O que a matemática pode nos dizer sobre como encontrar ordem no caos da vida
A reunião com sua pessoa mais querida foi acidental ou houve algum tipo de razão oculta para isso? E o estranho sonho de ontem - foi apenas o lançamento aleatório de sinapses do cérebro, ou ele revelou algo profundo sobre o seu subconsciente? Talvez o sonho estivesse tentando lhe contar algo sobre o seu futuro. Talvez não. O fato de seu parente próximo estar doente com um tipo perigoso de câncer tem algum significado profundo ou são apenas as consequências de mutações aleatórias no DNA?
Em nossa vida, frequentemente pensamos nos padrões de eventos que acontecem à nossa volta. Nós nos perguntamos se nossas vidas são aleatórias ou se têm algum tipo de significado, verdadeiramente verdadeiro e profundo. Como matemático, costumo recorrer a números e teoremas para obter idéias sobre tais questões. E aconteceu que eu aprendi algo sobre a busca de significado nas leis da vida, graças a um dos teoremas mais profundos da lógica matemática. Simplificando, esse teorema demonstra que, em princípio, é impossível descobrir se a explicação da lei é a mais profunda ou interessante de todas as explicações. Assim como na vida, a busca por significado em matemática é ilimitada.
Um pequeno prelúdio. Considere as três linhas a seguir.
1.100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100
2,2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
3.38386274868783254735796801834682918987459817087106701409581980418.
Como podemos descrevê-los? Por exemplo, podemos fazer isso facilmente, basta anotá-las - exatamente como fizemos. No entanto, é imediatamente claro que as duas primeiras linhas podem ser descritas resumidamente. O primeiro é apenas uma sequência de repetições de "100s". O segundo é uma lista dos primeiros números primos. E o terceiro? Pode ser descrito simplesmente exibindo a linha inteira. Mas existe uma descrição melhor e mais curta para ela?
No início dos anos 60, o adolescente americano
Gregory Haitin , o mundialmente famoso matemático russo [e soviético]
Andrei Nikolaevich Kolmogorov e o pioneiro da ciência da computação
Ray Solomonov formularam independentemente uma maneira de medir a complexidade das seqüências de caracteres. Suas idéias começaram a ser chamadas
de teoria da complexidade de Kolmogorov ou
teoria algorítmica da informação . Eles postulam que a complexidade de uma string é determinada pelo tamanho do menor programa de computador que pode produzi-la. Ou seja, escolha uma linha e procure o programa de computador mais curto que a produz. Um programa é um tipo de descrição de linha. Se o menor desses programas for muito curto, existe um padrão simples na linha e não é muito complexo. Dizemos que nessa linha há pouco conteúdo algorítmico. Por outro lado, se um programa longo for necessário para produzir uma sequência, ela será complexa e seu conteúdo algorítmico será maior. Para qualquer linha, você deve procurar o programa mais curto que produz essa linha. O comprimento de um programa desse tipo é chamado de complexidade de cadeia de caracteres de Kolmogorov.
Vamos voltar às três primeiras linhas. As duas primeiras linhas podem ser descritas usando programas de computador relativamente curtos:
1. Imprima “100” 30 vezes.
2. Imprima os 25 primeiros números primos.
A complexidade Kolmogorov da primeira linha é menor que a complexidade Kolmogorov da segunda linha, uma vez que o primeiro programa é mais curto que o segundo. E o terceiro? Essa linha não tem padrões óbvios. No entanto, você pode escrever um programa estúpido que exibe esta sequência:
3. Saída “38386274868783254735796801834682918987459817087106701409581980418”
Esse programa lida com a tarefa, mas de maneira insatisfatória. Talvez haja um programa mais curto que demonstre a presença de padrões nesta linha. Quando o programa mais curto que produz uma string é o programa "print a string", dizemos que essa string é muito complexa e não contém padrões conhecidos. Uma sequência sem padrões é chamada aleatória. Mas, embora não tenhamos visto padrões, ele pode existir. Na matemática, como na vida, somos confrontados com muitos padrões que parecem aleatórios.
