Você pode imaginar algo maior que o Universo, mas ao mesmo tempo silenciosamente colocado em sua cabeça? O que é isso? Infinito! Eugenia Cheng nos envia uma incrível jornada matemática para entender as abstrações matemáticas mais misteriosas. Por que alguns números são impossíveis de contar? Por que infinito + 1 não é o mesmo que 1+ infinito? Aprenderemos sobre o paradoxo do Grand Hotel, poderemos alimentar 7 bilhões de pessoas usando um tabuleiro de xadrez e até obter um número infinito de biscoitos com um pequeno pedaço (final) de massa. Tudo isso nos permitirá entender e amar uma matemática abstrata tão estranha e misteriosa. O livro incrível sobre o vasto e infinito universo é fascinante e intrigante, mostrando como um pequeno símbolo matemático contém uma grande ideia.
Trecho. Infinitamente pequeno
Uma das poucas coisas que posso ver na minha frente agora não tem nada a ver com análise matemática - esta é a minha mesa. A tabela existia muito antes do advento da análise matemática, mas essa tabela em particular foi feita na fábrica da Ikea, que utiliza com precisão a análise matemática em sua produção. Quero dizer que o estudo do infinito pode parecer algo abstrato e fora do mundo, literal e figurativamente (“figurativamente” como um de meus amigos gosta de brincar), mas, no final das contas, também nos leva à análise matemática, que é parte integrante da nossa vida.
O ponto de partida para tudo isso é a reflexão sobre objetos "infinitamente próximos um do outro". Quando desenhamos um círculo no computador ou digitamos a letra O, eles parecem suaves e uniformes. Mas se dermos uma olhada mais de perto nas imagens, elas ficam pixelizadas. Esta é a letra O em uma escala maior na tela do meu computador.
Vemos um número finito de pequenos quadrados disfarçados de círculo. Meu computador forjou cuidadosamente um círculo, ele adicionou alguns pontos cinza. Um computador não pode fazer o contrário, porque é capaz de perceber e processar apenas pontos individuais em quantidade finita e tamanho fixo.
E o nosso cérebro? O significado da análise matemática é que nosso cérebro, em princípio, é capaz de mais: podemos perceber e processar um número infinitamente grande de objetos, mesmo que sejam infinitamente pequenos. Este é o tópico que estudaremos agora.
Uma vez eu ajudei com matemática em uma escola primária de Cambridge em Park Street. Eu tive que explicar a simetria para duas crianças de seis anos. No começo, pedi que desenhassem linhas de simetria em vários triângulos, depois em um quadrado, depois em um pentágono, depois em um hexágono. O mais engraçado foi quando uma das crianças disse: "Eu sei que um octaedro tem oito lados, porque a palavra" octaedro "se parece com um polvo". No final, eu dei a eles um círculo. Um dos caras desenhou essa linha em um círculo:
Além disso, tornou-se ainda mais divertido. O primeiro filho exclamou: “São centenas!”, E o segundo disse: “Há um milhão!”. Depois disso, o primeiro comentou: “Você pode desenhar essas linhas a vida inteira e nunca terminar!”. Houve uma pausa, após a qual o segundo filho foi levantado. lápis, pintou o círculo inteiro com eles e disse: “Olha! Eu terminei!
Eu estava confuso, mas fui forçado a admitir que ambos estavam certos. Você pode passar a vida inteira desenhando linhas de simetria em um círculo e nunca terminando, porque há um número infinito delas. De fato, eles são incontáveis sem fim. Podemos verificar isso. Imagine que determinamos onde a linha de simetria é executada, definindo o ângulo que ela forma com a horizontal.
Podemos tomar qualquer ângulo - de 0 a 180 ° ou em radianos - de 0 a π. Se o ângulo for maior, a linha repetirá um dos já desenhados:
Pegue qualquer número real de 0 a 180, e ele não precisa ser um número inteiro ou racional. Já sabemos que existem incontáveis números reais de 0 a 180.
Teremos inúmeras linhas de simetria no círculo, mas se você pintar sobre todo o círculo, na verdade pintará sobre todos eles. Talvez agora você tenha pensado que era uma farsa, porque as linhas reais de simetria devem se cruzar infinitamente muitas vezes no centro do círculo, e em nosso centro existem infinitamente várias camadas de lápis. Mas se não prestarmos atenção ao centro, mas simplesmente tentar marcar os pontos ao longo da borda do círculo que são tocados pelas linhas de simetria, será suficiente desenhar um lápis ao longo da borda do círculo. Vamos desenhar um número infinitamente grande de pontos dessa maneira? Haverá um número infinitamente grande de pontos nessa linha?
Em caso afirmativo, a que distância estão localizados? E se houver um número finito deles, quantos?
