Teoria da felicidade. Termodinâmica da desigualdade de classe

Continuo familiarizando os leitores de Habr com os capítulos de seu livro "Theory of Happiness", com o subtítulo "Fundamentos matemáticos das leis da maldade". Este livro científico ainda não foi publicado, informando de maneira muito informal sobre como a matemática permite que você olhe para a vida do mundo e das pessoas com um novo grau de conscientização. É para aqueles que estão interessados ​​em ciência e para aqueles que estão interessados ​​na vida. E como nossa vida é complexa e, em geral, imprevisível, a ênfase no livro está principalmente na teoria das probabilidades e nas estatísticas matemáticas. Aqui os teoremas não são provados e os fundamentos da ciência não são dados; isso não é de forma alguma um livro, mas o que é chamado de ciência recreativa. Mas é precisamente essa abordagem quase lúdica que nos permite desenvolver a intuição, animar as palestras para os alunos com exemplos vívidos e, finalmente, explicar aos não matemáticos e nossos filhos que encontramos coisas tão interessantes em nossa ciência seca.



Neste capítulo, discutiremos dinheiro, mercados e entropia e também veremos gifs animados que, infelizmente, não podem ser impressos em um livro.

Observação de Hongren:
Entre os economistas, o mundo real é frequentemente considerado um caso especial.

A economia é uma ciência grande, séria, mas peculiar. Sem dúvida, é de vital importância como disciplina que estuda o fenômeno real e importante do nosso mundo: a realidade econômica. A ciência econômica luta pela provabilidade e formalização, possui muita matemática, às vezes complexa e interessante. No entanto, ao abrir um livro econômico sério, você provavelmente encontrará alguns cálculos relativamente simples, receitas prontas e um monte de raciocínio informal nesse espírito: “mas, de fato, tudo pode estar errado e, em geral, como você quiser, se isso acontecer a vontade dos principais atores ou do governo ". No final, pode-se ter a sensação de que a intuição, o conhecimento da psicologia e a capacidade de perceber o contexto geral são mais importantes nessa disciplina do que o cálculo preciso e a consideração meticulosa dos detalhes (trata-se de economia, não de contabilidade). Finalmente, quase metade das dissertações falsas são escritas especificamente sobre economia; portanto, não é tão difícil argumentar razoavelmente sobre temas econômicos. Também tentaremos nossa força nesse campo: bom, em nenhum lugar a injustiça deste mundo é mais aguda do que na questão da distribuição da riqueza. Além disso, não importa em que pessoa esteja envolvida, seja qual for a profissão que possua, ele está envolvido na economia e em seus jogos, das leis da economia, bem como das leis da física, para não se esconder.

De toda a massa de problemas resolvidos pela economia matemática, consideraremos apenas um - como acontece que, mesmo em condições iguais para todos os participantes do mercado e uma troca justa de fundos, os pobres se tornam mais ricos que os ricos e por que mesmo uma sociedade matemática ideal é propensa à desigualdade financeira. Bem, ao longo do caminho, aprendemos algo interessante sobre estatística matemática e distribuição de variáveis ​​aleatórias.

Sou físico pela educação e pela profissão, e minha deformação profissional é expressa em uma visão peculiar do mundo, como em uma variedade de diferentes sistemas e processos físicos. Do ponto de vista de um físico, o mercado real é um sistema aberto substancialmente não estacionário, com muitos graus de liberdade, no qual processos estocásticos (aleatórios) desempenham um papel importante. Nesse sentido, o mercado é semelhante ao estudo de ramos da física como termodinâmica e física estatística, nos quais, diante da impossibilidade de considerar todos os inúmeros detalhes e o comportamento de todos os componentes do sistema, eles alternam para propriedades generalizáveis ​​e mensuráveis, como energia, temperatura ou pressão. . Não é de surpreender que tentativas de descrever termodinamicamente sistemas econômicos e criar econofísica sejam realizadas há mais de cem anos. Mas o problema é: enquanto os cientistas consideram os detalhes, resumem o conhecimento adquirido e discutem sobre leis fundamentais, o principal objeto de estudo é a realidade econômica e tem tempo para mudar além do reconhecimento. Seu comportamento parece procurar preservar ou até aumentar sua incerteza e imprevisibilidade.

