Vamos remover os quaternions de todos os mecanismos 3D

Programadores gráficos usam quaternions para gravar turnos tridimensionais. No entanto, os quaternions são difíceis de entender porque são estudados superficialmente . Apenas pegamos tabelas de multiplicação estranhas e outras definições enigmáticas sobre fé e as usamos como "caixas pretas" que giram vetores conforme necessário. Porque $$$\ mathbf {i} ^ 2 = \ mathbf {j} ^ 2 = \ mathbf {k} ^ 2 = -1$ e $$$\ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k}$ ? Por que pegamos um vetor e o transformamos em um vetor "imaginário" para transformá-lo, por exemplo $$$\ mathbf {q} (x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j} + z \ mathbf {k}) \ mathbf {q} ^ {*}$ ? Mas quem se importa se tudo funciona, certo?

Existe uma maneira de descrever rotações chamadas rotor , que se refere ao campo de números complexos (em 2D) e quaternions (em 3D), e até generaliza para qualquer número de dimensões.

Podemos criar rotores quase completamente do zero , em vez de definir quaterniões do nada e tentar explicar como eles funcionam retroativamente . Leva mais tempo, mas me parece que vale a pena, porque eles são muito mais fáceis de entender!

Além disso, para a visualização e compreensão de rotores tridimensionais, não é necessário usar a quarta dimensão espacial.

Seria ótimo se eles começassem a suplantar o uso e o estudo de quaternions, substituindo-os por rotores. Substituí-los é muito simples, mas o código permanecerá quase o mesmo . Tudo o que pode ser feito com quaterniões, por exemplo, interpolação e remoção de travas de eixo (trava Gimbal), pode ser feito com rotores. Mas começamos a entender muito mais.

(No artigo original, todos os gráficos são interativos e o artigo é seguido por um vídeo. Ao clicar nos botões de reprodução, você pode iniciar a seção correspondente do vídeo. Você também pode clicar no botão de transição abaixo do vídeo para ir para a seção correspondente do artigo. Você pode expandir a janela para que haja mais espaço para o vídeo. ou defina um tamanho constante para ele.)

1. Aviões de giro

1.1 As voltas são realizadas em planos bidimensionais.

No espaço tridimensional, geralmente percebemos as voltas ocorrendo ao redor dos eixos, como uma roda girando em um eixo, mas, em vez disso, seria mais correto representar o plano no qual a roda se encontra. Este plano é perpendicular ao eixo.


Esta velha gira uma roda no avião $$$\ mathbf {xz}$ perpendicular ao eixo $$$\ mathbf {y}$ .

Isso acontece porque se dividirmos o vetor em duas partes, uma das quais está no plano ( $$$\ mathbf {v} _ \ paralelo$ ) e o outro está fora ( $$$\ mathbf {v} _ \ perp$ ), a rotação gira a parte interna e a externa permanece inalterada.


Rotação no avião $$$yx$ [ no artigo original esta animação e a câmera podem ser movidas ]

No espaço bidimensional, existe apenas um plano no qual a rotação é possível ( não há parte externa ). Portanto, supor que as rotações ocorram ao redor do terceiro eixo (perpendicular ao plano 2D) está estritamente falando incorreto, porque para concluir as rotações não devemos adicionar outra dimensão.

Se dissermos ao "proprietário plano" bidimensional (que vive dentro do plano 2D e nunca saiu do espaço bidimensional) sobre o eixo de rotação perpendicular, ele perguntaria: "Em que direção esse eixo aponta? Não consigo imaginá-la!

1.2 A direção exata das curvas

Além disso, quando pensamos na rotação em torno de um eixo, a direção da rotação não é definida e, portanto, deve ser determinada por uma regra (a chamada “regra da mão direita”).

No entanto, se assumirmos que as curvas ocorrem dentro dos planos, a direção fica clara: rotação no plano $$$\ mathbf {xy}$ significa uma rotação que move um vetor (unidade) $$$\ mathbf {x}$ para o vetor (unidade) $$$\ mathbf {y}$ dentro do avião eles formam juntos. Rotação no avião $$$\ mathbf {yx}$ É uma rotação na direção oposta: move o vetor $$$\ mathbf {y}$ para o vetor $$$\ mathbf {x}$ .