Poderíamos tentar usar os incríveis recursos dos computadores modernos para encontrar o padrão e o programa mais curto. Não seria ótimo se houvesse um computador capaz de simplesmente calcular a complexidade de Kolmogorov de qualquer string? Um computador assim aceitaria uma string como entrada e produziria o comprimento do programa mais curto capaz de produzir essa string. É claro que, com todas essas novidades, como IA, aprendizado profundo, big data, computação quântica, etc., deve ser fácil criar um computador assim.
Infelizmente, é impossível criar um computador assim! Embora os computadores modernos sejam muito poderosos, essa tarefa é impossível. Tal é o conteúdo de um dos teoremas mais profundos da lógica matemática. O teorema, de fato, diz que a complexidade Kolmogorov de uma string não pode ser calculada. Não há dispositivo mecânico que determine o tamanho do menor programa que produz uma determinada sequência. A questão não é que nosso nível atual de tecnologia da computação não esteja à altura da tarefa ou que não somos suficientemente inteligentes para escrever um algoritmo desse tipo. Ficou provado que a própria idéia de descrição e computação demonstra que o computador, em princípio, não é capaz de executar essa tarefa para nenhuma linha. E se o computador for capaz de procurar determinados padrões na cadeia, ele não poderá encontrar o melhor padrão. Podemos encontrar um programa curto que exibe uma determinada sequência, mas sempre pode existir uma ainda mais curta. Nós nunca saberemos sobre isso.
A própria prova da não computabilidade da complexidade de Kolmogorov para uma sequência é bastante formal. Mas isso é prova de contradição, e podemos imaginar, de maneira grosseira, como isso funciona observando alguns pequenos e doces paradoxos.
O paradoxo de números interessantes está relacionado à afirmação de que todos os números naturais são interessantes. 1 é o primeiro número e é interessante. 2 é o primeiro número par. 3 é o primeiro primo ímpar. 4 é um número interessante porque 4 = 2 × 2 e 4 = 2 + 2. Dessa forma, você pode continuar e encontrar propriedades interessantes de muitos números. Em algum momento, podemos encontrar um número sem propriedades interessantes. E podemos chamar esse número de primeiro número desinteressante - mas isso já é uma propriedade interessante. Como resultado, números desinteressantes também são interessantes!
As idéias contidas na prova de Kolmogorov são semelhantes às idéias
do paradoxo de
Berry em relação à descrição de grandes números. Observe que quanto mais palavras usamos, maior o número que podemos descrever. Por exemplo, em três palavras, você pode descrever "trilhões de trilhões de trilhões" e cinco - "trilhões de trilhões de trilhões de trilhões de trilhões de trilhões", que é um número muito maior. Agora considere o número descrito pela seguinte frase:
O menor número que não pode ser descrito em menos de 15 palavras]
São necessárias 15, 16 ou mais palavras para descrever o número. Não pode ser descrito em 12, 13 ou 14 palavras. No entanto, este é o problema: a frase acima descreve esse número com 10 palavras [
12 palavras / aprox. perev. ] Nossa descrição do número contradiz a descrição do número - aqui está o paradoxo.
No paradoxo de números interessantes e no paradoxo de Berry, chegamos a contradições, sugerindo a existência de uma maneira exata de descrever algo. Da mesma forma, a prova da não computabilidade da complexidade de Kolmogorov decorre do fato de que, se fosse computável, chegaríamos a uma contradição.
O fato de a complexidade de Kolmogorov não ser computável é o resultado da matemática pura, e não devemos confundir esse mundo ideal com uma realidade muito mais complexa e desordenada. No entanto, existem alguns pontos gerais relacionados à complexidade de Kolmogorov que podemos trazer para o mundo real.