Um bom exemplo é a história de dois séculos de uso da análise técnica ao jogar na bolsa de valores. Quando aparece uma nova ferramenta poderosa que permite procurar padrões ocultos e prever o preço de um título ou ação, ela começa a gerar lucro para quem o usa. Mas logo o mercado começa a "sentir" novos participantes e a se adaptar à sua estratégia, a precisão das previsões de um método maravilhoso começa a cair e, após algum tempo, cai em uma grande lista de ferramentas desatualizadas e pouco confiáveis. Nem os modernos algoritmos de redes neurais flexíveis de autoaprendizagem, nem os comerciantes de robôs super-rápidos que realizam milhões de operações por minuto mudaram a principal propriedade do jogo da bolsa de valores nas últimas duas décadas - sua imprevisibilidade. E até agora, as principais vantagens de um profissional nesta indústria são: vontade, resistência de caráter, aversão à paixão ... bem, ou propriedade da troca. Tudo é como em um cassino onde os jogos são baseados em pura chance! Por um lado, é claro que isso é um insulto e, por outro, oferece uma oportunidade para melhorar constantemente métodos e abordagens. Era uma vez, tanto a teoria da probabilidade quanto a estatística matemática, nascidas de tentativas de analisar jogos de azar e jogos econômicos, e só então encontraram aplicação em quase todas as ciências naturais.

Em uma discussão mais aprofundada, falaremos sobre dinheiro, mas essa categoria familiar usada no dia-a-dia é surpreendentemente complexa e ambígua. O significado e o valor do dinheiro dependem de muitos fatores e, fora de contexto, chamando uma certa quantia de dinheiro, não dizemos nada sobre seu valor real. Isso distingue valores monetários da maioria das quantidades físicas que descrevem nosso mundo e dificulta a realização de discussões rigorosas na economia. Mas o objetivo da nossa conversa: os fundamentos matemáticos das leis da maldade, todos os dias, compreensíveis e simples. Portanto, no futuro, falaremos sobre alguns "rublos", referindo-se a um bilhete ou moeda formal, e implicando que quanto mais esses "rublos" alguém tiver, mais ricos eles serão. Outras discussões sobre poder de compra, valores intangíveis ou ilíquidos e “felicidade não está em dinheiro”, finalmente, ficaremos de fora da conversa.

Vamos, pare!

Começamos analisando a justiça de algumas estratégias simples para distribuir uma certa quantia de dinheiro a um grupo finito de pessoas.

A primeira estratégia mais óbvia: “pegue tudo e divida”, ou seja, para dar a cada membro do grupo uma parcela igual do valor total. Essa distribuição é chamada degenerada , tem um índice de Gini igual a zero e corresponde a uma curva de igualdade no diagrama de Lorentz.


Distribuição degenerada absolutamente justa do dinheiro: todos estão igualmente divididos.

Ótima opção! Vamos chamá-lo de "estratégia de Sharikov" em homenagem ao herói do romance de Mikhail Bulgakov "Dog Heart", que propôs dessa maneira resolver todos os problemas econômicos.

A segunda estratégia mais realista é distribuir para todos um rublo aleatoriamente. Quem tem sorte. Podemos chamar essa estratégia de "Poisson" , pois é assim que eventos aleatórios independentes no processo de Poisson são distribuídos na escala de tempo. Para um grupo de $$$n$ pessoa a probabilidade de cada um dos participantes receber o rublo é $$$1 / n$ . Após a distribuição desta maneira $$$M$ rublos, todos devem receber uma quantidade igual ao número desses resultados "positivos". A função de probabilidade para tal soma é bem conhecida - é uma distribuição binomial , semelhante a um sino, dispersando simetricamente em torno do valor médio $$$M / n$ . Geralmente eles o apresentam calculando a probabilidade de obter a quantia indicada jogando dados. Para valores grandes $$$M$ a distribuição binomial torna-se quase indistinguível do normal. Vamos ver como isso mudará, conforme o dinheiro é distribuído, a distribuição do dinheiro no grupo e sua justiça.


O resultado da distribuição de dinheiro segundo o princípio "a quem Deus enviará" é uma distribuição binomial. Quanto mais dinheiro distribuímos, maior o valor da média e do spread, mas a probabilidade de não receber nada quase desaparece.


Essa distribuição, do ponto de vista da justiça, parece muito boa, além disso, torna-se mais justa quanto mais dinheiro damos ao público! Apenas ótimo! É uma pena que a sociedade não esteja organizada da mesma maneira e que a chuva não despeje dinheiro sobre todos nós igualmente.

Para completar, vamos ver outra distribuição artificial simples de dinheiro - uniforme . Com esta distribuição, os pobres serão tanto quanto os ricos.


Distribuição uniforme não significa que o dinheiro seja distribuído uniformemente por todos. Com esta distribuição, o número de camponeses ricos, pobres e médios é o mesmo, mas o dinheiro pertence principalmente aos ricos.


Para uma distribuição uniforme, a curva de Lorentz é uma parábola quadrática e, se o limite esquerdo da distribuição for zero, essa parábola é independente da posição do limite direito e o índice de Gini para todas essas distribuições é exatamente $$$1/3$ . Esse valor de índice (mas não essa distribuição!) Estava, por exemplo, na economia australiana nos anos 2000 - esse é um bom indicador.