2. Bivectors

2.1 Trabalho externo

Para calcular o eixo de rotação ao girar um vetor $$$\ mathbf {a}$ para outro vetor $$$\ mathbf {b}$ pegamos o produto vetorial de dois vetores para obter um vetor perpendicular a ambos. Mas por que precisamos "sair" do avião se a rotação é essencialmente uma operação bidimensional?

Em vez disso, pegamos o que é chamado de produto externo (também conhecido como produto vetorial bidimensional), dois vetores, criando um novo elemento chamado “bivetor” (ou vetor vetorial) $$$\ mathbf {B}$ representando o plano que dois vetores formam juntos. Se um produto vetorial cria um vetor normal para o plano, o produto externo cria o próprio plano . O cálculo do normal para o plano é irrelevante.

$$

$$\ mathbf {B} = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

$$$\ mathbf {B}$ pode ser representado como um paralelogramo construído a partir de vetores $$$\ mathbf {a}$ e $$$\ mathbf {b}$ no plano que eles formam juntos.

A princípio, a idéia de um bivetor pode parecer estranha, mas logo veremos que eles são quase tão fundamentais quanto os próprios vetores . Se o vetor puder ser comparado com uma linha reta, o bivetor será como um plano ... As propriedades de um produto externo capturam as propriedades importantes dos planos.

2.2 A base para bivectors

Bivectors, como vetores, têm componentes. Mas eles são determinados com base em planos , e não em linhas retas , como vetores.

Três planos basais ortogonais são $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$ , $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}$ e $$$\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z}$ como podemos ver na figura.

Mas primeiro, vejamos um caso bidimensional mais simples ...

2.3 Bivectors bidimensionais

Em 2D, existe apenas um plano, a saber $$$\ mathbf {xy}$ . Ou seja, um bivetor bidimensional possui apenas um componente. Para um bivetor composto por vetores $$$\ mathbf {a}$ e $$$\ mathbf {b}$ é o número $$$B_ {xy}$ igual à área (com um sinal) do paralelogramo formado por dois vetores.

$$

$$\ mathbf {B} = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} = B_ {xy} (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y})$$

No artigo original com um bivetor 2D, você pode experimentar no gráfico interativo alterando os vetores (únicos) dos quais ele é composto:


Você pode ver que, quando o ângulo entre os vetores muda, a área do paralelogramo muda (de acordo com o seno do ângulo).

Se os vetores forem iguais ou paralelos, eles não formarão um plano regular e o resultado será zero. Esta propriedade simples define o que é um bivetor:

$$

$$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {a} = 0$$

Observando a soma de dois vetores, você pode ver que a propriedade a seguir:

$$

$$\ begin {eqnarray} (\ mathbf {a} + \ mathbf {b}) \ wedge (\ mathbf {a} + \ mathbf {b}) & = & 0 \\ \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf { a} + \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {b} & = & 0 \\ \ mathbf { b} \ wedge \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = & 0 \ end {eqnarray}$$

Portanto:

$$

$$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} = - \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {a}$$

Assim como a direção da rotação , a ordem dos argumentos no trabalho externo é importante. Reordenar os argumentos altera o sinal do resultado (isso é chamado de "antisimetria").

No gráfico, o sinal é indicado por uma cor que muda de azul para verde. O sinal muda quando a vez de $$$\ mathbf {a}$ em $$$\ mathbf {b}$ move do sentido horário para o sentido anti-horário (ou seja, se corresponder à direção (de $$$\ mathbf {x}$ para $$$\ mathbf {y}$ ) ou direção (de $$$\ mathbf {y}$ para $$$\ mathbf {x}$ )).

Você pode ver que as propriedades do produto externo são organizadas de modo a transmitir as propriedades de planos e curvas.

2.4 Bivetores bidimensionais de vetores sem unidade

Obviamente, os vetores não precisam ter comprimento unitário e essa restrição foi removida neste gráfico:


A área do paralelogramo com um sinal é proporcional aos comprimentos de ambos os vetores: $$$B_ {xy} = sin (\ alpha) \ | a \ | \ | b \ |$ onde $$$\ alpha$ O ângulo entre $$$\ mathbf {a}$ e $$$\ mathbf {b}$ . Ou seja, por exemplo, ao dobrar o comprimento de um vetor, a área dobra.

