Antecedentes

O motivo desta publicação é um artigo ambíguo sobre o princípio da menor ação (IPA) , publicado no recurso há alguns dias. É ambíguo porque seu autor, de forma popular, tenta transmitir ao leitor um dos princípios fundamentais de uma descrição matemática da natureza, e ele é parcialmente bem-sucedido. Se não fosse por um, mas à espreita no final da publicação. Sob o spoiler, há uma citação completa dessa passagem


Então, qual, na minha opinião, é o problema?

O problema é que o autor, citando este exemplo, cometeu vários erros fundamentais. É composto pelo fato de que a segunda parte planejada, segundo o autor, será baseada nesses erros. Guiados pelo princípio de preencher o recurso com informações confiáveis, sou forçado a apresentar uma explicação da minha posição sobre esse assunto com mais detalhes, e o formato dos comentários para isso não é suficiente.

Este artigo abordará como a mecânica é construída com base no PND e tentará explicar ao leitor que o problema apresentado pelo autor da publicação citada está ausente.

1. Definição de ação de Hamilton. Princípio da menor ação

A ação de Hamilton é chamada funcional

$$

$$S = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \, L \ left (\ mathbf q (t), \ ponto {\ mathbf q} (t) \ right) \, dt$$

onde

$$

$$L \ left (\ mathbf q (t), \ ponto {\ mathbf q} (t) \ right) = T \ left (\ mathbf q (t), \ ponto {\ mathbf q} (t) \ right) - \ Pi (\ mathbf q)$$

É a função Lagrange para algum sistema mecânico em que (omitindo os argumentos abaixo) T é a energia cinética do sistema; P - sua energia potencial; q (t) é o vetor de coordenadas generalizadas deste sistema, que é uma função do tempo. acredita-se que os instantes de tempo t ₁ e t ₂ sejam fixos.

Por que a funcionalidade não funciona? Como uma função, por definição, é uma regra segundo a qual um número do domínio de definição (argumento da função) está associado a outro número do domínio de valores. Um funcional é diferente, pois o argumento não é um número, mas uma função inteira. Nesse caso, esta é a lei do movimento do sistema mecânico q (t), definida pelo menos durante o intervalo de tempo entre t ₁ e t ₂ .

A longo prazo (e isto é o mínimo!) Trabalhos de cientistas mecânicos (incluindo o de tirar o fôlego Leonard Euler) nos permitiram formular

Princípio de ação mínima:

Um sistema mecânico para o qual a função Lagrange está especificada $$$L \ left (\ mathbf q (t), \ ponto {\ mathbf q} (t) \ right)$ , se move de tal maneira que a lei de seu movimento q (t) fornece um mínimo para o funcional

$$

$$S = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \, L \ left (\ mathbf q (t), \ ponto {\ mathbf q} (t) \ right) \, dt \ to \ min$$

chamado de ação de Hamilton.

Já a partir da própria definição de PND, segue-se o fato de que esse princípio leva a equações de movimento apenas para uma classe limitada de sistemas mecânicos. Para que? E vamos descobrir.

2. Os limites de aplicabilidade do princípio da menor ação. Algumas definições para os menores

Como segue a definição, novamente, da função Lagrange, o PND permite obter equações de movimento para sistemas mecânicos, cuja ação de força é determinada exclusivamente pela energia potencial. Para descobrir de quais sistemas estamos falando, daremos várias definições que, para salvar o artigo, coloquei sob o spoiler

3. O conceito de variações de coordenadas generalizadas. Declaração do problema variacional

Portanto, agora consideramos um sistema mecânico movendo-se sob a ação de forças potenciais, cuja posição é determinada exclusivamente pelo vetor de coordenadas generalizadas

$$

$$\ mathbf q = \ left [q_1, \, q_2, \, \ dots, \, q_s \ right] ^ T \ quad (4)$$

onde s é o número de graus de liberdade de um determinado sistema.

Real, mas ainda desconhecida para nós , a lei de movimento desse sistema é determinada pela dependência das coordenadas generalizadas (4) no tempo. Considere uma das coordenadas generalizadas $$$q_i = q_i (t)$ , assumindo raciocínio semelhante para todas as outras coordenadas.