No entanto, o mercado é o mercado! As distribuições consideradas acima são boas, mas requerem condições especiais para sua ocorrência. Se você der às pessoas a liberdade de trocar dinheiro, trocar dinheiro por serviços, economizá-lo e gastá-lo em uma noite, as distribuições ideais perderão estabilidade e se transformarão em outras.

Nova política econômica!

Considere um grupo de $$$n$ a pessoa Como resultado da revolução, distribuiremos a todos os participantes do experimento uma quantia igual em dinheiro - por $$$m$ rublos para todos, tendo recebido a mais justa distribuição Sharikov de fundos na sociedade. Agora, daremos a eles a liberdade de enriquecer e empobrecer pela vontade de seu próprio destino e construir um modelo de mercado primitivo. Pedimos a alguém selecionado aleatoriamente para dar um rublo a qualquer pessoa do grupo que também foi selecionada aleatoriamente. Digamos que esta seja a compra de um determinado serviço a um preço fixo. A distribuição da riqueza deve mudar: alguém terá menos dinheiro, alguém mais. Vamos repetir o procedimento de intercâmbio repetidamente e ver como a distribuição da riqueza no grupo mudará.

É prudente refletir sobre o que esperamos ver antes de realizar o experimento. A troca de dinheiro entre os participantes ocorre igualmente provável, como no caso da estratégia de distribuição de dinheiro de Poisson, mas, ao mesmo tempo, os jogadores perdem dinheiro, além disso, de acordo com o mesmo princípio de Poisson e com a mesma intensidade. Assim, pode-se supor que incrementos positivos e negativos serão normalmente distribuídos e localizados simetricamente em relação a zero. Cada jogador, no final, receberá uma diferença desses incrementos, que para duas variáveis ​​aleatórias normalmente distribuídas também serão normalmente distribuídas, neste caso, em torno de zero, uma vez que perdas e vitórias são simétricas.


Após muitas trocas, cada jogador receberá e perderá uma quantia que obedece a uma distribuição próxima ao normal. A receita total também será normalmente distribuída em torno de zero.

Assim, temos um passeio aleatório clássico com incrementos normalmente distribuídos e podemos esperar alguma difusão de fundos em torno da média $$$m$ . A função de probabilidade deve ser desfocada, aumentando a variação a um valor médio constante. Tudo parece ser simples.

Mas há uma nuance. Se, por alguma razão, alguém do grupo não tiver mais recursos, ele não poderá adquirir serviços dando dinheiro, mas, ao mesmo tempo, poderá recebê-lo. O valor possível da riqueza é limitado a zero à esquerda, o que significa que a difusão da riqueza não pode se espalhar indefinidamente, e a função de probabilidade observada, mais cedo ou mais tarde, deixará de ser simétrica.

Há mais uma nuance. A quantidade de dinheiro em nosso sistema fechado é limitada e invariável, o que significa que passeios aleatórios não são independentes. Algum jogador sortudo será capaz de obter quantidades muito grandes e ficar muito longe do conjunto, mas apenas se a massa total se tornar mais pobre. Os participantes do experimento são reunidos por uma rede invisível pela lei de economizar dinheiro no sistema. O que a distribuição de dinheiro buscará nessas condições? Parece que a resposta não é tão óbvia quanto pode parecer à primeira vista, vejamos a simulação e vejamos o que acontece.


Resultado da simulação para compartilhar uma quantia igual de dinheiro por $$$n = 1000$ e $$$m = 100$ . A princípio, de fato, é observado um fenômeno semelhante à difusão, mas, à medida que a função de probabilidade atinge o limite esquerdo, a distribuição tende a uma forma característica assimétrica e não muito justa, com um coeficiente de Gini próximo a $$$0,5$ .


Se um físico ler este livro, ele poderá assumir com confiança que isso pode ser uma distribuição; ele a chamará de distribuição de Gibbs. Um leitor atento pode se lembrar de que já encontramos uma imagem semelhante e com esse índice de Gini quando examinamos a frustração enquanto aguardamos um ônibus. Em seguida, examinamos a distribuição de intervalos entre os eventos de Poisson, que foi descrita por uma distribuição exponencial. Ambos os senhores astutos terão razão, chamando nomes diferentes da mesma distribuição maravilhosa.

As pessoas são moléculas

A distribuição de Gibbs é do campo da física estatística. Ele descreve as propriedades dos sistemas chamados de bela palavra "conjunto", que consistem em muitos elementos em interação, na maioria das vezes partículas. No conjunto, você pode selecionar subsistemas arbitrários (por exemplo, partículas individuais ou seus grupos) e atribuir-lhes determinadas funções de estado (podem ser coordenadas generalizadas, velocidades, concentrações, potenciais químicos e muito mais). Usando os métodos da física estatística, é possível explicar e calcular os parâmetros de uma ampla variedade de fenômenos: processos químicos e catalíticos, turbulência, ferromagnetismo, comportamento de cristais líquidos, superfluidez e supercondutividade e muitos outros.

