Como a matemática da rede pode ajudá-lo a fazer amigos

Examinar a estrutura das amizades existentes em seu ambiente pode ajudá-lo a criar novos relacionamentos e criar um novo círculo de amigos.

Mudando para uma nova escola, um novo emprego, mudando para uma nova cidade - como você faz novos amigos? Você pode abordar o problema ativamente, formar relacionamentos estrategicamente úteis com caras populares. Ou você pode deixar tudo ao acaso, contando com grupos e conexões aleatórios. Em qualquer abordagem, entender a estrutura das amizades existentes em um novo ambiente pode ajudá-lo a formar os melhores novos relacionamentos, o que acabará por determinar o seu círculo de conhecidos.

Imagine se mudar para uma nova cidade incomum, Regularsk, na qual existe uma regra estranha: cada pessoa pode ter não mais que quatro amigos, mas todos desejam maximizar o número de suas conexões. Como será a estrutura dos títulos do Regularsk? Para estudar esta questão, usamos um objeto matemático chamado rede.

Simplificando, uma rede é uma coleção de objetos chamados "nós" e as conexões entre eles. Redes são um conceito matematicamente flexível. Eles podem indicar computadores e cabos que os conectam, autores e seus assistentes, estados do cubo e transformações de Rubik, permitindo passar entre eles - de fato, qualquer tipo de conexão, real ou abstrata. Para estudar amizades em Regularsk, criaremos uma rede na qual as pessoas serão nós e amizades entre elas.

Denotando a rede, será útil representar os nós na forma de pontos e as conexões na forma de linhas, que também podemos chamar de arestas. Esse diagrama de rede pode nos ajudar a entender sua estrutura. Então, como será a rede de amizade de Regularsk? Em algum momento, pode ser assim:



Cada pessoa tentará encontrar quatro amigos e novas pessoas que vierem à cidade procurarão aqueles que ainda têm menos de quatro amigos. Essa rede crescerá com o tempo e se expandirá constantemente com a adição de novos nós. (É possível formar grupos independentes, mas neste exemplo nós os negligenciamos).

Os diagramas de rede podem ajudar a entendê-los, mostrando uma estrutura clara. Mas quando as redes crescem ou não mostram uma estrutura regular como a rede Regular, os diagramas podem se tornar menos úteis. Nesse caso, é útil desenvolver vários métodos para analisar a estrutura da rede. Um deles é avaliar a distribuição de graus de vértices.

Em uma rede, o número de links de um nó específico é chamado de grau. Um nó está altamente associado a muitos outros; um nó com um baixo grau está associado a menos outros nós.


À esquerda - um nó com um grau de 8, à direita - com um grau de 3

O grau de nós é uma característica importante da rede, mas local: descreve a estrutura da rede apenas dentro de um nó. Mas se você cobrir os graus de todos os nós de uma só vez, poderá criar uma ferramenta útil para estudar a estrutura de rede global.

Em nossa rede de amigos, o grau de cada nó é o número de amigos de uma pessoa. No Regularsk, a maioria das pessoas tem quatro amigos; portanto, a maioria dos nós tem um grau de 4. Ninguém terá mais amigos, mas alguém terá menos, portanto haverá nós com graus 3, 2 ou 1. Você pode resumir a distribuição dos graus da seguinte maneira:



Este histograma transmite informações importantes sobre a estrutura da nossa rede. Neste exemplo simples, ele pode não nos transmitir tanto quanto um diagrama de rede completo, mas veremos como a distribuição de graus pode ser muito útil para estudar várias redes.

Vamos mudar para outra cidade. Em uma bagunça, o namoro começa aleatoriamente. Como o acaso é uma coisa complicada, vamos delinear claramente o escopo: cada morador da cidade é designado por um nó de rede e cada extremidade possível é uma conexão amigável. Para criar uma conexão aleatória, escolheremos uma dessas arestas possíveis de maneira aleatória e a desenharemos, criando assim uma conexão entre dois nós e, portanto, amizade entre duas pessoas.