Figura 1. Movimento real e indireto de um sistema mecânico

Na figura, a dependência $$$q_i (t)$ representado por uma curva vermelha. Escolhemos dois instantes arbitrários de tempo fixo t ₁ e t ₂ , configurando t ₂ > t ₁ . Posição do sistema $$$\ mathbf q_1 = \ mathbf q (t_1)$ concordamos em chamar a posição inicial do sistema e $$$\ mathbf q_2 = \ mathbf q (t_2)$ - a posição final do sistema.

No entanto, mais uma vez insisto para que o texto a seguir seja lido com atenção! Apesar de termos definido a posição inicial e final do sistema, nem a primeira posição nem a segunda nos são desconhecidas antecipadamente! Bem como a lei desconhecida do movimento do sistema! Essas disposições são consideradas precisamente como a posição inicial e final, independentemente de significados específicos.

Além disso, acreditamos que da posição inicial ao sistema final pode ocorrer de diferentes maneiras, ou seja, a dependência $$$\ mathbf q = \ mathbf q (t)$ pode ser cinemática possível. O movimento real do sistema existirá em uma única variante (curva vermelha), as demais variantes cinemáticas possíveis serão chamadas de movimentos de rotatória $$$\ mathbf q ^ {*} = \ mathbf q ^ {*} (t)$ (curva azul na figura). Diferença entre real e rotatória

$$

$$\ delta q_i (t) = q ^ {*} _ i (t) - q_i (t), \ quad \ forall i = \ overline {1, s} \ quad (5)$$

serão chamadas variações isócronas de coordenadas generalizadas

Nesse contexto, variações (5) devem ser entendidas como funções infinitesimais que expressam o desvio da rotatória da real. O pequeno “delta” para designação não foi escolhido por acaso e enfatiza a diferença fundamental entre variação e diferencial de função. Diferencial é a principal parte linear do incremento da função causada pelo incremento do argumento. No caso de variação, uma alteração no valor de uma função com um valor constante do argumento é causada por uma alteração na forma da própria função! Não variamos o argumento no papel do tempo; portanto, a variação é chamada isócrona. Nós variamos a regra pela qual cada valor de tempo é trazido em correspondência com um certo valor de coordenadas generalizadas!

De fato, variamos a lei do movimento, segundo a qual o sistema do estado inicial se move para o estado final. O estado inicial e final são determinados pela lei do movimento, mas enfatizo mais uma vez que não conhecemos seus valores específicos e podem ser cinemáticos possíveis, apenas acreditamos que eles existem e que o sistema é garantido para se mover de uma posição para outra! Na posição inicial e final do sistema, não variamos a lei do movimento, portanto, as variações das coordenadas generalizadas na posição inicial e final são iguais a zero

$$

$$\ delta q_i (t_1) = \ delta q_i (t_2) = 0, \ quad \ forall i = \ overline {1, s} \ quad (6)$$

Com base no princípio de menos ação, o movimento real do sistema deve ser de modo a oferecer um mínimo de funcionalidade de ação. A variação das coordenadas causa uma alteração no funcionamento da ação. Uma condição necessária para que o funcional alcance um valor extremo é a igualdade de zero de sua variação

$$

$$\ delta S = \ delta \ int \ limits_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1, \ pontos, q_s, \, \ ponto q_1, \ pontos, \ ponto q_s) \, dt = 0 \ quad ( 7)$$

4. A solução do problema variacional. Equações de Lagrange do 2º tipo

Vamos resolver nosso problema variacional, para o qual calculamos a variação completa da ação funcional e a igualamos a zero

$$

$$\ begin {align} S = & \ int \ limits_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1 + \ delta q_1, \ pontos, q_s + \ delta q_s, \, \ ponto q_1 + \ delta \ ponto q_1, \ pontos, \ ponto q_s + \ delta \ ponto q_s) \, dt - \\ & - \ int \ limits_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1, \ pontos, q_s, \, \ dot q_1, \ pontos, \ ponto q_s) \, dt = 0 \ end {align$$