A distribuição de Gibbs responde à pergunta: qual é a probabilidade de encontrar um determinado estado do subsistema se: a) a energia do estado é dada; b) as propriedades macroscópicas (relativamente falando, globais) do sistema, como temperatura, ec) é sabido que o sistema está em equilíbrio termodinâmico? Pode ser expresso esquematicamente da seguinte maneira:

$$

$$p _ {\ mathrm {Gibbs} (T)} (x) = C e ^ {- \ frac {E (x)} {kT}},$$

onde $$$x$ - um certo estado do subsistema, $$$E (x)$ É a energia deste estado, $$$T$ É a temperatura absoluta do sistema (ou seu análogo) e $$$C$ e $$$k$ - valores necessários para normalização e conformidade das dimensões. A condição de equilíbrio é muito importante, significa que o tempo desaparece da consideração e que todo o sistema estará em seu estado mais provável para as condições dadas.

Não precisamos de uma derivação rigorosa da expressão para a distribuição de Gibbs aqui; em vez disso, quero mostrar um belo raciocínio puramente matemático que leva à sua forma exponencial. Como consideramos as partes do sistema que se somam a todo o sistema, vale a pena escolher uma quantidade aditiva como característica, ou seja, de modo que seu valor para o conjunto seja a soma aritmética dos valores de suas partes. A energia pode ser usada como tal quantidade na mecânica. Por outro lado, calculamos a probabilidade de observar um determinado estado do sistema e a probabilidade é multiplicativa , ou seja, se o sistema puder ser dividido em partes, a probabilidade de observar todas essas partes ao mesmo tempo será igual ao produto das probabilidades para o estado de cada uma das partes. Assim, precisamos de uma função que transforme uma quantidade aditiva em multiplicativa. Somente a função exponencial possui essa propriedade. $$$a ^ x$ , a soma dos argumentos se transforma em um produto de valores: $$$a ^ {x + y} = a ^ x a ^ y.$ Bem, de todas as funções exponenciais, o mais conveniente é o expoente, pois se comporta muito bem quando integrado e diferenciado.

Em nosso modelo de mercado, temos uma quantidade aditiva - a quantidade de dinheiro que cada jogador possui, isso é um análogo da energia. Na troca descrita por nós, essa quantidade, como energia no sistema físico, é conservada. E qual é o ponto da temperatura? É fácil descobrir olhando a expressão para a densidade de probabilidade da distribuição exponencial:

$$

$$p _ {\ mathrm {Exp} (\ lambda)} (x) = \ lambda e ^ {- \ lambda x},$$

e lembrando que a média para ele é $$$1 / \ lambda$ . Como o número de jogadores durante o processo de licitação é inalterado, a quantidade média aritmética de dinheiro dos jogadores é igual à quantidade distribuída inicialmente $$$m$ . Segue-se naturalmente que $$$\ lambda = 1 / m$ , a quantidade média de dinheiro dos jogadores age como a temperatura em nosso modelo econômico. Em um mercado “aquecido” e com grande liquidez, poderemos observar um spread maior no nível de bem-estar do que no “frio”, porque a dispersão na distribuição exponencial é $$$1 / \ lambda ^ 2$ . Como Ostap Bender disse no “bezerro de ouro” de I. Ilf e E. Petrov: “Uma vez que algumas notas circulam pelo país, deve haver pessoas que as têm”.

Para ser absolutamente preciso, e lembre-se de que o dinheiro em nosso experimento é uma quantidade discreta, observamos uma distribuição geométrica - um análogo discreto de exponencial. Ocorre no problema de contar o número de falhas antes da primeira vitória ao jogar moedas de vários graus de honestidade. Essas duas distribuições são semelhantes e tornam-se indistinguíveis com uma diminuição na probabilidade de vitória. Em nosso experimento, as chances de obter o rublo são iguais $$$1/1000$ , é pequeno o suficiente para chamar a distribuição exponencial.

Resta lidar com o equilíbrio do estado final do mercado. O equilíbrio termodinâmico pode ser descrito de várias maneiras. Primeiro, o estado estacionário deve estar em equilíbrio , no qual o sistema pode permanecer indefinidamente, sem alterar seus parâmetros macroscópicos e sem formar fluxos ordenados de matéria e energia dentro de si. Em segundo lugar, ele deve ser estável , ou seja, se o sistema estiver desequilibrado, tenderá a retornar a ele. Em terceiro lugar, esse é o estado mais provável do sistema, mais frequentemente observado, para o qual, com o tempo, o sistema tenderá a obter de qualquer outro estado sem equilíbrio. Nosso experimento demonstra esses critérios para o equilíbrio: tendo chegado a uma distribuição exponencial, o sistema permanece nele e, além disso, é fácil garantir no experimento que, a partir de qualquer distribuição arbitrária, após algum tempo, voltemos ao exponencial. Mas isso não é prova, mas apenas uma dica de que provavelmente estamos lidando com equilíbrio. Precisamos de algum tipo de critério formal mensurável que indique inequivocamente que o sistema está em equilíbrio sem a necessidade de esperar indefinidamente ou de classificar todas as possíveis distribuições iniciais. Este seria um critério útil que poderia ser aplicado ao mercado real, sem a necessidade de realizar experimentos arriscados com pessoas vivas.

