Operações com números complexos

Olá% username%!
Recebi muitas críticas sobre a primeira parte e tentei levar todas elas em consideração.
Na primeira parte, escrevi sobre a adição, subtração, multiplicação e divisão de números complexos.
Se você não sabe disso, apresse-se e leia a primeira parte :-)
O artigo está emoldurado, há muito poucas histórias aqui, principalmente fórmulas.
Boa leitura!

Então, vamos para operações mais interessantes e um pouco mais complexas.
Vou falar sobre a forma exponencial do número complexo,
exponenciação, raiz quadrada, módulo e também sobre o seno e
cosseno de um argumento complexo.
Eu acho que vale a pena começar com um módulo numérico complexo.
O número complexo pode ser representado no eixo de coordenadas.
Números reais serão localizados ao longo de x, e números imaginários ao longo de y.
Isso é chamado de plano complexo. Qualquer número complexo, por exemplo

$$

$$z = 6 + 8i$$

obviamente pode ser representado como um vetor de raio:

A fórmula para calcular o módulo terá a seguinte aparência:

$$

$$r = | z | = \ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2)$$

Acontece que o módulo do número complexo z será igual a 10.
Na última parte, falei sobre duas formas de escrever números complexos:
algébrico e geométrico. Existe também uma forma indicativa de entrada:

$$

$$z = r \: e ^ {i \ phi}$$

Aqui r é o módulo de um número complexo,
e φ é arctg (y / x) se x> 0
Se x <0, y> 0, então

$$

$$φ = arctan (y / x) + \ pi$$

Se x <0, y <0, então

$$

$$φ = arctan (y / x) - \ pi$$

Existe uma maravilhosa fórmula Moiré que permite criar um número complexo em
um grau inteiro. Foi descoberta pelo matemático francês Abrach de Moire em 1707.
É assim:

$$

$$z ^ n = r ^ n {(cos (\ phi) + i * sin (\ phi))} ^ n$$

Como resultado, podemos aumentar o número z para a potência a:

$$

$$z.x = | z | ^ a * cos (a * arctg (y / x))$$

$$

$$z.y = | z | ^ a * sin (a * arctg (y / x))$$

Se o seu número complexo for escrito em forma exponencial, então
você pode usar a fórmula:

$$

$$z ^ k = r ^ ke ^ {ik \ phi}$$

Agora, sabendo como o módulo do número complexo e a fórmula de Moire são encontrados, podemos encontrar
n raiz do número complexo:

$$

$$\ sqrt [n] {z} = \ sqrt [n] {r} \; cos {\ frac {\ phi + 2 \ pi k} {n}} + i * sin {\ frac {\ phi + 2 \ pi k} {n}}$$

Aqui k são números de 0 a n-1
A partir disso, podemos concluir que existem exatamente n raízes distintas da enésima
graus de um número complexo.
Vamos passar para o seno e o cosseno.
A famosa fórmula de Euler nos ajudará a calculá-los:

$$

$$e ^ {ix} = cos ({x}) + i * sin ({x})$$

A propósito, ainda existe a identidade de Euler, que é um particular
o caso da fórmula de Euler para x = π:

$$

$$e ^ {iπ} + 1 = 0$$

Obtemos as fórmulas para calcular o seno e o cosseno:

$$

$$sin \: z = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {{2i}}$$

$$

$$cos \: z = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {{2}}$$

No final do artigo, não se pode deixar de mencionar a aplicação prática de
números para que não haja dúvida

esses números complexos desistiram?
Resposta: em algumas áreas da ciência, não há como ficar sem elas.
Na física, na mecânica quântica, existe uma função de onda, que por si só é complexa.
Na engenharia elétrica, números complexos se tornaram um substituto conveniente para as difuras que inevitavelmente surgem na solução de problemas com circuitos CA lineares.
O teorema de Zhukovsky (wing lift) também usa números complexos.
E também em biologia, medicina, economia e muito mais onde.
Espero que agora você possa lidar com números complexos e possa
colocá-los em prática.
Se algo no artigo não estiver claro - escreva nos comentários, responderei.