Divisão por infinito
Se dividirmos a linha em mais e mais segmentos, os segmentos se tornarão cada vez menores. Podemos assim dividir a linha em um número infinitamente grande de segmentos? Quero dizer se podemos fazer algo infinitamente pequeno dividindo-o no infinito.
Imagine uma loteria na qual todos os números reais podem cair. O tambor da loteria terá um número infinito de bolas, mas cada uma delas indicará um determinado número finito. Nesse caso, a probabilidade de ganhar será bastante estranha. Normalmente, em uma loteria no Reino Unido, 6 das 59 bolas caem. Existem aproximadamente 45 milhões de combinações e todas essas combinações são igualmente prováveis. Sua chance de ganhar é de 1: 45 milhões. Este é um número muito pequeno (aproximadamente 0,00000002), mas não 0; embora me pareça que seja tão próximo de 0 que possa realmente ser considerado 0. Se você o multiplicar novamente pelo número total de combinações possíveis (45 milhões), você obtém 1, o que é absolutamente verdadeiro, porque será a probabilidade de ganhar se você comprar todos os bilhetes de loteria.
A loteria infinita tem um número infinito de combinações, então sua chance de ganhar será "1 ao infinito". Como expressá-lo com uma fração? A resposta não pode ser maior que 0, porque, se fosse maior que 0, multiplicando-a novamente pelo número total de resultados possíveis (infinito), obtemos um número maior que 1. Isso significa que a probabilidade de ganhar é 0? Mas alguém pode realmente vencer todas as vezes. Você pode notar, com razão, que na prática tal loteria é impossível, mas esse seu argumento não cancela esse paradoxo. Tudo é exatamente o mesmo que o Hilbert Hotel: o fato de esse hotel não existir não anula o paradoxo.
Voltamos novamente a uma de nossas primeiras tentativas de encontrar o infinito, argumentando que
Sabemos que essa equação gera uma contradição se tentarmos multiplicar ambos os lados por 0. Mas agora queremos dizer que a divisão pelo infinito dá 0 ou
Agora já sabemos mais sobre o infinito e vemos imediatamente que algo está errado com essa equação. O problema aqui é que a maneira como tentamos encontrar o infinito, ou seja, usando um conjunto infinito de objetos, não implicava divisão por infinito. A resposta matemática correta neste caso deve ser: “Bem, então vamos tentar! Se ainda não o fizemos, isso não significa que seja impossível. ”
Vamos tentar fazer exatamente o mesmo que fizemos com a subtração. Vamos voltar à ideia de que tudo ao redor é uma infinidade de objetos. É como contar contando paus: você não pode quebrar um pauzinho pela metade (para desgosto de muitas crianças). Se pegarmos muitos números naturais, não podemos reduzi-lo parcialmente.
Lembre-se, quando tentamos expressar a subtração através do infinito, lembramos o raciocínio das crianças: 6 - 3 significa "quanto devo contar de 3 para voltar a 6". Em outras palavras, resolvemos esta equação: 3 + x = 6.
Agora vamos dar 6: 3. Podemos olhar para 6: 3 de duas maneiras diferentes.
- Quantas vezes 3 se encaixa em 6? Em outras palavras, quantas vezes eu tenho que adicionar 3 para obter 6? É o mesmo que resolver esta equação: 3 × x = 6.
- Qual número se encaixa 6 exatamente três vezes? Em outras palavras, qual número posso adicionar três vezes para obter 6? É o mesmo que resolver esta equação: x × 3 = 6.
Nos dois casos, a resposta será 2, porque essas formulações não importam se estamos falando de números finitos. Mas já sabemos que com infinito não é tão simples. Por exemplo, adicionar 3 um número infinito de vezes não é o mesmo que adicionar três vezes ao
infinito . Ou seja, 3 × ω ≠ ω × 3.
Vamos nos perguntar: “Quantas vezes tenho que adicionar 3 a mim mesmo para obter ω?” Resposta: ω. Imagine que você se transformou novamente em uma pessoa que distribui bilhetes destacáveis em uma fila. As pessoas vêm em grupos de 3 pessoas. Quantos grupos de 3 pessoas devem terminar o seu pacote interminável de ingressos? Resposta: ω. Você simplesmente continuará a emitir 3 ingressos para cada grupo.
Se olharmos por outro lado: “Que número posso adicionar a mim mesmo três vezes para obter ω?”, Nesse caso, não há resposta possível. Se você adicionar três números finitos, a resposta será sempre finita. Se você somar 3 números infinitos, cada um deles será pelo menos igual a ω (porque ω é o menor infinito) e juntos eles serão ainda maiores, será como "infinito e mais um dia". Podemos novamente considerar isso com o exemplo de bilhetes destacáveis. Se um ônibus infinitamente cheio chegar, você gastará todo o seu pacote interminável de passagens de ida e volta (pelo menos) em seus passageiros. Se depois disso vier outro ônibus infinitamente cheio, você será forçado a levar um pacote com tíquetes de cores diferentes.
