratégia desordenada selecionada de fazer o trabalho uma estratégia idiota . A figura mostra um exemplo de uma cadeia construída dessa maneira a partir de $$$5$ etapas do trabalho que foi lançado $$$10$ dias.


Um exemplo de uma cadeia estocástica com prazo. Nesse caso, foi possível fazer cinco coisas, você ainda pode ter tempo para fazer a sexta, mas por sete vezes não é suficiente.

Formulamos o problema, tomando como sujeito de teste, por exemplo, um diretor de teatro. Que o diretor e a trupe tenham à sua disposição $$$n$ dias para realizar alguma ação. A preparação é dividida em $$$k$ etapas consecutivas de ensaio, cada uma das quais requer um dia para ser concluída. Qual é a probabilidade de não cumprir o prazo implementando o processo de trabalho descrito por nós? Se a preparação do evento requer o envolvimento de diferentes pessoas e vários processos de produção, são possíveis sobreposições, doenças ou simplesmente blues - todos os pré-requisitos para a implementação de nossa cadeia de prazos estocásticos.

Para começar, recorri à modelagem de simulação para descobrir como o comprimento das cadeias é distribuído, o que pode ser realizado em um período limitado de tempo de um determinado comprimento, usando a estratégia burra. Aqui está o que você ganha $$$n = 10$ :


A função de probabilidade para o comprimento das cadeias que pode ser feita no tempo alocado.

Essa distribuição não é encontrada em nenhum livro de referência sobre teoria das probabilidades e estatística matemática. Consegui obter uma solução analítica para a função de probabilidade na forma final:

$$

$$P_n (k) = \ genfrac {[} {]} {0pt} {} {n} {k} \ frac {1} {n!},$$

aqui $$$P_n (k)$ - a probabilidade de um comprimento de cadeia $$$k$ em $$$n$ períodos de tempo e o design $$$\ genfrac {[} {]} {0pt} {} {n} {k}$ denota os chamados números de Stirling do primeiro tipo , eles surgem na combinatória ao calcular permutações cíclicas. Por direito de descobridor, chamarei essa distribuição de nome de Stirling. Foi ainda possível obter expressões exatas para a expectativa matemática do comprimento das cadeias e sua dispersão:

$$

$$M [k] = H_ {n}, \ quad D [k] = H_ {n} -H_n ^ {(2)}.$$

Aqui $$$H_ {n}$ É o número harmônico: uma soma parcial das séries harmônicas divergentes $$$\ {1, \ frac12, \ frac13, ..., \ frac1n \}$ e $$$H_ {n} ^ {(2)}$ - montante parcial da série $$$\ {1, \ frac14, \ frac19, ..., \ frac1 {n ^ 2} \}$ . Na verdade, para calcular esses valores, investiguei a distribuição resultante. O comprimento médio das cadeias com crescimento $$$n$ cresce muito lentamente, embora de forma ilimitada. Sem muito erro, podemos dizer que cresce logaritmicamente. Por sua vez, a variação não é muito diferente da média e o coeficiente adicional $$$H_ {n} ^ {(2)}$ tende a constante $$$\ pi ^ 2/6$ . Um pouco mais tarde, essa observação será útil.

Vamos dar uma outra olhada na distribuição dos comprimentos da corrente. É evidente que não há absolutamente nenhuma chance de não ter tempo para fazer uma coisa - haverá tempo para ele. Cadeias curtas de dois casos representam um décimo do número total - essas são cadeias malsucedidas que começaram no último dia (em cada dez) e não deixaram tempo para continuar. Espera-se que a participação de cadeias muito longas seja pequena e diminua com o aumento do comprimento, quase desaparecendo. Bem, é quase impossível concluir acidentalmente uma cadeia de dez casos - a probabilidade de tal resultado é $$$\ frac {1} {10!}$ .