Como será a rede de bagunça? Se assumirmos que começamos com vários nós e adicionamos aleatoriamente várias arestas, a imagem pode ser a seguinte:



Nesse diagrama, é difícil ver a estrutura. No entanto, muita coisa nos dirá a distribuição de graus nesta rede. É difícil calcular diretamente, mas pode ser representado usando várias propriedades importantes e um exemplo simples.

Suponha que você seja um dos dez residentes da bagunça. Quantas amizades prováveis ​​podem existir nela? Cada um dos dez residentes pode ser associado a outros nove, portanto, em princípio, é possível desenhar 10 × 9 = 90 arestas. Mas esse cálculo leva em consideração cada conexão duas vezes - uma vez para cada um dos dois amigos. Portanto, de fato, o número total de títulos deve ser 90/2 = 45.

Agora, digamos que escolhemos aleatoriamente um relacionamento amigável - ou seja, uma das 45 arestas possíveis. Qual a probabilidade de a costela se conectar com você? Nove arestas podem deixar você em um dos nove nós restantes. Como nove das 45 arestas possíveis levam a você, a probabilidade de uma aresta selecionada aleatoriamente se conectar a você é 9/45 = 1/5, ou 20%.

Mas o mesmo argumento se aplica ao Transtorno, de modo que cada nó terá 20% de chance de se conectar a uma aresta selecionada aleatoriamente. Com o aumento do número de arestas e nós, essas probabilidades mudarão um pouco, mas, a longo prazo, permanecerão aproximadamente no mesmo nível. Ou seja, as amizades serão distribuídas de forma aproximadamente igual na bagunça. Em alguns lugares, pequenos desvios serão observados, mas a probabilidade de uma pessoa ter muitas ou poucas amizades será pequena. No Transtorno, a maioria dos residentes provavelmente terá amigos íntimos com amigos comuns.

Esses recursos estão relacionados à " distribuição binomial " de graus de uma rede aleatória típica.



Tendo acesso apenas à distribuição de graus na rede, já podemos encontrar uma certa uniformidade: a maioria dos nós em termos de conectividade são médios e um número muito pequeno de nós está em posições extremas. Esta informação é útil para entender a estrutura da rede. Com a adição de nós, ou seja, com a chegada de novas pessoas na cidade, a distribuição mudará um pouco, mantendo as principais características.

Mas nenhum desses exemplos - não mais que quatro amigos em Regularsk ou uma amizade que aparece aleatoriamente em Desordem - é um modelo realista de vínculo de amizade. As pessoas podem ter mais de quatro amigos, e a presença de um grande número de conhecidos não é tão rara quanto na distribuição binomial. Qual será o modelo de amizade mais realista?

Ao estabelecer conexões com amigos e amigos de amigos, é provável que a estrutura de suas amizades se assemelhe a outras redes do mundo real - redes de alimentos , interações proteína-proteína ou Internet. Suas propriedades caracterizam as chamadas redes sem escala - esse modelo de conectividade domina a ciência das redes há mais de 20 anos. Pesquisadores de matemática, física, economia, biologia e ciências sociais observaram sinais característicos da presença de redes sem escala em suas áreas de pesquisa.


Rede sofisticada de redes sociais sem escala

A estrutura de uma rede sem escala depende do princípio simples de "conexões preferenciais". A conexão preferida é a regra “rico fique rico”, que se refere ao crescimento da rede. Um nó com um grande número de conexões existentes tem muito mais probabilidade de obter novas conexões do que um nó com um número pequeno. Novas conexões mostram uma tendência para nós com um grande número de conexões.

Isso faz sentido no contexto da formação de amizades? Em princípio, é razoável supor que uma pessoa com mais amigos tenha mais probabilidade de fazer novos. Como ele já está associado a um grande número de pessoas, a probabilidade de conhecer novas pessoas devido às conexões existentes é alta. Quanto mais amigos, mais oportunidades para fazer novos amigos. E o fato de eles já terem muitos amigos, diz que eles têm algum tipo de oportunidade ou propensão à amizade. É mais provável que atraia outras pessoas para eles, assim como sites populares atraem links de outros sites e blogs, e as cidades desenvolvidas estão criando novas ferrovias e rotas aéreas.

Embora vários fatores influenciem o crescimento de redes sem escala, muitos consideram as conexões preferenciais as mais importantes. Ele também tem um efeito incrível na distribuição de diplomas na rede.