Ambas as perguntas foram tentativas de "dividir o infinito em 3", mas nos deram respostas diferentes. Isso prova que a divisão, assim como a multiplicação, não é a melhor solução quando se trata de infinito, mesmo que seja apenas a divisão por um pequeno número finito. Se, em vez disso, tentarmos dividir algo no infinito, tudo ficará ainda pior. Suponha que desejemos fazer o seguinte:
. Então teremos duas opções. Primeiro: quantas vezes precisamos adicionar ω a nós mesmos para obter 1? Isso é obviamente impossível, pois ω é demais. A segunda opção: qual número podemos adicionar a nós mesmos ω o número de vezes para obter 1? E, novamente, será absolutamente impossível.
Apesar de tudo isso, parece que 1 dividido pelo infinito deve ser igual a 0. Essa afirmação pode ser uma resposta razoável às perguntas feitas acima? Se adicionarmos ω a nós mesmos 0 vezes, não obtemos nada, então não faz sentido nessa ação. Será o mesmo com 0 ônibus infinitamente cheios, para eles você não precisa de bilhetes de saída. Quanto à segunda pergunta: “Podemos adicionar 0 a nós mesmos ω vezes para obter 1?”, Então tudo será como no caso de 0 pessoas que ficam na fila um número infinito de vezes. Novamente, você não precisará de nenhum bilhete destacável para eles.
Aqui poderíamos desistir e dizer: "Ok, então
"Isso não é zero." Ou tente agir como matemáticos e dizer: "Tudo isso realmente parece razoável, talvez possamos dar-lhe algum outro significado matemático se nosso raciocínio não se basear em conjuntos infinitos?" Uma das tarefas da matemática é pegar o que intuitivamente parece ser verdade e fornecer uma explicação lógica precisa. Não devemos desistir tão facilmente!
O outro lado do infinito
Talvez agora você esteja se perguntando por que não podemos criar algo infinitamente pequeno e não igual a 0, porque antes eu disse que podemos criar coisas abstratas apenas pensando nelas. Os matemáticos já tentaram usar esse método, embora pareça inútil (como a própria idéia do infinito, que também parece inútil até que você comece a estudá-lo intensivamente o suficiente). É como o outro lado do infinito. O infinito é maior que qualquer número e um valor infinitesimal é menor que qualquer número. Se você adicionar infinito a si mesmo, receberá o infinito e, se adicionar um valor infinitesimal a si mesmo, receberá novamente um valor infinitesimal. E se você multiplicar o infinito por uma quantidade infinitesimal, receberá 1, como no exemplo sobre a probabilidade de ganhar na loteria.
Essa abordagem gera os mesmos problemas que o nosso infinito "inventado" anterior. Aqui é necessário agir com precisão especial, ou melhor, com habilidade técnica, como fizemos antes, quando queríamos formular uma definição clara do conceito de "infinito", mas, como os problemas surgem com muita frequência, será mais elegante tentar contorná-los. Se durante uma caminhada você pegar uma grande poça suja, ou você pisará nela, esperando que os sapatos não se molhem, ou tente contorná-la. (É claro que algumas pessoas, especialmente crianças, adoram pisar no centro da poça. Em matemática, isso também acontece.)
Aqui está como contornar cuidadosamente o problema de divisão pelo infinito. Imagine que você precisa dividir um bolo de chocolate em várias pessoas. Se você dividi-lo em dois, todo mundo ganha muito. Se você dividir por três, todo mundo ainda ganha muito, mas menos do que no primeiro caso. Se são quatro pessoas, elas receberão ainda menos. Quanto mais pessoas, menos bolo cada uma recebe. Se o número de pessoas se tornar realmente grande, será tolice tentar compartilhar um bolo infeliz para todos. Você já tentou dividir um bolo em cem pessoas? (Os bolos de casamento geralmente consistem em várias camadas, que são essencialmente bolos separados.) E cerca de mil pessoas? E um milhão? Em algum momento, quando haverá muitas pessoas, todos receberão um pedaço tão pequeno que será praticamente uma quantidade insignificante, ou seja, quase nada.