À nossa pergunta: qual é a probabilidade de não atender ao $$$n$ dias tendo na sua frente $$$k$ Em estágios sucessivos da tarefa, a função de distribuição ajudará a responder - a curva cumulativa da distribuição Stirling. Construímos essas curvas para $$$n = 7, \ 30, \ 365$ e $$$25.000$ correspondente a semana, mês, ano e (é claro, condicionalmente) toda a vida.


A probabilidade de não ter tempo para concluir cadeias de vários comprimentos de uma vez ou outra.

Esses gráficos mostram que a probabilidade de não cumprir um mês com uma tarefa tendo $$$5$ etapas excedem $$$80 \%$ . E que é melhor não planejar mais de três casos para uma besteira desorganizada por semana, e ele não fará uma dúzia de casos, com uma probabilidade superior a $$$50 \%$ e por toda a vida! Estamos convencidos de que, com um aumento nos prazos de várias ordens de grandeza, o número de casos de erros cumpridos aumenta de forma insignificante. A vida é tão curta!

Mais rápido, mais rápido!

Vamos agora examinar o próprio fenômeno da pressão do tempo, suas propriedades exaustivas. Para isso, construiremos vários milhares de cadeias estocásticas e as calcularemos em média para obter o ritmo esperado de trabalho .


Muitas cadeias estocásticas de prazos e o ritmo esperado de trabalho.

Preste atenção ao fato de que o eixo do gráfico é reduzido ao número total de casos e todo o tempo alocado. Isso, por um lado, permite comparar, tanto termos diferentes quanto cadeias de comprimentos diferentes, e, por outro, novamente conseguimos algo semelhante à curva de Lorentz: uma espécie de reflexo formalizado da injustiça.

O ritmo observado, infelizmente, é muito desigual: na primeira metade do prazo, dificilmente $$$10 \%$ trabalho, e uma boa metade de todas as coisas terá que ser feita, tendo à minha disposição $$$10 \%$ tempo, mas a principal característica: o ritmo, ou melhor, sua inclinação, está aumentando rapidamente quando se aproxima o prazo! Tivemos um modelo de raiva ou pânico de ano novo na véspera do relatório anual e também descobrimos a lei da maldade, familiar a todos que tinham que organizar um concerto, uma noite de fantasias ou outro evento:

Não importa quanto tempo foi reservado para a preparação do evento, a maioria dos assuntos permanecerá na última noite!

Excelentes exemplos vivos de tais processos são descritos, por exemplo, nas histórias de Karel apek "Como fazer um jornal" e "Como uma peça é encenada" . A razão dessa maldição é apenas em nossa desorganização e descuido? Essas são, obviamente, as principais razões, mas não somos tão culpados disso que seria impossível tentar nos justificar por qualquer lei matemática. A estratégia burra, é claro, parece boba, mas o aumento exponencial do ritmo não é brincadeira! Existe alguma maneira de lidar com isso?

O ritmo esperado de trabalho pode ser calculado com precisão. A fórmula não é muito elegante, mas vale ressaltar que inclui o número de dias $$$n$ e não inclui o número de casos agendados:

$$

$$T_n (x) = - \ frac {\ log_2 \ left [1-x \ left (1-2 ^ {- H_n-1} \ right) \ right] \ right]} {H_n + 1}.$$

O logaritmo é uma função lenta, a menos que seja pressionado contra a parede. Nos últimos dias antes do prazo, o ritmo vem crescendo catastroficamente, na mesma proporção em que o logaritmo cai no abismo ao se aproximar de zero. No entanto, ainda depende do número de dias alocados. Você pode ver como é o ritmo esperado para a semana, mês e ano:


A taxa mais provável de conclusão em um tempo limitado. Curiosamente, um prazo apertado tem um efeito benéfico. O nome está reservado apenas uma semana, provavelmente começaremos a fazer o trabalho de maneira mais uniforme (pela metade do prazo final, um terço do trabalho estará pronto) e, se o ano inteiro estiver próximo, podemos relaxar bem e depois nos arrepender.