Tao expresso em palavras - não é verdade Tao

Reflexões sobre equilíbrio levaram os físicos ao conceito de entropia , que gradualmente foi além da termodinâmica e foi tão apreciado por cientistas de todas as direções, filósofos e público em geral, que agora a entropia recebeu uma aura de mistério, incompreensibilidade e Deus sabe outra coisa. Um conceito simples e especial, em essência, ganhou reputação nas mentes das massas como um conceito inexplicavelmente governante do mundo. Isso se deve ao fato de a termodinâmica ser uma ciência universal que descreve em um nível muito alto de abstração um sistema de natureza muito diversa: do físico, químico e biológico ao social, econômico e até puramente humanitário. Após o curso escolar, no entanto, permanece a sensação de que a termodinâmica é sobre um gás ideal chato, alguns pistões e um ciclo impossível de Carnot. Uma visão tão unilateral está ligada ao fato notável de que a termodinâmica, sendo um dos ramos mais abstratos e universais da ciência natural, resolve elegantemente problemas aplicados, compreensíveis para crianças em idade escolar e úteis na indústria. Não se pode dizer, por exemplo, sobre teoria ou topologia de categoria, que também são disciplinas muito abstratas, universais e indubitavelmente úteis, mas quase nunca são encontradas nas tarefas diárias.

Então entropia. O criador da termodinâmica, Clausius, e mais tarde Gibbs e Boltzmann, exigiram uma característica quantitativa de equilíbrio, indicando a probabilidade de observar o estado indicado do sistema ou de suas partes. Além disso, esse valor, que reflete uma probabilidade de natureza multiplicativa, deve ser uma função de estado aditivo para que possa ser calculado para o sistema adicionando os valores calculados para suas partes. Quando procuramos uma função adequada para a distribuição de Gibbs, partimos do fato de que ela deveria transformar um argumento aditivo em um valor multiplicativo. Ao procurar uma expressão para entropia, precisamos de uma função multiplicativa em argumento e aditiva em valor - essa é uma função logarítmica, a inversa da exponencial. A entropia do estado de um sistema complexo pode ser expressa como o valor esperado para o logaritmo da probabilidade de observar o estado de todas as suas partes ou, de acordo com Boltzmann, como o logaritmo do número de maneiras pelas quais esse estado do sistema pode ser realizado. Nesse caso, o estado mais provável corresponde a um valor maior de entropia e, ao estado de equilíbrio, o máximo possível.

O número de maneiras de realizar esse ou aquele estado depende do número de restrições ou condições sob as quais esse estado pode ser realizado. Quanto menos restrições, maior a probabilidade do estado e maior o valor de sua entropia. Essas restrições e condições fazem sentido das informações de status. Daí a ideia de que a entropia reflete o grau de nossa ignorância do sistema: quanto menos sabemos sobre o estado, maior é a sua entropia. Mais tarde, Shannon generalizou esse conceito para qualquer sistema contendo informações, inclusive para distribuições de variáveis ​​aleatórias. Aqui está o que ele fez: para uma variável aleatória $$$X$ definido por uma função de probabilidade $$$p (x)$ entropia é definida da seguinte forma:

$$

$$H (X) \ equiv - \ mathrm {M} (\ ln (p (x))) = - \ soma {p (x) \ ln (p (x))},$$

onde a soma é realizada sobre todos os valores $$$x$ em que $$$p (x)> 0$ . Assim, somos capazes de calcular a entropia do estado de qualquer sistema complexo, tendo sua descrição estatística.

É assim que a entropia muda à medida que nosso modelo de mercado chega ao equilíbrio.


O crescimento da entropia à medida que o mercado se aproxima do estado de equilíbrio. A linha horizontal no gráfico à direita mostra o valor teórico da entropia para a distribuição exponencial, igual a $$$1- \ ln (\ lambda)$ . A “prateleira” intermediária corresponde ao período durante o qual a distribuição passou pelo estágio de difusão e parecia normal.

