Qual é a importância de 196 884 = 196 883 + 1? Como explicar isso nos dedos?

Resposta do Quora por Michael Griffin, pós-doc de matemática

Senia Scheidwasser deu uma resposta muito boa e simples a essa pergunta, eu recomendo a leitura desta versão curta. Mas há uma história muito mais surpreendente da hipótese Monstrous Moonshine misturada com a equação de Mackay: do uísque de Jack Daniel aos buracos negros e à gravidade quântica.

Nesta história, simetrias e "grupos" matemáticos são freqüentemente mencionados, então vamos começar com o que se entende por um grupo em matemática. Um grupo pode ser representado como uma maneira de reordenar um conjunto de objetos enquanto mantém uma certa estrutura. As operações no grupo devem seguir certas regras, por exemplo, sempre deve haver a capacidade de cancelar a operação e, se você executar uma operação e depois outra, obtém a terceira operação no grupo .


Quatro opções de rotação e quatro eixos de simetria do quadrado. Fonte da imagem

Se você gosta de representar figuras, um exemplo simples de grupo é a simetria de um quadrado. Pode ser girado de três maneiras: 90 ° para a direita (sentido horário), 180 ° e 90 ° para a esquerda (sentido anti-horário); existem quatro simetrias: vertical, horizontal e dois eixos diagonais); e há uma simetria de identidade quando nada muda. Se você girar o quadrado 90 ° para a direita e girá-lo ao longo do eixo vertical, obtém uma simetria diferente. Em particular, o resultado será o mesmo que se refletisse imediatamente no eixo diagonal da esquerda superior para a direita inferior. Este é um tipo de tabela de multiplicação para elementos de grupo. De fato, podemos escrever uma tabela de multiplicação para entender melhor a estrutura do grupo. Eu fiz aqui. O símbolo "i" na tabela é a simetria da identidade quando nada muda. "R" e "L" - rotação de 90 ° para a direita e esquerda, respectivamente. "F" é uma rotação de 180 ° e cada linha é um reflexo ao longo do eixo na direção dessa linha.



Alguns grupos podem ser divididos em partes menores. Por exemplo, se você tiver dois quadrados, pode haver duas cópias das mesmas operações de simetria, cada uma delas atuando em um quadrado independentemente do outro. Grupos simples não podem ser divididos em grupos independentes menores, portanto, eles são primos na teoria dos grupos. Mas grupos primos finitos são um pouco mais difíceis de classificar do que números primos. Durante a segunda metade do século passado, houve um progresso significativo nas tentativas de classificar completamente todos os grupos simples finitos. A maioria dos grupos simples se encaixa em famílias bem organizadas. Por exemplo, uma família contém todas as simetrias de N-gons regulares (como um triângulo equilátero, quadrado, pentágono regular etc.). Mas nem todos os grupos se encaixam em algum tipo de família normal. Existem exatamente 26 grupos "esporádicos" que são órfãos. Eles geralmente são um pouco mais difíceis de definir, mas muitos deles podem ser construídos a partir de simetrias de treliça em várias dimensões. O maior dos grupos esporádicos simples é o Monstro .

Em 1973, Fisher e Griss encontraram pela primeira vez (independentemente) evidências de que um grupo simples muito grande pode existir se satisfizer certas propriedades. Mas apenas uma década depois, foi possível provar que essas propriedades são estáveis ​​e o grupo realmente existe. Griss chamou esse grupo hipotético indescritível de Gigante Amigável (Gigante Amigável, iniciais de F. G. para Fischer-Griss). Mas Conway, o matemático mais famoso, a chamou de Monstro - e esse nome foi corrigido. A propósito, este Conway desempenha um papel importante em nossa história, mas provavelmente você já ouviu falar sobre isso antes. Este é o próprio Conway que inventou o jogo "Life" e provou o teorema do livre arbítrio. Se você não se lembra, leia!

Em 1975, dois matemáticos, Augg e Tits, se encontraram em uma conferência em Paris. Os tetos calcularam que, se o monstro existir, seu tamanho será assim:

2 ^ 46 · 3 ^ 20 · 5 ^ 9 · 7 ^ 6 · 11 ^ 2 · 13 ^ 3 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
≈ 8 × 10 ^ 53

Este é um número muito grande. Muito, muito, muito grande. Este é o número aproximado de átomos em Saturno e Júpiter combinados. Mas a atenção de Augg não foi atraída pelo tamanho, mas pela simples fatoração.