Para um artista perfeccionista ideal que faz o trabalho de maneira absolutamente uniforme, o ritmo de execução deve tender para a diagonal (linha tracejada azul na figura). Isso é semelhante à curva de igualdade no diagrama de Lorentz, significando justiça. Assim como calculamos o coeficiente de Gini para o diagrama de Lorentz, podemos, com base na área entre a curva do ritmo de trabalho e a curva ideal, calcular um certo coeficiente de significância, que mostrará a que distância estamos do ideal. Depende da duração do prazo designado e aumenta lentamente com o crescimento $$$n$ . Nos exemplos que fornecemos para a semana, mês e ano, o coeficiente de significância é, respectivamente $$ , $$ e $$$0,65$ .

Como lidar com a crescente onda de preocupações e pressão do tempo? Você pode, por exemplo, se recompor. Uma pessoa com excelente síndrome do aluno pode tentar fazer a próxima coisa o mais cedo possível, é claro, é claro. Um modelo plausível será a escolha do momento para a próxima tarefa, seguindo uma distribuição exponencial com uma densidade inversamente proporcional ao tempo restante. Isso não descartará alguma incerteza inerente a nossas vidas, mas expressará boas intenções de fazer todas as coisas o mais rápido possível. Chamamos essa estratégia de estratégia de boas intenções . Aqui estão as distribuições de probabilidade de concluir tarefas a tempo para o aderente a essa estratégia, que na metade dos casos fará a próxima coisa no primeiro trimestre do tempo restante:


A distribuição de probabilidade não é pontual para uma estratégia bem-intencionada.

Significativamente melhor! Dentro de uma semana, você pode, com boa probabilidade, ter tempo para fazer cinco coisas e deixar dois dias de folga. Mas, no entanto, por longos períodos, o aumento de oportunidades não é revolucionário. O problema está no fato de que o número esperado de casos concluídos com sucesso ainda permanece proporcional ao logaritmo do tempo alocado e o logaritmo cresce extremamente lentamente! Portanto, ao planejar muito, lembre-se de que a intensidade do processo aumentará inevitavelmente e, muito provavelmente, não haverá tempo suficiente para antecipar o prazo. De qualquer forma, é necessário lembrar que a vida é curta e, para ter tempo para realizar o plano, você precisa agir agora!

Vamos admirar o ritmo de um excelente aluno bem-intencionado.


O ritmo esperado do trabalho de uma pessoa metódica tentando avançar para a próxima etapa do trabalho o mais rápido possível. Os gráficos mostram os resultados da média de dezenas de milhares de experimentos numéricos modelando uma tarefa com um número fixo de estágios. A linha vermelha indica o limite de velocidade para um grande número de tarefas.

Nosso puro especialista conseguiu distribuir o trabalho de maneira mais uniforme e fazer muito mais trabalho, mas ainda está esperando a pressão do tempo. Essa pessoa executará cadeias curtas com um preenchimento significativo demais do plano, e uma cadeia de sete casos será quase perfeita. No entanto, à medida que o número de casos aumenta, o ritmo esperado tende rapidamente ao ritmo teórico obtido com a estratégia de boob! O desempenho geral aumentou, mas o estacionamento antes do prazo não desapareceu. Assim, o carregamento é possível terminar e o furo real!

No entanto, existe outra maneira amplamente conhecida de disciplinar substancialmente a execução do trabalho: em vez de um prazo, você precisa executar muitos deles. Vamos dividir o prazo em duas partes iguais e seguir esse novo prazo, considerando, por exemplo, um relatório intermediário. Para cada uma dessas partes, podemos construir uma curva do ritmo esperado de trabalho, conforme mostrado na figura.

A divisão do tempo necessário para concluir o trabalho em vários períodos intermediários de relatório permite que você faça o trabalho de maneira mais uniforme, mas aumenta o estresse à medida que cada novo relatório se aproxima.

