Titãs matemáticos colidem com prova épica da hipótese do ABC

Dois matemáticos afirmam ter encontrado um buraco no coração das evidências que abalam a comunidade matemática há seis anos.

Em um relatório publicado em setembro de 2018 na Internet, Peter Scholze, da Universidade de Bonn, e Jacob Styx, da Universidade Goethe, em Frankfurt, descreveram o que Styx chama de “lacuna séria e insubstituível” em uma enorme série de trabalhos volumosos de Shinichi Motizuki , o famoso matemático da Universidade de Kyoto. . Os trabalhos de Motizuki publicados na Internet em 2012 supostamente comprovam a hipótese abc , um dos problemas de maior alcance na teoria dos números .

Apesar das muitas conferências tentando explicar a prova de Motizuki, os especialistas em teoria dos números lutaram para lidar com as idéias por trás dela. Sua série de trabalhos com um volume total de mais de 500 páginas é escrita em um estilo obscuro e se refere ao seu trabalho anterior de cerca de 500 páginas, o que leva ao surgimento de um "senso de regressão sem fim", como colocou o matemático Brian Conrad, da Universidade de Stanford.

Dos matemáticos que estudaram a prova, 12 a 18 pessoas acreditam em sua correção, como me escreveu Ivan Fesenko, da Universidade de Nottingham, por e-mail. Mas, como Konrad comentou a situação na discussão de evidências em um blog em dezembro passado, apenas matemáticos do “círculo interno de Motizuki” confirmaram a prova. "Não há mais quem queira afirmar, embora informalmente, que está confiante na integridade das evidências."

No entanto, como Frank Kalegari, da Universidade de Chicago, escreveu em seu blog em dezembro, "os matemáticos relutam em relatar problemas com a prova de Motizuki, porque não podem apontar para um erro específico".

Agora tudo mudou. No relatório, Scholze e Styx argumentam que a linha de raciocínio mais próxima do final da prova do "Corolário 3.12" no terceiro dos quatro trabalhos de Motizuki está fundamentalmente errada. E esse corolário é necessário para a prova da hipótese abc.

"Parece-me que o problema com a hipótese do ABC permanece em aberto", disse Scholze. "E qualquer pessoa tem uma chance de prová-lo."


Peter Scholze

As conclusões de Scholze e Styx baseiam-se não apenas em seu próprio estudo do trabalho, mas também na visita semanal feita por Motizuki e seu colega, Yuchiro Hoshi, em março na Universidade de Kyoto para discutir essas evidências. Scholze diz que essa visita ajudou muito ele e Styx a entender suas objeções. Como resultado, dois cientistas "chegaram à conclusão de que não há evidências", eles escrevem no relatório.

No entanto, esta reunião terminou com a insatisfação das partes. Motizuki não conseguiu convencer Scholze e Styx de que sua prova estava correta e eles não conseguiram convencê-lo de que estava errado. Motizuki já publicou o relatório de Scholze e Styx em seu site e acrescentou algumas de suas objeções a eles.

Neles, Motizuki atribui a crítica de Scholze e Styx a "certas interpretações fundamentais" de seu trabalho. Sua "atitude negativa", ele escreve, "não significa que haja falhas" em sua teoria.

Assim como a reputação séria de Motizuki fez os matemáticos verem seu trabalho como uma séria tentativa de provar uma hipótese, a reputação de Scholze e Styx garante que os matemáticos prestem atenção ao que eles querem dizer. Scholze, embora tenha apenas 30 anos, rapidamente subiu ao topo em seu campo. Em agosto, ele recebeu o Fields Prize , o maior prêmio em matemática. Styx é um especialista no estudo de Mochizuki, geometria anabeliana.

"Peter e Jacob são matemáticos extremamente cuidadosos e atenciosos", disse Conrad. "Se eles tiverem alguma dúvida, realmente devem ser esclarecidos."

Pedra de tropeço

A hipótese abc, que Conrad chamou de "uma das hipóteses mais proeminentes na teoria dos números", começa com uma das equações mais simples que geralmente podem ser representadas: a + b = c. Os três números a, bec são números inteiros positivos que não possuem divisores primos comuns. Ou seja, podemos considerar a equação 8 + 9 = 17 ou 5 + 16 = 21, mas não 6 + 9 = 15, uma vez que os números 6, 9 e 15 são divididos por 3.