Se tivermos um milhão de pessoas e apenas um bolo, tecnicamente todos receberão seu próprio pedaço - provavelmente serão bilhões de bilhões de moléculas de bolo. Mas externamente, a quantidade de bolo será quase igual a 0 e, com um aumento no número de pessoas, tenderá mais e mais a 0. Portanto, demos um significado matemático à idéia de que a divisão pelo infinito dá 0. Na verdade, nunca dividimos pelo infinito (portanto que não há senso comum). Vamos voltar ao exemplo que mencionamos no capítulo 11, quando algo tende ao infinito. Tentamos dividir pelo que tende ao infinito e descobrimos que a resposta também tenderá a 0. Talvez alguns sábios agora tragam um microscópio e digam que ainda veem uma certa quantidade de bolo em um prato. Mas sempre podemos compartilhar um pouco mais, e o bolo não ficará visível novamente. Isso não significa que 1, dividido pelo infinito, seja 0, mas esses argumentos deram às nossas suposições intuitivas uma explicação matemática, e esse foi o começo de toda a análise matemática moderna.
Paradoxos de Zenão
A análise matemática tem suas raízes nos tempos antigos. A questão de como algo pode consistir em um número infinito de partes infinitesimais foi feita pelo filósofo grego Zenon, há mais de 2,5 mil anos. Assim como Hilbert, milhares de anos depois, Zenão estudou paradoxos provando que um número infinito de objetos deve ser manuseado com muito cuidado.
Um dos paradoxos de Zenão é semelhante ao pensamento de uma criança sobre um bolo de chocolate: se eu comer metade do que sobrou, metade do que sobrou e assim por diante, eu como apenas metade do que sobrou, e comerá Será que o bolo ficará sem fim?
Zenão formula esse paradoxo da seguinte forma: se você deseja ir do ponto A ao ponto B, primeiro deve superar metade da distância. Então você deve percorrer metade da distância restante. Depois disso, você terá que percorrer metade da nova distância restante e assim por diante. Você constantemente percorre apenas metade da distância restante.
Após cada estágio, sempre há metade da distância e você sempre pode percorrer apenas metade do que resta. Isso significa que você nunca chegará ao local?
Os matemáticos gostam muito de criar novos conceitos a partir dos antigos que já foram estudados. Vamos também voltar ao infinito já passado de números naturais. Dissemos que precisamos superar metade de toda a distância, depois um quarto, depois um oitavo, um décimo sexto e assim por diante "sem parar". Como já sabemos, os números naturais continuam indefinidamente. Suponha que precisamos caminhar uma milha. Depois, podemos distinguir os seguintes estágios do caminho:
Temos um número infinito de n, o que significa que teremos um número infinito de estágios no caminho. Não podemos especificar o comprimento de cada estágio, mas podemos escrevê-lo de uma forma geral: para isso, aplicamos uma fórmula com a variável n. Mas se não podemos gravar a duração de cada estágio, podemos terminar cada um deles? A resposta deve ser: sim, porque terminar o caminho é bastante normal para cada um de nós. Geralmente terminamos nossos caminhos, mesmo os mais curtos, e fazemos todos os dias. (Não saio de casa todos os dias, mas às vezes consigo ir à geladeira várias vezes em uma hora.)
Em um paradoxo semelhante, também formulado por Zeno, estamos falando de Aquiles e a tartaruga, que estão correndo do ponto A ao ponto B. A tartaruga pode começar a se mover primeiro, digamos, no ponto A1, mas se move muito lentamente, porque é uma tartaruga! E Aquiles deve primeiro correr para o local do início das tartarugas. Durante esse período, a tartaruga vai um pouco mais longe, por exemplo, ao ponto A2. Agora, Aquiles deve chegar a esse ponto; enquanto ele faz isso, a tartaruga passa um pouco mais, por exemplo, para apontar A3. Agora, Aquiles já deve chegar ao A3 e, durante esse período, a tartaruga rasteja até o ponto A4. Toda vez que Aquiles chega ao local onde a tartaruga estava no momento em que verificamos o status da corrida pela última vez, a tartaruga vai um pouco mais longe. Isso significa que a tartaruga vencerá a corrida?
Ambos os paradoxos são baseados em evidências completamente lógicas que levam a uma conclusão absurda. Normalmente somos capazes de chegar ao nosso destino. E é óbvio que, se Usain Bolt fizer uma corrida com uma tartaruga, ele vencerá a corrida. O significado desses paradoxos não é detectar erros em nossa realidade, mas detectar erros na lógica de nossos argumentos.
Esse paradoxo difere do paradoxo do hotel Hilbert, que, embora possa ser preenchido, ainda é capaz de acomodar os recém-chegados. Nela, a conclusão parece absurda, porque nossas idéias intuitivas sobre hotéis sem fim não são inteiramente corretas.
Paradoxos como o paradoxo do Hilbert Hotel são chamados de verdadeiros paradoxos; fortes argumentos neles levam a uma conclusão que parece contraditória, mas na verdade não é. , , , , , .
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