Assim, cada distribuição: definida analiticamente ou obtida experimentalmente na forma de um histograma, pode ser associada a um número positivo - sua entropia. Isso significa que as distribuições podem ser comparadas entre si, determinando mais ou menos equilíbrio e provável para determinadas condições. Além disso, para uma certa classe de distribuições, é possível distinguir uma distribuição com entropia máxima, além disso, apenas uma. As classes são definidas por restrições ou pela medida do nosso conhecimento das propriedades estatísticas de um sistema. Aqui estão alguns exemplos:

o que sabemos sobre a variável aleatória $$$X$	distribuições com entropia máxima
$$$X \ em [a, b]$	uniforme sobre o corte $$$[a, b]$
$$$X \ in \ {0,1 \}$	Distribuição Bernoulli
$$$X \ em [0, \ infty)$ + média	exponencial, para uma quantidade discreta - geométrica
$$$X \ em [x_m, \ infty)$ + média geométrica	Distribuição de Pareto (potência)
$$$X \ em [0, \ infty)$ + média + média geométrica	distribuição gama
$$$X \ em [0, \ infty)$ + média geométrica + variação da média geométrica	log normal
$$$X \ in (- \ infty, \ infty)$ + média + variação	normal

Familiar todos os rostos! Essas são distribuições frequentemente usadas que os estatísticos aplicam à classe mais ampla de tarefas. Sua universalidade se deve precisamente ao fato de que, tendo entropia máxima, são mais prováveis ​​e observáveis. Para eles, como equilíbrio, muitas distribuições de variáveis ​​aleatórias reais tendem. A mais livre de restrições dentre todas as outras é a distribuição normal: requer um mínimo de informações sobre uma variável aleatória. Menos falhará: se indicarmos apenas o valor médio, em um esforço para aumentar a entropia, a distribuição "borrará" ao longo de todo o eixo numérico.Mas, se conhecermos apenas o valor médio, mas ao mesmo tempo limitarmos a variável aleatória a valores positivos, a distribuição do equilíbrio será inequívoca - exponencial. É esse o caso que observamos em nosso experimento com o mercado. Sabíamos antecipadamente apenas quanto dinheiro distribuímos a cada jogador e o fato de a quantidade de dinheiro no sistema ser constante, isso fixou um valor médio. E como nosso dinheiro é positivo, provavelmente em equilíbrio, obtemos a distribuição exponencial da riqueza com o índice de Gini igual a$$$1/2$ .

Existem muitas modificações no modelo descrito por nós: a troca pode ocorrer não em um rublo, mas em um valor aleatório limitado pelo estado do doador, enquanto é possível dar dinheiro não a um jogador, mas distribuí-lo aleatoriamente. Até introduzirmos novos parâmetros no jogo, todas essas modificações não mudam a forma da distribuição de equilíbrio da riqueza - ela permanece exponencial. Você pode verificar isso com a ajuda da simulação, mas não é interessante fornecer fotos para vários métodos de troca - eles são todos iguais. Muitos pesquisadores observaram esse recurso dos modelos de mercado. Um modelo interessante é o construído por Dragulescu e Yakovenko, da Universidade de Maryland, no qual os jogadores são combinados em certas empresas e, em seguida, é simulada a interação das empresas com os jogadores-trabalhadores e compradores-jogadores.Mas mesmo neste caso complexo, o equilíbrio é a distribuição exponencial, que é indiferente aos parâmetros escolhidos do modelo.

Para demonstrar a universalidade do princípio da entropia máxima, limitemos artificialmente o nível de riqueza de um jogador individual de cima, proibindo-o de receber dinheiro se ele já tiver uma certa quantia fixa. A distribuição do equilíbrio, é claro, mudará. E caso a borda direita seja igual ao dobro do valor médio, chegamos ao caso descrito na primeira linha da tabela. De fato, limitando a variável aleatória a um segmento finito e não indicando mais nada, não podemos assumir nenhum outro valor esperado da média, exceto o meio desse segmento. Portanto, a distribuição de equilíbrio com esta opção deve ser uniforme. Vamos verificar se é assim?


É o que acontece quando o nível superior de riqueza dos jogadores é limitado e, portanto, o limite superior é exatamente o dobro da média. De acordo com o princípio da entropia máxima, a distribuição do equilíbrio deve ser uniforme. A linha horizontal no gráfico à direita mostra o valor teórico da entropia para uma distribuição uniforme.


E o que acontecerá se a simetria for quebrada, isto é, se movermos a borda direita para a direita ou esquerda?

<\ br>

Variantes de distribuições limitadas assimétricas em comparação com distribuições de Bernoulli correspondentes à mudança do valor médio. As linhas horizontais nos gráficos de entropia indicam os valores teóricos para a entropia das distribuições de Bernoulli.