Tomando essa equação, podemos considerar todos os primos nos quais qualquer um dos três números envolvidos na equação está dividido - por exemplo, no caso da equação 5 + 16 = 21, esses primos serão 2, 3, 5 e 7. Seu produto será 210 , e é muito maior que qualquer um dos números envolvidos na equação. E vice-versa, na equação 5 + 27 = 32 os primos 2, 3 e 5 participam, cujo produto é 30 - e é menor que o número 32 envolvido na equação. O produto é muito pequeno, porque os números 27 e 32 têm divisores simples muito pequenos (3 e 2), que são simplesmente repetidos várias vezes para obter esses números.

Se você começar a tocar com outros triplos abc, poderá descobrir que essa segunda opção é extremamente rara. Por exemplo, entre 3044 triplos diferentes para os quais os termos a e b são menores que 100, existem apenas sete em que o produto dos divisores primos é menor que c. A hipótese abc, formulada na década de 1980, formaliza uma idéia intuitiva da raridade de tais triplos.

Voltando ao exemplo 5 + 27 = 32. 32 é mais que 30, mas não muito. Isso é menor que 30 ² ou 30 ^1,5 ou mesmo 30 ^1,02 , igual a 32,11. A hipótese abc diz que, se você escolher qualquer grau maior que 1, haverá apenas um número finito de triplos abc, para o qual c será maior que o produto dos divisores primos elevados no grau escolhido.

"A hipótese abc é uma afirmação muito simples sobre multiplicação e divisão", disse Minyun Kim, da Universidade de Oxford. Ele disse que, com esta afirmação, "há um sentimento de que você está revelando uma estrutura muito fundamental de sistemas numéricos que você nunca viu antes".

A simplicidade da equação a + b = c significa que uma grande variedade de outros problemas está sob sua influência. Por exemplo, o grande teorema de Fermat está conectado com equações da forma x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ , e a hipótese catalã , que afirma que 8 e 9 são os únicos dois graus perfeitos consecutivos [números expressos como um número inteiro em um número inteiro / aprox. transl.] (desde 8 = 2 ³ e 9 = 3 ² ), fala de uma equação da forma x ^m + 1 = y ⁿ . A hipótese abc (de certa forma) daria novas provas a esses dois teoremas e resolveria uma montanha inteira de problemas abertos relacionados a ela.


Jacob Styx

Essa hipótese "parece estar sempre na fronteira entre o conhecido e o desconhecido", escreveu Dorian Goldfeld, da Columbia University.

A escala das consequências de provar a hipótese convenceu os especialistas em teoria dos números de que seria muito difícil provar isso. Portanto, quando em 2012 foi relatado que Motizuki apresentou as evidências, muitos matemáticos ficaram encantados em mergulhar em seu trabalho - mas apenas por estarem parados devido a uma linguagem desconhecida e à apresentação incomum de informações. As definições abrangeram várias páginas, seguidas de teoremas com as mesmas declarações longas, e suas provas foram descritas em frases como "segue imediatamente a definição".

"Toda vez que ouço sobre a análise do trabalho de Mochizuki por um especialista (não oficial), sua resenha é escandalosamente familiar: amplos campos de coisas triviais, seguidos por enormes montanhas de conclusões injustificadas " , escreveu Kalegari em seu blog em dezembro.

Scholze foi um dos primeiros leitores do trabalho. Ele é conhecido por ser capaz de absorver rapidamente a matemática, aprofundando-se nela, então ele avançou além de muitos teóricos e terminou o que chamou de "leitura grosseira" das quatro obras principais logo após seu aparecimento. Scholze estava confuso com longos teoremas com provas curtas, que lhe pareciam verdadeiras, mas infundadas. Mais tarde, ele escreveu que em dois trabalhos intermediários "pouco está acontecendo".

Então Scholze chegou ao Corolário 3.12 em seu terceiro trabalho. Os matemáticos costumam usar a palavra "consequência" para denotar um teorema que é secundário ao anterior, mais importante. Mas no caso do Corolário 3.12 de Motizuki, os matemáticos concordam que este é o principal teorema para provar a hipótese abc. Sem ele, "não há evidências " , escreveu Calegari. "Este é um passo crítico."

Esse corolário é o único teorema de dois trabalhos intermediários, cuja prova leva mais do que algumas linhas - ele se estende por nove páginas. Passando por eles, Scholze chegou ao ponto em que não conseguia mais seguir a lógica.

Naquela época, ele tinha apenas 24 anos e considerou que a prova estava incorreta. Mas ele praticamente não entrou na discussão dos trabalhos, a menos que fosse perguntado diretamente sobre eles. Afinal, no final, ele pensou, é provável que outros matemáticos encontrem nessas obras idéias significativas que ele perdeu. Ou talvez eles cheguem à mesma conclusão que ele. De um jeito ou de outro, ele acreditava, a comunidade matemática será capaz de descobrir isso.