Augg estava naquele tempo estudando peças chamadas curvas modulares. Se N é um número inteiro positivo, existe uma superfície, vamos chamá-lo de X (N), que captura algumas informações aritméticas importantes sobre o número N (se você se lembra de números complexos da escola, essa superfície pode ser obtida “rolando” ou “dobrando” o complexo plano usando uma série de simetrias, dependendo do número N). Augg fez uma pergunta como esta: se N é primo, em que caso essa superfície (ou curva modular) parecerá uma bola e não um donut com uma ou mais alças (ou seja, “buracos” no donut)? Ele descobriu que apenas se N pertencer ao conjunto

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 71}

Estes são os mesmos números primos usados ​​na computação do tamanho de Tits for Monster! Mas não há absolutamente nenhuma conexão óbvia entre esses dois cálculos. Augg ficou tão impressionado com essa coincidência óbvia que ofereceu uma garrafa de uísque para Jack Daniel a qualquer um que pudesse explicar.

Por razões óbvias, compilar uma tabuada de multiplicação não ajudará a estudar o monstro. Se escrevermos a tabuada de multiplicação por átomos de hidrogênio, ela não caberá em nossa galáxia. Em vez disso, os matemáticos conseguiram compilar uma tabela de caracteres Monster . Sim, parece um guia de jogo de Dungeons & Dragons, e talvez essa não seja uma maneira ruim de apresentar uma mesa. Este é um tipo de Necronomicon para o monstro; uma tabela numérica de 194 × 194, que oferece aos matemáticos uma visão do enorme monstro astronomicamente. A primeira coluna lista os "tamanhos de representações irredutíveis" do monstro. Essas são palavras bizarras, mas a essência da nossa história é que os dois primeiros significados da primeira coluna são os números 1 e 196.883 . É aqui que a equação de Mackay aparece.

Mackay apontou para Conway que

196884 = 1 + 196883

Conway achou a hipótese de McKay tão absurda que ele chamou de fantasia ou absurdo (luar). Nessa equação, 196884 é o primeiro coeficiente de uma função importante chamada função J , que os matemáticos estudam há muito tempo. Aqui, novamente, começamos a retornar a Augg e a sua pergunta na garrafa de "Jack Daniels".

Uma função J é uma função modular, ou seja, pega um ponto com uma curva modular, como as estudadas por Ogg - e fornece um número (novamente, se você estiver familiarizado com números complexos, pode representar a função modular como uma função em números complexos comuns, mas com uma quantidade obscena de simetria). É difícil explicar com mais clareza o que é uma função modular, mas não se detenha nisso.


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Além disso, a função J é a função modular mais básica para a curva modular mais simples X (1). Essa é a função mais "básica" no sentido de que qualquer outra função modular para X (1) pode ser escrita como um polinômio ou a proporção de polinômios em uma função J. Algumas outras curvas modulares, como X (2), têm uma função modular básica diferente. Vamos chamá-lo de J_2. De fato, X (N) possui uma função modular básica J_N desse tipo, precisamente quando a forma X (N) é uma bola (sem "alças" ou "furos"), exatamente a mesma de Ogg.

Outro matemático Thompson percebeu que a observação de Mackay poderia ser desenvolvida. Ele observou que os próximos coeficientes da função J original também podem ser escritos como a soma dos valores da primeira coluna da tabela de caracteres Monster. Além disso, você pode escrever vários coeficientes de outras funções J_N como somas de outros valores da tabela. Naquela época, Thompson ainda estava trabalhando com uma tabela de caracteres incompleta. Somente em 1979, Fisher, Livingston e Thorne concluíram o cálculo da tabela de símbolos e, mais tarde naquele ano, Conway e Norton transformaram as observações de Thompson em uma hipótese exata. Eles argumentaram que existe uma maneira de escrever qualquer coeficiente da função J como a soma das dimensões das representações irredutíveis de Monster (ou seja, registros da primeira coluna da tabela de símbolos Monster). Além disso, isso pode ser feito de tal maneira que, se trocarmos as entradas da primeira coluna pelas entradas de outra coluna da tabela de símbolos, obteremos os coeficientes de uma das outras funções J_N! Por exemplo, aqui estão os três primeiros coeficientes da função J original (no lado esquerdo das equações):

196884 = 1 + 196883,

21493760 = 1 + 196883 + 21296876 e

864299970 = 2 × 1 + 2 × 196883 + 21296876 + 842609326,

onde 1 , 196883 , 21296876 e 842609326 são os quatro primeiros valores na primeira coluna da tabela de caracteres Monster. E aqui estão os três primeiros coeficientes da função J_2 (novamente, no lado esquerdo das equações):

4372 = 1 + 4371

96256 = 1 + 4371 + 91884 e

1240002 = 2 × 1 + 2 × 4371 + 91884 + 1139374,

onde 1 , 4371 , 91884 e 1139374 são os quatro primeiros valores na segunda coluna da tabela de caracteres Monster. E assim por diante: cada coluna da tabela de símbolos fornece os coeficientes da função modular básica para algumas curvas modulares. Conway e Norton chamaram sua hipótese de absurda monstruosa (Monstrous Moonshine).