Apesar do incômodo com um relatório intermediário, alcançamos nosso objetivo: a área sob a curva da taxa de execução geral diminuiu e a taxa de significância diminuiu de $$$0,65$ antes $$$0,3$ . Além disso, a redução do prazo (junto com a redução no número de casos, é claro) aproxima o ritmo esperado de trabalho do ideal, de modo que a taxa de significância mais da metade. Adicionar mais dois, digamos, relatórios trimestrais, o reduzirá a $$ mas, ao fazer isso, levaremos nossos artistas a quatro períodos estressantes ao mesmo tempo e eles ainda começarão a sofrer muito, reclamando sobre o destino e os chefes! Bem, podemos mostrar aos nossos funcionários nossos cálculos e provar que, ao apresentar relatórios trimestrais, eles reduziram a taxa de significância de suas vidas em cinco vezes, se isso, é claro, é um consolo para eles.

Além disso, como o número de prazos intermediários tende ao número de dias permitidos para trabalhar, o ritmo de trabalho se aproximará de um ritmo ideal, mas muito chato.

Bem aqui! Além disso, a impressora está quebrada!

Adicione algumas palavras sobre a estratégia fictícia e a distribuição Stirling. A distribuição obtida por nós mostra a probabilidade de obter um determinado número de eventos em um determinado intervalo de tempo. Contando eventos em um fluxo de Poisson real com intensidade $$$\ lambda$ chegamos à famosa distribuição de Poisson:

$$

$$P (k) = e ^ {- \ lambda} \ frac {\ lambda ^ k} {k!},$$

descrevendo a confiança para obter exatamente $$$k$ eventos em um único intervalo de tempo. A expressão para números de Stirling tem uma expansão assintótica, que por grandes $$$n$ reduz a distribuição de comprimentos de cadeias com prazo para uma distribuição de Poisson deslocada com intensidade $$$\ lambda = H_n-1$ . Assim, do ponto de vista estatístico, nosso processo estocástico com prazo pode ser considerado como um processo de Poisson em uma grade de tempo de condensação ou como um processo não homogêneo de Poisson, cuja intensidade está crescendo monótona e rapidamente. E embora, estritamente falando, nosso processo não seja Poisson, pois os eventos nele não são independentes, no entanto, as propriedades estatísticas de que precisamos são semelhantes. Sua semelhança também é indicada pela proximidade do valor médio e da variação da distribuição de Stirling, característica da distribuição de Poisson.

Essa conclusão nos permite fazer uma pergunta: e se adicionarmos ao processo de cadeia de coisas que criamos problemas raros independentemente de nós: tempestade de neve, engarrafamento terrível, coriza, avaria da impressora ou um feriado nacional?

Para o processo de Poisson, é definido um processo de dizimação aleatória , que consiste no fato de que, com alguma probabilidade, começaremos a remover eventos do fluxo. Chance de desbaste com probabilidade $$$(1-p)$ deixa o processo Poisson, mas sua intensidade diminui, multiplicando por $$$p$ . Eventos correspondentes à coincidência de problemas e qualquer etapa do trabalho formam o processo de Poisson, com intensidade significativamente menor, mas, no nosso caso, também monótona e rapidamente crescendo. Tão rápido que, por menor a probabilidade de problemas, para um número suficientemente grande de casos (ou o tempo alocado para o trabalho), mais perto do prazo, aumentará para um completamente observável. E a impressora acertará na véspera do curso!

Não se surpreenda se o ônibus parar exatamente quando você já estiver atrasado. O ônibus não deseja danos. Simplesmente, se você é uma garota, então a sequência de coisas: escolha um vestido, coma doces, lave, vista o vestido escolhido, coloque maquiagem, coloque uma corrente, mude as coisas da sua bolsa para uma bolsa de embreagem, sapatos e outras coisas limpas e tudo mais vai até o prazo mais importante e emocionante - uma data ! E o ritmo em que você voa em direção ao destino já é tão louco que os milagres mais improváveis ​​começam a acontecer.

No final, o que é um milagre, se não a realização do incrível!