Sobre a relação de números primos e irracionais

Após algumas de minhas pesquisas sobre números primos, encontrei uma conexão interessante com números irracionais. Essa conexão dá uma resposta à pergunta de por que os números primos são tão "caóticos" e por que são tão complexos. Sob o corte, há uma explicação dessa conexão e uma variante do algoritmo RSA aprimorado.

1. Introdução

Considere o conjunto $$$\ lbrace 2n + 3m \ vert n, m \ in \ mathbb {N} \ rbrace$ . Agora tente arrumar. Ou seja, encontre uma maneira de encontrar o próximo par de números nem, conhecendo o anterior. Obviamente: 2 + 2 + 2 = 3 + 3 e 2 + 2> 3, 2 <3. Assim, pares de números são distribuídos da seguinte forma:

(1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (3,0), (2,1), (4,0), (3,1), (5) , 0) ...

Observe que a ordem e, consequentemente, o método de obtenção do próximo par de números são claramente rastreados. Não há problemas e a tarefa é trivial.
Agora considere o conjunto $$$\ lbrace 2n + \ pi m \ vert n, m \ in \ mathbb {N} \ rbrace$ . Infelizmente ou felizmente, mas este conjunto não pode ser ordenado no sentido que o anterior:

(1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (3,0), (0,2), (2,1), (4,0), (3) , 1), (0,3) ...

Se você decidir que encontrou a ordem exata, termine ainda mais esses pares e veja se está quebrado. O "caos" desses pares de números está diretamente relacionado à irracionalidade do número $$$\ pi$ comprovada por Johann Lambert em 1761. De fato, para alinhar pares seguidos, primeiro tentamos ajustar um segmento de comprimento 2 em um segmento de comprimento $$$\ pi$ . Estamos tentando colocar o saldo obtido em um segmento de comprimento 2. Ele caberá apenas uma vez. Isso significa que nosso restante "desempenhará" seu papel já em um segmento de comprimento $$$2 \ pi$ , onde caberá não dois segmentos de comprimento 2, mas três. Realizando essa operação ainda mais, fica claro que, assim que tivermos a impressão de que encontramos a ordem, ela quebrará em um certo número de etapas. Desde o último, ainda não utilizado, o saldo, mais cedo ou mais tarde, "desempenhará" seu papel e a ordem mudará. Portanto, a questão de encontrar um algoritmo "bom" para esse problema permanece em aberto.

Algumas definições

Vamos $$$(\ mathbb {R}, +) \ simeq (\ mathbb {R} _ {> 0}, \ oplus)$ onde $$$f$ - um isomorfismo tal que:
$$$f (x \ oplus y) = f (x) + f (y)$
E, consequentemente, para $$$g$ - reverter para $$$f$ :
$$$g (x + y) = g (x) \ oplus g (y)$ .
Agora, definimos o conjunto de interesse para nós:
$$$W _ {\ oplus} = \ lbrace a_ {2} f (2) + a_ {3} f (3) + \ pontos + a_ {n} f (n) + \ dots \ vert \ forall m \ in \ mathbb {N}, a_ {m} \ no \ mathbb {N} \ rbrace \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace$
$$$\ Rightarrow W _ {\ oplus} \ subconjunto \ mathbb {R} _ {> 0}$
E deixe $$$F (x, y) = f (x) + f (y)$ . Então:
$$$g (F (x, y)) = x \ oplus y$
E $$$\ mathbb {T}$ - imagem do conjunto $$$W _ {\ oplus}$ para exibir $$$g$ .
E finalmente $$$\ mathbb {P} _ {\ oplus} = \ lbrace p \ in \ mathbb {T} \ vert \ forall w_ {1}, w_ {2} \ em W _ {\ oplus}, g (w_ {1} + w_ {2}) \ neq p \ rbrace$ - muitos números primos para a operação $$$\ oplus$ .
Agora é fácil esclarecer essas definições com um exemplo familiar. Para a operação de multiplicação, $$$f (x) = log_ {2} (x)$ . Muito $$$W$ É isso $$$log_ {2} (\ mathbb {N})$ . Vale a pena parar e explicar por que isso é importante.

A conexão em si

De fato, usando um isomorfismo, descobrimos que a complexidade de todos os problemas sobre números primos é equivalente a problemas sobre somas de logaritmos irracionais. Ou seja, como vimos no exemplo com um conjunto de números $$$\ pi$ e 2, é a irracionalidade que traz o caos. Portanto, é aqui que a irracionalidade dos logaritmos distribui números primos em uma linha numérica de uma maneira quase caótica. Existe uma dificuldade em ordenar os pares nem em um conjunto, por exemplo, $$$\ lbrace n + mlog_ {2} 3 \ rbrace$ . Em outras palavras, a simplicidade de um número depende diretamente, por exemplo, de uma casa decimal no número $$$log_ {2} 3$ . Mas definimos números primos não apenas para multiplicação, mas em geral para uma operação binária arbitrária. Fiz isso para mostrar que nossos primos não são únicos de forma alguma.

RSA

Para a operação binária x + xy + y:
$$$\ mathbb {P} = \ lbrace 2,4,6,10,12,16,18,22,28,30,36,40,42,46 ... \ rbrace$ .
A aleatoriedade deste conjunto é caracterizada por valores irracionais de isomorfismo em números naturais. Além disso, o isomorfismo não parece ser expresso em termos de funções elementares. Aqui, por operação, construímos outros primos cuja distribuição obviamente não depende da distribuição de primos comuns. Isso nos permite construir o RSA em uma operação binária arbitrária, de modo que o isomorfismo seja irracional. Afinal, a função do logaritmo é "boa" demais para os criptoanalistas. E aqui ela se comporta de maneira absolutamente imprevisível. É possível, e vice-versa, construir um isomorfismo pelo qual uma operação binária comutativa será determinada.

Tomando primos arbitrários como base, mudamos o problema de fatorar um número composto para o problema de decompor um número irracional quase arbitrário na soma dos outros dois de um determinado conjunto. Algo me diz que essa tarefa deve pertencer à classe NP.

Em conclusão

A humanidade ainda não resolveu muitos problemas sobre números primos, pois a matemática lança um número infinito de problemas semelhantes. Naturalmente, ele se perguntará o que fazer sobre isso. Minha sugestão é considerar todos os teoremas da Teoria dos Números não para adição e multiplicação, mas para adição e uma operação binária comutativa arbitrária fechada em números naturais. Então, cada afirmação sobre números primos seria apenas uma conseqüência de certas propriedades da operação. Por exemplo, a infinidade de números primos seria uma conseqüência da monotonia da operação e seu crescimento bastante rápido. Mas este é um tópico para um artigo separado. Obrigado pela atenção.