Podemos obter o valor verdadeiro substituindo os vetores como componentes:

$$

$$\ begin {eqnarray} \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = & (a_x \ mathbf {x} + a_y \ mathbf {y}) \ wedge (b_x \ mathbf {x} + b_y \ mathbf { y}) \\ & = & a_x b_x (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {x}) + a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) + a_y b_x (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {x}) + a_y b_y (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {y}) \\ & = & a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) + a_y b_x ( \ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {x}) \\ & = & a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) - a_y b_x (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} ) \\ & = & (a_x b_y - a_y b_x) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) \ end {eqnarray}$$

$$

$$B_ {xy} = a_x b_y - b_x a_y$$

2.5 Bivectors 3D

Igual às coordenadas do vetor $$$\ mathbf {v}$ podem ser consideradas projeções do vetor em três eixos de base ortogonais ( $$$\ mathbf {x}$ , $$$\ mathbf {y}$ , $$$\ mathbf {z}$ ), as coordenadas do bivetor $$$\ mathbf {B}$ podem ser consideradas projeções menores que um plano em três planos basais ortogonais.

As projeções do vetor são os comprimentos desse vetor ao longo de cada vetor base, e as projeções do bivetor são as áreas do plano em cada plano base.

Para o vetor:

$$

$$\ mathbf {v} = \ bbox [5px, borda inferior: 2px vermelho sólido] {v_x} \ mathbf {x} + \ bbox [5px, borda inferior: 2px verde sólido] {v_y} \ mathbf {y} + \ bbox [5 px, borda inferior: 2 px em azul sólido] {v_z} \ mathbf {z}$$

Para bivector:

$$

$$\ mathbf {B} = \ bbox [5px, borda inferior: 2px coral sólido] {B_ {xy}} (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) + \ bbox [5px, borda inferior: 2px ouro sólido] {B_ {xz}} (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}) + \ bbox [5 px, borda inferior: 2 px DarkViolet sólido] {B_ {yz}} (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z})$$

Onde $$$B_ {xy}$ , $$$B_ {xz}$ , $$$B_ {yz}$ São apenas números como $$$v_x$ , $$$v_y$ , $$$v_z$ (eles são sublinhados pelas cores correspondentes às cores no gráfico).

Os componentes de um bivetor 3D são apenas três projeções 2D de um bivetor em um plano 2D básico.

Usando o mesmo método de antes, descobrimos que os valores reais dos componentes se parecem muito com o componente XY do caso bidimensional, mas aplicados aos três planos:

$$

$$B_ {xy} = a_x b_y - b_x a_y$$

$$

$$B_ {xz} = a_x b_z - b_x a_z$$

$$

$$B_ {yz} = a_y b_z - b_y a_z$$

Você pode experimentar um bivetor 3D em um gráfico interativo no artigo original:



Se dividirmos o bivetor por sua norma, reduziremos os dois comprimentos dos vetores e o valor (absoluto) do seno do ângulo, ou seja, teremos o bivetor $$$\ hat {\ mathbf {B}}$ , que será construído como se os dois vetores fossem inicialmente perpendiculares e tivessem um comprimento unitário. Esta é uma representação muito clara de um plano contendo os dois vetores. Então:

$$

$$\ mathbf {B} = | \ mathbf {a} \ | \ | | mathbf {b} \ | \ mid sin (\ alpha) \ mid \ hat {\ mathbf {B}}$$

Algo lembra um trabalho externo? Em 3D, a definição de um trabalho externo é muito semelhante à definição de um trabalho vetorial. De fato, um vetor em 3D obtido de um produto vetorial (por exemplo, um vetor normal) terá três componentes iguais aos componentes do bivetor (os números serão os mesmos, mas a base é diferente).

$$$$ display $$ \ begin {eqnarray} \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = & & (a_x b_y - b_x a_y) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) \\ & & + & (a_x b_z - b_x a_z) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}) \\ && + (a_y b_z - b_y a_z) (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z} ) \\ \\ \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} & = & & (a_x b_y - b_x a_y) \ \ mathbf {z} \\ & & - & (a_x b_z - b_x a_z) \ \ mathbf {y} \\ & & + (a_y b_z - b_y a_z) \ \ mathbf {x} \ end {eqnarray} $$ display $$

A definição de um bivetor tem um significado geométrico e não aparece do nada. Lembro-me de que, quando estudei produtos vetoriais, pensei: “Que diabos retorna um vetor cujo comprimento é igual à área do paralelogramo formado por esses dois vetores? Parece tão aleatório. E por que podemos transformar a área do paralelogramo no comprimento do vetor? ”

2.6 Semântica de vetores e bivetores

Em 3D, o bivetor possui três coordenadas, uma por plano: ( $$$\ mathbf {xy}$ , $$$\ mathbf {xz}$ e $$$\ mathbf {yz}$ ) Os vetores também têm três coordenadas, uma por eixo ( $$$\ mathbf {x}$ , $$$\ mathbf {y}$ e $$$\ mathbf {z}$ ) Cada plano é perpendicular a um eixo. Essa coincidência surge apenas em três dimensões (*) e é por isso que constantemente confundimos bivetores com vetores .