Vamos colocar tudo sob uma integral e, como todas as operações em quantidades infinitesimais são válidas para variações, transformamos esse crocodilo na forma

$$

$$\ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\ L parcial \ {{parcial q_i} \ delta q_i + \ sum \ limits_ {i = 1 } ^ s \ frac {\ parcial L} {\ parcial \ ponto q_i} \ delta \ ponto q_i \ direita] \, dt = 0 \ quad (8)$$

Com base na definição de velocidade generalizada

$$

$$\ delta \ ponto q_i = \ frac {d (\ delta q_i)} {dt}$$

Então a expressão (8) é transformada na forma

$$

$$\ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\ L parcial} {\ parcial q_i} \ delta q_i \, dt + \ sum \ limits_ { i = 1} ^ s \ frac {\ L parcial} {\ parcial \ ponto q_i} d (\ delta q_i) \ direita] = 0$$

O segundo termo é integrado em partes

$$

$$\ soma \ limites_ {i = 1} ^ s \ frac {\ parcial L} {\ parcial \ ponto q_i} \ delta q_i | _ {t_1} ^ {t_2} + \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\ L parcial} {\ parcial q_i} \ delta q_i - \ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {d} {dt} \ esquerda (\ frac {\ parcial L} {\ parcial \ ponto q_i} \ direita) \ delta q_i \ direita] \, dt = 0 \ quad (10)$$

Com base na condição (7), temos

$$

$$\ soma \ limites_ {i = 1} ^ s \ frac {\ parcial L} {\ parcial \ ponto q_i} \ delta q_i | _ {t_1} ^ {t_2} = 0$$

então temos a equação

$$

$$\ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ left (\ frac {\ L parcial \} {\ parcial q_i} - \ frac {d} {dt} \ esquerda (\ frac {\ parcial L} {\ parcial \ ponto q_i} \ direita) \ direita) \, \ delta q_i \ direita] \, dt = 0$$

Para limites arbitrários de integração, o desaparecimento de uma determinada integral é garantido pelo desaparecimento do integrando

$$

$$\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ left [\ frac {\ L parcial} {\ parcial q_i} - \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ L parcial \ {{parcial \ ponto q_i} \ direita) \ direita] \, \ delta q_i = 0 \ quad (11)$$

Dado que as variações das coordenadas generalizadas são independentes, (11) é válida apenas se todos os coeficientes das variações forem iguais a zero, ou seja,

$$

$$\ frac {\ parcial L} {\ parcial q_i} - \ frac {d} {dt} \ esquerda (\ frac {\ parcial L} {\ parcial \ ponto q_i} \ direita) = 0, \ quad \ forall i = \ overline {1, s}$$

Ninguém nos incomoda multiplicar cada uma das equações por (-1) e obter uma notação mais familiar

$$

$$\ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ L parcial \ {{parcial \ ponto q_i} \ right) - \ frac {\ L parcial \ {{parcial q_i} = 0, \ quad \ forall i = \ overline {1, s} \ quad (12)$$

As equações (12) são a solução para o problema . E, nesse ponto, a atenção está mais uma vez - resolvendo o problema variacional pelo princípio da menor ação, não se trata de uma função que ofereça um mínimo à ação hamiltoniana, mas de um sistema de equações diferenciais, resolvendo que tal função pode ser encontrada . Nesse caso, é uma equação diferencial de Lagrange de segunda ordem, escrita em termos da função Lagrange, ou seja, na formulação de sistemas mecânicos conservadores.

E é isso, o princípio da menor ação termina aí , e começa a teoria das equações diferenciais ordinárias, que, em particular, afirma que a solução da equação (12) é uma função vetorial da forma

$$

$$\ mathbf q = \ mathbf q (t, C_1, C_2, \ pontos, C_ {2s})$$

onde C ₁ , ..., C ₂ são constantes de integração arbitrárias.

Desta maneira

PND é um princípio fundamental que permite obter as equações de movimento de um sistema para o qual a função Lagrange está definida

Um ponto! Nos problemas da mecânica analítica, os cálculos acima não precisam mais ser feitos, basta usar o resultado (12). Uma função que satisfaz a equação (12) é a lei do movimento de um sistema que satisfaz o PND.