Escadaria de Escher

Enquanto isso, outros matemáticos lutavam para lidar com o trabalho intransitável. Muitos tinham grandes esperanças de uma reunião dedicada ao trabalho de Motizuki, agendada para o final de 2015 na Universidade de Oxford. Mas quando vários colegas da Motizuki tentaram explicar as idéias principais da prova, uma "nuvem de névoa" caiu sobre a platéia, como Konrad escreveu no relatório logo após a reunião. "As pessoas que entenderam esse trabalho precisaram explicar com mais sucesso aos especialistas em geometria aritmética o que era essencial " , escreveu ele.

Alguns dias depois de seu cargo, Conrad recebeu cartas inesperadas de três matemáticos (um dos quais era Scholze), descrevendo a mesma coisa: eles podiam ler e entender o trabalho até chegarem a um determinado ponto. "Cada um dos três foi interrompido pela evidência 3.12", escreveu Conrad mais tarde.

Kim ouviu comentários semelhantes sobre o Corolário 3.12 de outro matemático, Teruhisa Koshikawa, que trabalha na Universidade de Kyoto. Styx também tropeçou neste lugar. Gradualmente, muitos especialistas em teoria dos números aprenderam que essa consequência se tornou um obstáculo, mas não ficou claro se havia um buraco em sua prova, ou Motizuki só precisava explicar melhor seu raciocínio.

Então, em 2017, para horror de muitos teóricos, surgiram rumores de que os trabalhos de Mochizuki foram aceitos para publicação. O próprio Mochizuki foi o editor-chefe desta revista, Publicações do Instituto de Pesquisa de Ciências Matemáticas . Kalegari chamou essa situação de " má aparência " (embora os editores nessas situações sejam geralmente excluídos de tomar uma decisão). Mas, acima de tudo, os matemáticos estavam preocupados com o fato de o trabalho ainda ser ilegível.


Shinichi Motizuki em videochamada na conferência de 2015 sobre sua prova

"Nenhum especialista que afirma entender as evidências foi capaz de explicá-las a qualquer um dos muitos especialistas que permanecem confusos", escreveu Matthew Emerton, da Universidade de Chicago.

Calegari escreveu um artigo descrevendo essa situação como " falha completa " , e teóricos proeminentes entenderam seu ponto de vista. "Temos uma situação ridícula na qual abc é considerado um teorema em Kyoto e uma hipótese em todos os outros lugares", escreveu Kalegari.

A revista PRIMS logo respondeu às solicitações da imprensa com uma declaração na qual explicava que o trabalho não era aceito para publicação. Contudo, mesmo antes disso, Scholze decidiu declarar publicamente o que havia dito há muito tempo em conversas privadas com muitos teóricos. Ele decidiu que toda essa discussão sobre evidências se tornara "social demais". "Todos disseram que essa evidência não parece ser assim, mas ninguém disse:" Existe um lugar onde ninguém entendeu a evidência. "

Nos comentários do registro, Kalegari Scholze escreveu que "não podia seguir a lógica depois da fig. 3.8 na prova do corolário 3.12 “. Ele acrescentou que os matemáticos, "alegando entender a prova, não querem admitir que algo precisa ser adicionado lá".

Shigefumi Mori , colega de Motizuki da Universidade de Kyoto, vencedor do Fields Prize, escreveu a Scholze com uma proposta de marcar uma reunião com a Motizuki. Scholze, por sua vez, entrou em contato com Styx e, em março, o casal viajou a Kyoto para discutir a pedra de tropeço em evidência com Mochizuki e Hoshi.

A abordagem de Mochizuki à hipótese abc leva o problema ao domínio das curvas elípticas , um tipo especial de equação cúbica com duas variáveis, x e y. Essa transição, conhecida mesmo antes de Mochizuki, é simples - você precisa conectar cada equação abc com uma curva elíptica cujo gráfico cruza o eixo x nos pontos a, be na origem - no entanto, permite que os matemáticos usem a rica estrutura das curvas elípticas que combinam teoria dos números com geometria, notação integral e outras áreas. (A mesma passagem está no centro da prova do grande teorema de Fermat, de 1994, por Andrew Wiles .)

Como resultado, a hipótese abc se reduz a provar a desigualdade entre duas quantidades associadas às curvas elípticas. O trabalho de Motizuki traduz essa desigualdade em outra forma que, como disse Styx, pode ser representada como uma comparação dos volumes de dois conjuntos. No Corolário 3.12, ele oferece sua prova dessa desigualdade, que, se verdadeira, provaria a hipótese abc.