Na programação, ambos têm o mesmo layout de memória, mas operações diferentes. O uso de um vetor 3D em vez de um bivetor 3D é semelhante a uma "conversão de tipo" de um bivetor.

Aqui está um exemplo: você pode ver que os vetores normais são transformados de maneira diferente dos vetores comuns usando a matriz "transferência reversa" $$$(\ mathbf {M} ^ {T}) ^ {- 1}$ , em vez da própria matriz. Isso ocorre porque, na verdade, eles não são vetores, mas bivetores, que são transformados em vetores por "conversão de tipo". Na física, existe um hack chamado “vetor axial”, que foi introduzido para distinguir os vetores obtidos pelo produto vetorial dos vetores comuns. Um bivetor é um verdadeiro "tipo" de um objeto e deve ser percebido e processado de acordo.

3. O produto geométrico

3.1 Multiplicação de vetores entre si

Produto geométrico $$$\ mathbf {a b}$ (indicado sem um símbolo) é outra operação que pode ser executada com vetores. O produto geométrico é definido para que os vetores sejam quantidades inversas (por exemplo, $$$\ mathbf {a} \ mathbf {a} ^ {- 1} = 1$ , em que 1 é apenas o número 1!) e possui propriedades convenientes, por exemplo, associatividade ( $$$\ mathbf {a} (\ mathbf {b} \ mathbf {c}) = (\ mathbf {a} \ mathbf {b}) \ mathbf {c}$ ) O objetivo disso é poder multiplicar vetores para que (como é o caso das matrizes) a multiplicação corresponda às operações geométricas.


Para definir um produto, primeiro observamos que é possível dividir um produto (ou qualquer função que aceite dois argumentos) na soma da parte que não muda se trocarmos os argumentos e a parte que muda da seguinte maneira:

$$

$$\ begin {eqnarray} \ mathbf {a} \ mathbf {b} & = & \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ mathbf {a} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) \\ & = & \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf { b} \ mathbf {a}) + \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) \ end {eqnarray}$$

O primeiro termo não depende mais da ordem dos argumentos $$$\ mathbf {a}$ e $$$\ mathbf {b}$ (é chamada de parte "simétrica") e o segundo termo muda de sinal ao alterar os locais dos argumentos (é chamada de parte "antissimétrica").

O produto escalar de dois vetores (também chamado de produto interno) é simétrico e é uma medida de distância ( $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} = \ | \ mathbf {a} \ | ^ 2$ ), portanto, do ponto de vista geométrico, parece útil torná-lo igual à parte simétrica:

$$

$$\ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ mathbf {a}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}$$

Da mesma forma, o produto externo de dois vetores é antissimétrico, portanto, seria útil equipará-lo à parte antissimétrica:

$$

$$\ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

Além disso, o produto escalar contém o cosseno do ângulo entre dois vetores ( $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ | \ mathbf {a} \ | \ | \ mathbf {b} \ | cos (\ alpha)$ ), enquanto o produto externo contém o seno do ângulo. Juntos, eles descrevem completamente o ângulo entre os vetores, bem como o plano que eles formam.


Ou seja, o produto geométrico é igual a:

$$

$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

Isso é estranho, porque multiplicar dois vetores dá a soma de duas coisas diferentes: um escalar e um bivetor. No entanto, isso é semelhante à forma como um número complexo é a soma de um número escalar e um "imaginário", para que você já possa se acostumar. Aqui, a parte bivetor corresponde à parte "imaginária" do número complexo. Só que este não é um valor "imaginário", é apenas um bivetor que podemos realmente mostrar graficamente!