A distribuição da riqueza deixou de ser uniforme, assumindo a forma de um exponencial limitado. Com o deslocamento da borda direita para a esquerda, o saldo de jogadores ricos tornou-se mais do que pobre. Se "aproximarmos" o histograma com apenas duas colunas, obtemos a distribuição de Bernoulli mostrando a probabilidade de ser condicionalmente "pobre" ou "rico". Quando os valores de uma variável aleatória são limitados a apenas dois valores, a distribuição de Bernoulli é a única opção; é claro, fornece um máximo de entropia. Mas preste atenção ao fato de que a entropia de nossas distribuições de modelos tende precisamente aos valores previstos pela distribuição de Bernoulli. Os coeficientes de Gini para esses dois casos são iguais$$$0.43$ e $$0,2 , respectivamente.$0.2$

A entropia misteriosa e poderosa é, é claro, legal e, talvez até convincente. Mas por que, com uma troca simétrica, os pobres se tornam mais ricos que os ricos? Por que o modo de distribuição de equilíbrio é igual a zero? É necessário, como dizem os físicos, entender a cinética do processo, isto é, o destino das partículas individuais. Não nos equivocamos ao supor que o modelo de passeio aleatório descreve uma mudança no estado de um licitante individual: é igualmente provável que ele dê passos para cima e para baixo. E para uma caminhada aleatória, uma famosa lei da maldade é cumprida: a maldição do jogador. Deixe-me lembrá-lo de que consiste no fato de que, com uma observação suficientemente longa, uma partícula aleatória aleatória estará necessariamente em qualquer lugar indicado previamente.Além disso, a distância em que a partícula se afasta de qualquer ponto de partida é proporcional à raiz quadrada do número de etapas. Tudo isso leva ao fato de que, se uma partícula começa seu caminho perto de zero, provavelmente a alcançará, e como zero em nosso problema é um limite impenetrável, ela será forçada a iniciar seu caminho novamente e novamente perto do ponto zero, experimentando a maldição notória. À medida que a partícula se afasta do zero, a probabilidade de retornar a ela diminui e os ricos se tornam mais propensos a salvar sua condição. Mas então o que impede a partícula de se afastar arbitrariamente para longe, e para um jogador em particular se tornar arbitrariamente rico? De fato, nada além da finitude do dinheiro no sistema - a distribuição exponencial é diferente de zero em todo o eixo positivo.Mas, para alcançar uma riqueza incrível de acordo com as regras do nosso jogo, é necessário que todos os jogadores selecionem aleatoriamente o mesmo jogador repetidamente. E pela primeira vez, a probabilidade de tal escolha é$$( 1 / n ) n - 1 é um bilionésimo para um grupo de dez pessoas, e é incrível repeti-lo muitas vezes por acidente. A escolha a quem dar dinheiro em nosso modelo recai igualmente sobre todos, o que significa que ele ficará não apenas rico, mas também pobre. Há justiça neste mundo! Embora triunfante não por muito tempo, se você não é rico.$(1/n)^{n-1}$

A economia deve ser econômica

Enquanto nosso modelo de troca não levar em consideração a prosperidade dos jogadores, ele permanecerá irreal. De fato, os ricos gastam mais e os pobres gastam menos, além disso, pessoas razoáveis ​​tentam manter parte de sua fortuna. Como próxima complicação do modelo, vamos exigir que os jogadores dêem uma certa parte conhecida ao trocar$$α de sua condição. Um novo parâmetro e uma nova restrição são introduzidos no sistema, portanto, o estado de equilíbrio pode se desviar do exponencial. Usando frações do nível de bem-estar, passamos a características multiplicativas, como, por exemplo, retorno do investimento, retorno do investimento, etc. Todos os livros de economia indicam que, se você deseja calcular o retorno médio do investimento, digamos, por muitos anos, deve calcular a média geométrica dos retornos de cada ano. No nosso caso, a média geométrica é exclusivamente, embora não trivialmente, determinada pelo valor$\alpha$$$$\alpha$ .Assim, adicionando um novo parâmetro, fixamos a distribuição média geométrica da renda dos jogadores ou o rendimento médio do modelo de mercado. Portanto, podemos esperar que a distribuição de equilíbrio da riqueza seja bem descrita pela distribuição gama. Podemos nos convencer disso, tendo realizado modelagem de simulação.


Se os custos da troca são proporcionais à abundância, a distribuição de equilíbrio tende a uma distribuição gama característica em forma de sino assimétrica. Neste modelo $$$\alpha = 1/3$ . O retorno médio da troca foi $$$75\%$ .


A diminuição da parcela dos pobres se deve ao fato de que eles gastam, em média, menos do que recebem dos ricos, porque ambos trocam ações de seu capital. Mas esse elevador social só funciona quando$$$\alpha< 1/2$ .Se você gastar mais da metade do que tem, a probabilidade de estar nos pobres se torna muito tangível. Para vários valores$$α pode ser obtido de forma muito diferente na forma de distribuição com uma ampla gama de injustiças:$\alpha$


Diferentes opções para distribuições de equilíbrio a custos proporcionais à riqueza. Os gráficos são marcados com valores $$$\alpha$ e no gráfico à direita entre parênteses também estão os valores do índice de Gini.