Na prova, como Scholze e Styx descrevem, os volumes de dois conjuntos são considerados como se estivessem dentro de duas cópias diferentes de números reais, apresentados como parte de um círculo de seis cópias diferentes de números reais, e uma marcação é dada para explicar como cada cópia está relacionada. seu vizinho em um círculo. Para rastrear o relacionamento entre os volumes de conjuntos, é necessário entender como as medidas de volume em uma cópia estão relacionadas às medidas em outras cópias, como disse Styx.

"Se você tem uma desigualdade de dois objetos, mas ao mesmo tempo a régua de medição é comprimida várias vezes, o que está além do seu controle, você perde o controle sobre o que significa desigualdade", disse Styx.

Scholze e Styx acreditam que é neste momento crítico de evidência que tudo entra em colapso. Nas marcações Mochizuki, as linhas de medição são logicamente compatíveis entre si. Mas quando você gira em torno do círculo, disse Styx, você tem uma régua que não é como a que será se você seguir o caminho inverso. Essa situação, ele disse, se assemelha à famosa escadaria fechada de Escher , onde você pode subir e depois se encontrar no mesmo lugar [mais corretamente, esta é a escada de Penrose , com base na qual Escher fez um famoso desenho / anotação. transl.].

Scholze e Styx concluíram que essa incompatibilidade de medidas de volume significa que valores incorretos são comparados na desigualdade resultante. E se você ajusta tudo para que os volumes se tornem comparáveis, a desigualdade se torna sem sentido, dizem eles.

Scholze e Styx "descobriram uma razão específica pela qual as evidências não funcionam", disse Kieran Kedlaya, matemático da Universidade da Califórnia em San Diego, que estudou em detalhes o trabalho da Motizuki. “Então, se a prova é verdadeira, ela deve funcionar com outra coisa, com algo menos óbvio” do que o que Scholze e Styx descrevem.

Mochizuki afirma que essa é precisamente a presença de algo menos óbvio. Ele escreve que Scholze e Styx se enganam ao equacionar arbitrariamente objetos matemáticos que devem ser considerados diferentes. Quando ele disse a seus colegas sobre a essência das objeções de Scholze e Styx, ele escreve, sua descrição "foi recebida com uma surpresa extraordinariamente universal e até desconfiança (e depois ridicularizada) de que um incrível mal-entendido pudesse surgir".

Agora, os matemáticos precisarão digerir os argumentos de Scholze e Styx e a resposta de Mochizuki. Scholze espera que, diferentemente da situação dos trabalhos iniciais de Motizuki, esse processo não dure muito, já que sua natureza com o Styx das objeções não é tão tecnicamente complicada. Outros teóricos "devem ser capazes de seguir a linha de nossa discussão com o Motizuki sem problemas", disse ele.

Mochizuki tudo parece completamente errado. Do seu ponto de vista, as críticas a Scholze e Styx vêm da "falta de tempo para entender adequadamente a matemática discutida", provavelmente devido a "um sentimento de profundo desconforto ou falta de familiaridade com uma nova maneira de pensar sobre objetos matemáticos familiares".

Os matemáticos, mesmo céticos em relação à prova de Motizuki, podem muito bem decidir que o relatório de Scholze e Styx encerra essa história, disse Kim. Outros vão querer estudar os relatórios por conta própria, e Kim acredita que isso já começou. "Não acho que poderei evitar a necessidade de verificar tudo sozinho antes de decidir algo por mim mesmo", escreveu ele por correio.

Nos últimos anos, muitos especialistas em teoria dos números pararam de tentar entender o trabalho de Motizuki. Mas se Mochizuki ou seus seguidores podem fornecer uma explicação detalhada e coerente do motivo pelo qual a imagem de Scholze e Styx é muito simplificada (se houver), "isso pode fazer muito para remover o cansaço associado a esse problema e inspirar as pessoas a fazer novas tentativas". - disse Kedlaya.

Enquanto isso, Scholze diz: "Acho que isso não pode ser tomado como evidência até que Mochizuki faça uma alteração séria e explique o passo principal muito melhor". Ele próprio, em suas palavras, "não vê uma idéia-chave que possa nos aproximar da prova da hipótese do ABC".

Independentemente do resultado da discussão, uma designação clara de um local específico de evidência para Mochizuki deve esclarecer as coisas muito bem, disse Kim. "O que Jacob e Peter fizeram é um serviço muito importante para a comunidade", disse ele. "Não importa o que aconteça, tenho certeza de que esses relatórios se tornarão um certo tipo de progresso."