Há cerca de um ano, tive a chance de conversar com Conway sobre como essa hipótese apareceu. Ele disse que examinou os novos valores na tabela de símbolos Monster, que exigiram muito esforço para calcular, e depois foi até a biblioteca de matemática e abriu um livro escrito décadas antes com tabelas de coeficientes de funções modulares. E ele descreveu esse sentimento de horror profundo quando os mesmos números ou suas combinações óbvias olharam para ele nas páginas de um livro antigo.

Em 1982, Griss finalmente mostrou como construir um monstro. Pela primeira vez, os matemáticos conseguiram se livrar da cláusula "se o monstro existir". Dez anos depois, Borcherds, um ex-aluno de Conway, provou a hipótese usando a teoria das "álgebras de operadores de vértices", que ele criou especificamente para esse fim. Essa teoria foi criada com base na antiga teoria física da década de 1960. Borcherds recebeu a Medalha Fields de 1998 de várias maneiras por essa evidência. Este é um tipo de prêmio Nobel de matemática, com a exceção de que, por algum motivo inexplicável, você deve ter menos de 40 anos para recebê-lo. Como ouvi, Augg satisfez a resposta de Borcherds à sua pergunta, mas Borcherds não bebe, então a garrafa de Jack Daniels permanece não reclamada. Por outro lado, embora Conway esteja muito satisfeito com o trabalho de Borcherds, ele ainda vê nele apenas um cheque, mas não uma explicação. Sim, agora sabemos que os coeficientes das funções modulares são a soma dos valores dos personagens Monster, mas Conway acredita que ainda não temos uma imagem clara: COMO PODE ESPERAR ISSO?

A história não termina aí. Em 2007, Witten trabalhou na resolução de conflitos em gravidade quântica. A mecânica quântica e a relatividade geral não são muito compatíveis. Witten trabalhou em uma questão simplificada, retirando tudo, exceto a gravidade, da teoria da relatividade. Ele encontrou motivos para acreditar que o VOA da hipótese é a chave da teoria da gravidade nessa construção simplificada. Nesta teoria, a função J se transforma em uma função de seção que conta vários estados de energia. Aqui, aparecem vários símbolos de monstros que correspondem aos estados do buraco negro. Witten perguntou se alguns desses estados de buracos negros são mais comuns que outros. Voltando ao Monster, basicamente se resume à questão: quantas unidades esperamos ver quando decompomos um dado coeficiente de uma função J? Ou quantas vezes 196.883? As unidades são raras? Ou existem principalmente unidades com alguns significados interessantes espalhados aqui e ali? Eu acho que muitas pessoas têm essa pergunta quando se deparam com a hipótese de um absurdo monstruoso. Se tudo se resumisse principalmente a unidades , isso tornaria a teoria muito menos interessante. Mas não se preocupe com isso. Apesar de vermos unidades desde o início, elas se tornam muito raras quando passamos a coeficientes maiores, e símbolos maiores começam a assumir o controle. Após o 200º coeficiente, os símbolos aparecem principalmente em proporção ao tamanho de sua medição. Uma proporção de 1 para todos os outros caracteres é de cerca de 1 em 5,8 × 10 ^ 27. Esta é aproximadamente a proporção entre a massa do clipe de papel e a massa da Terra. O segundo maior símbolo ocorre 196883 vezes mais, o terceiro - 21296876 vezes mais etc. Retornando à configuração de Witten, isso significa que estados de energia maiores para um buraco negro são mais comuns, enquanto o estado de vácuo trivial ( 1 ) praticamente não existe.

Existem muitos outros estudos sobre esse tópico. Nós (matemáticos) observamos (e em alguns casos provamos) um fenômeno para outros grupos fora do Monster. Os especialistas em teoria das cordas continuam espiando nosso trabalho, na esperança de transformar essas novas variações em novas teorias da gravidade.

Para leitores mais experientes em tecnologia que estejam interessados ​​nos detalhes, recomendo o livro de Terry Gannon "Nonsense Beyond the Monster" ou este artigo científico (disponível ao público).