Pode-se ver que quanto mais parte dos participantes do capital é forçada a gastar (por exemplo, necessidades diárias ou alimentos), maior a proporção de pobres se torna e menos justa a sociedade se torna. Curioso que com$$α = 1 / 2 o equilíbrio torna-se distribuição exponencial, tanto no modelo com uma troca igual. A distribuição exponencial é um caso especial de distribuição gama; portanto, essa transformação, por si só, não é surpreendente. Mas há uma sutileza curiosa: a entropia desse caso em particular é mais do que a entropia de distribuições com quaisquer outros valores$\alpha=1/2$$$$\alpha$ . Veja como a entropia muda à medida que a situação se desenvolve $$$\alpha=0.75$ :

No processo de transição para o equilíbrio, o sistema "pula" o estado com entropia máxima.

A princípio, o valor da entropia aumenta monotonicamente; então, sem atingir um máximo teórico correspondente à distribuição exponencial, ele para e começa a diminuir. Existe uma contradição com a definição de um estado de equilíbrio como um estado com um máximo de entropia? Não há contradição, uma vez que o estado de equilíbrio deve ser estacionário, ou seja, não cria fluxos de energia direcionados e é estável ou, falando a linguagem da teoria dos sistemas dinâmicos, atraindo um sistema para si. E de todo equilíbrio estacionário será o estado com entropia máxima. E no nosso caso$$α = 0,75 , a distribuição exponencial corresponde a um estado instável.Pesquisadores da Universidade de Boston Ispolatov e Krapivsky complicaram o modelo de troca proporcional de tal maneira que a troca leva em consideração não apenas o bem-estar dos gastos, mas também o recebimento. Um milionário raramente compra algo de um quitandeiro, e um quitandeiro raramente tem muita renda; por outro lado, um fabricante de automóveis de classe extra só interage com clientes ricos, mas ele próprio não será lucrativo. E assim, nos modelos em que os ricos começam a pagar principalmente pelos ricos e pelos pobres - pelos pobres, a sociedade está desmoronando completamente.$\alpha = 0.75$




, . $$$\alpha = 0.3, \beta = 0.1$ (. ).

Nesse sistema, existe apenas um estado estacionário: quando todos os jogadores não têm (e, portanto, não recebem) absolutamente nada, e toda a riqueza é destinada a alguém sozinho. O coeficiente de Gini nesse estado é quase igual à unidade e está muito longe do equilíbrio normal - sua entropia é quase zero. A situação pode ser salva por uma restrição de baixo, que proíbe os jogadores de perderem absolutamente todas as suas economias; nesse caso, a distribuição de equilíbrio se torna novamente exponencial ou em forma de gama. Também podemos introduzir uma restrição de cima - então obtemos uma certa distribuição assimétrica correspondente à distribuição de Bernoulli. O modelo desse mercado selvagem é bastante aplicável ao mercado de valores mobiliários sem restrições, mas eles estão enfrentando dificuldades nas bolsas reais, introduzindo restrições no volume de transações,comprometidos por dia e em níveis máximos de crescimento ou queda no preço de um ativo.

Todas essas são conclusões tristes, não falando a favor do livre mercado, ou é o caso, o modelo proposto por Sharikov! Mas qual é a entropia de uma distribuição degenerada? De acordo com a fórmula padrão, é exatamente zero. Essa é a distribuição mais sem equilíbrio, mais improvável e, em qualquer modelo de troca, é instável, de modo que tal sociedade só pode ser obtida artificialmente. O mercado selvagem, é claro, não é um presente - é instável e tende a uma desigualdade evidente. São necessárias muitas restrições mutuamente acordadas e relacionamentos afinados para construir um mercado sustentável e uma sociedade mais ou menos justa. A humanidade tem explorado essa questão há muito pouco tempo e, basicamente, por toque, por tentativa e erro, mas uma coisa é clara: a injustiça no espaço econômico não é uma conseqüência da natureza humana imunda, mas uma propriedade objetiva do sistema.do qual todos fazemos parte. Além disso, as tentativas de criar justiça absoluta no estilo Sharikov sempre foram com batalha e sangue, e os resultados, devido ao seu desequilíbrio, não existiram por muito tempo.

É improvável que moléculas e átomos estejam falando sobre a injustiça de seu mundo, e físicos e engenheiros por duzentos anos chegaram a um acordo com o fato de que, independentemente do mecanismo de calor ideal que eles construíram, o caos não permitirá que o calor seja convertido para trabalhar mais do que a parcela necessária. Quando está claro, não é tão ofensivo. Espero que este capítulo ajude um leitor curioso a entender e aceitar nosso mundo complexo e injusto.