Ele prevê o aparecimento de uma distribuição de "cauda grossa". A maioria dos nós na rede terá um grau pequeno, mas também haverá nós com graus crescentes. Isso é muito diferente das redes amigáveis ​​para Regularsk e Desordem, nas quais existem muito poucos ou nenhum nó com grandes graus.

Esses nós, em grandes graus, operam como hubs de redes e são uma característica crítica das redes sem escala. São borboletas sociais nas redes de amigos, bancos no centro das economias, roteadores centralizados que permitem a conexão regional à Internet, Kevinov Beykonov no mundo da atuação . Os hubs podem fornecer uma sensação de mundo apertado em uma rede enorme - por exemplo, duas pessoas selecionadas aleatoriamente dentre 2 bilhões de usuários do Facebook não estão, em média, mais distantes umas das outras do que em quatro laços amigáveis . O número e a variedade de hubs oferecem resistência às redes em grande escala a um certo tipo de descontinuidade. Por exemplo, mesmo com a falha de muitas conexões com a Internet, as mensagens ainda poderão ser acessadas, principalmente porque ainda haverá muitas maneiras de acessar muitos hubs e muitos outros hubs.

E embora muitos concordem que redes sem escala e suas propriedades são úteis, existem contradições nessa área de pesquisa. As características matemáticas exatas de tal distribuição de grau são às vezes difíceis de interpretar. Em Linked: The New Science of Networks, pioneiro da pesquisa em rede e físico Albert Lazlo Barabasi, escreve que em redes que mostram conexões preferidas, a distribuição de graus seguirá uma lei de energia. As distribuições de energia são frequentemente encontradas em muitas situações físicas - por exemplo, na lei dos quadrados inversos para a gravidade ou campos elétricos. Eles podem ser representados como funções com a forma

$$

$$f (x) = {{a} \ over {x ^ k}}$$

Seus gráficos geralmente ficam assim:



As distribuições de energia têm “caudas grossas”. Mas qual a espessura? Quantos hubs de um certo grau devem ser encontrados nessa rede? Em um estudo publicado este ano, mais de 1000 redes reais foram estudadas e constatou-se que apenas um terço delas pode ter uma distribuição de graus descrita por uma lei de energia. Para muitas redes, a distribuição de graus poderia ser descrita com mais precisão como exponencial ou lognormal . Eles podem ter propriedades de alto nível de redes sem escala, mas podem ser considerados como tal se os graus neles não forem distribuídos conforme o esperado? E isso importa?

É importante se queremos relacionar nossas teorias com nossos dados. A comunicação preferencial é um fator importante na construção de redes sem escala? Existem outros fatores que desempenham um papel importante e podem levar a distribuição de graus para o outro lado? Ao responder a essas perguntas e entender quais perguntas devem ser feitas a seguir, realmente entenderemos melhor a natureza e a estrutura das redes, como elas se desenvolvem e evoluem.

Essas contradições também nos lembram que a matemática, como as redes, também é uma coleção de conexões em evolução. A pesquisa atual desafia hipóteses de 20 anos de idade em uma área relativamente nova de pesquisa em rede. Novas idéias, juntando-se à rede, conectam todos nós à matemática do passado e do futuro. Portanto, em questões matemáticas, como no campo da amizade, será útil encontrar hubs e maximizar seu grau.

Exercícios

• Como será uma rede de amigos se cada pessoa tiver exatamente dois amigos?
• Em Regularsk, cada pessoa pode fazer até quatro amigos. Pode haver grupos separados nos quais cada pessoa tem exatamente quatro amigos. Quantas pessoas podem ser incluídas nesse grupo? (Dica: a resposta está relacionada aos poliedros regulares ).
• Nossas redes são baseadas no fato de que a amizade é um conceito simétrico. Se A é amigo de B, B é amigo de A. Como podemos corrigir nosso modelo de rede para incluir conexões assimétricas nas quais A pode ser amigo de B e B não pode ser amigo de A?
• Em Amigos, cada residente é amigo de todos os outros. Se existem n pessoas vivendo em Friends, quantos laços de amizade são formados lá?