Muitas vezes nos deparamos com o que parecia completamente caótico para nós. A aleatoriedade nos deixa nervosos, e estamos procurando padrões que eliminem parcialmente o caos. Se encontrarmos um padrão, ainda não está claro se é o melhor padrão que explica nossas observações. Podemos nos perguntar se existe um padrão mais profundo que dê uma explicação melhor. A teoria da complexidade de Kolmogorov nos ensina que, em um nível básico, não há maneira garantida de determinar o melhor padrão. Simplesmente nunca saberemos se o padrão que encontramos é o melhor.
Mas é exatamente isso que torna a pesquisa infinitamente interessante. Por definição, algo é interessante se requer reflexão adicional. Um fato óbvio e totalmente compreendido não requer mais reflexão. O fato de seis ter quarenta e sete anos é completamente compreensível e desinteressante. Somente quando não temos certeza sobre as idéias, precisamos confirmá-las e refletir sobre elas. A busca por padrões aprimorados sempre será interessante.
O mundo real acrescenta complexidade. Se não houver erros no mundo de strings e programas de computador, você poderá cometer um erro no mundo real. Podemos facilmente descobrir se um programa em particular exibe uma string ou não. E, embora provavelmente não possamos determinar o programa ideal para a saída de uma linha específica, podemos determinar se ele exibe a linha desejada. E o mundo real, por outro lado, é muito mais complexo. Pode parecer-nos que vemos uma sequência quando, de fato, não está lá.
Nosso entendimento de nossa busca por significado começa a tomar forma. Nós desprezamos o acaso e adoramos padrões. Somos programados biologicamente para encontrar padrões que explicam o que vemos. Mas não podemos ter certeza de que o padrão que encontramos será correto. Mesmo que, de alguma maneira, possamos garantir a ausência de um erro e alcançar a perfeição semelhante a um computador, em algum lugar ainda sempre poderá haver uma verdade ainda mais profunda. Essa tensão alimenta nosso amor pela literatura, teatro e cinema. Quando lemos um romance ou assistimos a uma peça, o autor ou diretor nos apresenta uma sequência de eventos com um tema, padrão ou moralidade comum. Literatura, peças de teatro e cinema nos oferecem uma ótima maneira de escapar do caos geralmente incompreensível e sem sentido que encontramos no mundo ao nosso redor. Uma literatura muito boa vai além e nos deixa com muitas interpretações. Somos confrontados com a incalculabilidade da complexidade de Kolmogorov.
Essa tensão também determina como vivemos nossas vidas. Viajando por eventos supostamente aleatórios, procuramos padrões e estrutura. A vida é cheia de altos e baixos. Há a alegria de se apaixonar, se divertir com as crianças, o sentimento de grandes realizações ao final de um trabalho difícil. Há a dor de um relacionamento quebrado, a agonia do fracasso após tentativas ativas de concluir uma tarefa, a tragédia da morte de um ente querido. Estamos tentando procurar em tudo isso um significado. Nós desprezamos o sentimento de completa chance e a idéia de que simplesmente seguimos as leis caóticas e descomplicadas da física. Queremos saber se existe algum significado, propósito, significado no mundo circundante. Precisamos de uma história mágica da vida e nos contamos histórias.
Às vezes, essas histórias são simplesmente falsas. Às vezes, enganamos a nós mesmos e aos outros. E, às vezes, identificamos corretamente padrões. Mas mesmo quando a história é verdadeira, não será necessariamente a melhor. Nunca teremos certeza de que nas profundezas não se encontra uma história ainda mais básica e precisa. Envelhecendo e caindo em angústia, adquirimos certas idéias sobre o Universo, inacessíveis para nós antes. Encontramos padrões aprimorados. Talvez estejamos começando a ver as coisas mais claramente. Ou não Nós nunca saberemos. Mas sabemos que a pesquisa está garantida para não terminar.
Nozon Janowski - Doutor em Ciências em Matemática, trabalha no Centro Educacional da Universidade da Cidade de Nova York, professor de ciência da computação no Brooklyn College da mesma universidade.