Por que o teorema da incompletude de Gödel é difícil de provar: o assunto está nas formulações, e não apenas na essência

Grosso modo, o teorema da incompletude de Gödel afirma que existem afirmações matemáticas verdadeiras que não podem ser provadas. Quando eu estava na 11ª série, nós três, juntamente com o professor de geometria, Sr. Olsen, e minha amiga Uma Roy, passamos cinco semanas lendo a prova original de Gödel. Por que tanto tempo? Em parte porque ainda éramos crianças em idade escolar. Em parte porque Gödel, 24, não era o escritor mais talentoso. Mas principalmente porque a evidência é realmente bastante difícil.

Isso pode parecer surpreendente, porque todas as evidências de fato podem caber em um parágrafo. Gödel começa construindo uma afirmação matemática essencialmente equivalente a uma frase,

Esta afirmação não pode ser provada.

Godel então considera o que acontecerá se essa afirmação for falsa. Ou seja, se essa afirmação puder ser comprovada. Mas qualquer afirmação que possa ser provada deve ser verdadeira - isso é uma contradição. A partir disso, Gödel conclui que a afirmação deve ser verdadeira. Mas, como a afirmação é verdadeira, segue-se que a afirmação não pode ser provada. Observe que esta declaração final não é uma contradição. Pelo contrário, esta é a prova do teorema de Gödel.

Então, por que a evidência real é tão complicada? O truque é que o que pode parecer uma declaração matemática válida em inglês geralmente não é assim (especialmente quando uma frase se refere a si mesma). Considere, por exemplo, a seguinte frase:

Esta frase é falsa.

Uma sentença não tem sentido: não pode ser falsa (porque a tornaria verdadeira) e não pode ser verdadeira (porque a tornaria falsa). E, é claro, não pode ser escrito na forma de uma declaração matemática formal.

Aqui está outro exemplo (conhecido como o paradoxo de Berry):

Defina {x} como o menor número inteiro positivo que não pode ser descrito em menos de 100 palavras.

Isso pode parecer uma definição matemática válida. Mas, novamente, não faz sentido. E, o que é importante para a sanidade da matemática, nenhuma declaração semelhante pode ser escrita formalmente, isto é, matematicamente.

Mesmo declarações na linguagem da matemática podem não ter sentido:

$$

$$S = \ {A \ mid A \ not \ em A \}$$

(ou seja, $$$S$ São muitos conjuntos $$$A$ que não são elementos de si mesmos).

Esta é novamente uma definição sem sentido (conhecida como paradoxo de Russell). Em particular, uma vez que identificamos $$$S$ podemos perguntar se $$$S$ você mesmo? Se sim, então $$$S$ não pode ser um membro $$$S$ - uma contradição; e se não, então $$$S$ será um membro $$$S$ - novamente uma contradição.

O significado desses três exemplos é que, se você quiser provar teoremas de afirmações matemáticas, tenha muito cuidado com o fato de estar realmente operando afirmações matemáticas. De fato, de 46 definições no início a evidências surpreendentemente sólidas no final, o artigo original de Gödel nada mais é do que um enorme exercício de cautela.