5. O problema com a bola e a parede

Agora, de volta à tarefa com a qual tudo começou - sobre o movimento unidimensional de uma bola perto de uma parede absolutamente elástica. Obviamente, para esse problema, é possível obter equações diferenciais de movimento. Como essas são equações diferenciais de movimento, enfatizo que qualquer uma de suas soluções oferece um mínimo de ação funcional, o que significa que o PND é executado! A solução geral das equações de movimento da bola pode ser representada na forma do chamado retrato de fase do sistema mecânico em consideração. Este retrato de fase


Figura 2. Retrato da fase do sistema no problema da bola

A coordenada da bola é plotada no eixo horizontal e a projeção da velocidade no eixo x no eixo vertical. Pode parecer estranho, mas esse desenho reflete todas as trajetórias de fase possíveis da bola, sob qualquer condição inicial ou se você desejar. De fato, existem infinitas linhas paralelas no gráfico, o desenho mostra algumas delas e a direção do movimento ao longo da trajetória de fase.

Esta é uma solução geral para a equação de movimento da bola. Cada uma dessas trajetórias de fase fornece um mínimo da ação funcional, que segue diretamente dos cálculos feitos acima.

O que o autor da tarefa faz? Ele diz: aqui a bola está em repouso e, durante o período de t _A a t _{B, a} ação é zero. Se a bola for empurrada contra a parede, no mesmo período de tempo a ação será maior, uma vez que a bola possui uma energia cinética diferente de zero e inalterada. Mas por que a bola se move em direção à parede, porque em repouso a ação será menor? Portanto, o PND está enfrentando problemas e não funciona! Mas definitivamente resolveremos isso no próximo artigo.

O que o autor diz é um absurdo. Porque Sim, porque ele compara ações em diferentes ramos da mesma trajetória de fase real! Enquanto isso, ao aplicar o PND, a ação na trajetória real e em muitas trajetórias de rotatória é comparada.Ou seja, a ação na trajetória real é comparada com a ação nas trajetórias que não estão na natureza e nunca serão!

Não entende? Vou explicar ainda mais inteligivelmente. Considere o estado de descanso. É descrito por um ramo de um retrato de fase que coincide com o eixo da abcissa. A coordenada não muda com o tempo. Este é um movimento real. E que tipo de movimento será indireto. Qualquer outra cinemática possível. Por exemplo, vibrações de pequenas bolas perto da posição de repouso que estamos considerando. O problema permite que a bola oscile ao longo do eixo x? Supõe-se que esse movimento é cinemático possível e pode ser considerado uma das rotatórias.Por

que a bola ainda descansa? Sim, porque a ação em repouso, calculada por um período fixo de tempo de t _A a t_B , haverá menos ação, com pequenas flutuações no mesmo período de tempo. Isso significa que a natureza prefere a paz às vibrações e a qualquer outra "agitação" da bola. Em total conformidade com o IPA.

Digamos que empurramos a bola em direção à parede. Vamos pressioná-lo como o autor deseja, a uma velocidade selecionada a partir das condições de contorno, para que no momento t _{B a} bola esteja na mesma posição a partir da qual ela começou. A bola, com uma velocidade constante, atinge a parede, salta elasticamente e retorna à sua posição inicial no tempo t _B , novamente a uma velocidade constante. Ok, este é um movimento real. Qual movimento será uma das rotatórias? Por exemplo, se a bola se mover em direção e afastar-se da parede a uma velocidade que muda com o tempo. Esse movimento é cinemática possível? Possivelmente.Por que o módulo de velocidade da bola não muda? Sim, porque a ação nessa trajetória de fase terá um valor mínimo, em comparação com qualquer outra opção, em que a velocidade depende do tempo.

Isso é tudo.Nada tão mágico acontece aqui. IPA funciona sem problemas.

Conclusões e desejos

O PND é uma lei fundamental da natureza. A partir disso, em particular, as leis da mecânica seguem, por exemplo, equações diferenciais de movimento (12). O PND nos diz que a natureza é estruturada de modo que a equação de movimento de um sistema mecânico conservador se parece exatamente com a expressão (12) e nada mais. Não é necessário mais dele.

Não há necessidade de inventar problemas onde eles não estão.