De fato, multiplicando dois vetores, calculamos suas propriedades úteis ("o comprimento de suas projeções um no outro" / "cosseno do ângulo" ( $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}$ ) e "o plano que formam juntos" / "o seno do ângulo" ( $$$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$ )), que conectamos com um sinal de adição. Um produto geométrico também fornece operações de "grupos de propriedades" que podem ser aplicadas a eles, e essas operações têm interpretações geométricas (por exemplo: rotação e reflexão de vetores). Isso veremos em breve.

Você pode expressar o produto geométrico em termos de seno e cosseno: $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ | \ mathbf {a} \ | \ | \ mathbf {b} \ | (cos (\ alpha) + sin (\ alpha) \ mathbf {B})$ onde $$$\ mathbf {B}$ É um bivetor de ambos os vetores no plano, composto por dois vetores perpendiculares unitários.

3.2 Tabela de multiplicação

A tabela de multiplicação nos permite tornar o produto mais específico: vamos ver o que acontece se obtivermos os produtos de vetores de base ( $$$\ mathbf {x}$ , $$$\ mathbf {y}$ , $$$\ mathbf {z}$ )

Para qualquer vetor base, por exemplo, um eixo $$$\ mathbf {x}$ , o resultado será igual $$$1$ :

$$

$$\ mathbf {x} \ mathbf {x} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x} + \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {x} = 1$$

Para qualquer par de vetores de base, por exemplo, eixos $$$\ mathbf {x}$ e $$$\ mathbf {y}$ , o resultado será um bivetor, que juntos eles formam:

$$

$$\ mathbf {x} \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} + \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$$

(ou seja, podemos citar $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$ apenas $$$\ mathbf {x} \ mathbf {y}$ , já que esse é o mesmo!)

Isso nos dá a seguinte tabela:

$$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$		$$$\ mathbf {b}$
		$$$\ mathbf {x}$	$$$\ mathbf {y}$	$$$\ mathbf {z}$
$$$\ mathbf {a}$	$$$\ mathbf {x}$	$$$1$	$$$\ mathbf {x} \ mathbf {y}$	$$$\ mathbf {x} \ mathbf {z}$
	$$$\ mathbf {y}$	$$$- \ mathbf {x} \ mathbf {y}$	$$$1$	$$$\ mathbf {y} \ mathbf {z}$
	$$$\ mathbf {z}$	$$$- \ mathbf {x} \ mathbf {z}$	$$$- \ mathbf {y} \ mathbf {z}$	$$$1$

De fato, esta tabela é trivial, comparada, por exemplo, com a tabela de quaternions.

3.3 Fórmula de reflexão (aparência tradicional)

Reflexão sobre um vetor [no artigo original, cada vetor pode ser movido]

Se tivermos um vetor de unidade $$$\ mathbf {a}$ e vetor $$$\ mathbf {v}$ nós podemos refletir $$$\ mathbf {v}$ através de um plano perpendicular $$$\ mathbf {a}$ .

Isso é feito da maneira usual: compartilhamos $$$\ mathbf {v}$ Na parte perpendicular ao plano: $$$\ mathbf {v} _ \ perp = (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}$ , e a parte paralela ao plano: $$$\ mathbf {v} _ \ parallel = \ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ \ perp = \ mathbf {v} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}$ .

Então, para refletir o vetor, invertemos a parte perpendicular e deixamos a parte paralela inalterada:

$$

$$\ begin {eqnarray} R _ {\ mathbf {a}} (\ mathbf {v}) & = & \ mathbf {v} _ \ parallel - \ mathbf {v} _ \ perp \\ & = & (\ mathbf { v} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}) - ((\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}) \\ & = & \ mathbf {v} - 2 (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a} \ end {eqnarray}$$

3.4 Fórmula de reflexão (vista para produto geométrico)

Nesta fase, podemos substituir o produto escalar $$$\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}$ na sua versão na forma de um produto geométrico $$$\ frac {1} {2} (\ mathbf {v} \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ mathbf {v})$ e obtenha o seguinte:

$$

$$\ begin {eqnarray} R _ {\ mathbf {a}} (\ mathbf {v}) & = & \ mathbf {v} - 2 (\ frac {1} {2} (\ mathbf {v} \ mathbf {a } + \ mathbf {a} \ mathbf {v})) \ mathbf {a} \\ & = & \ mathbf {v} - \ mathbf {v} \ mathbf {a} ^ 2 - \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} \\ & = & - \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} \ end {eqnarray}$$

( $$$\ mathbf {a} ^ 2 = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} = 1$ desde $$$\ mathbf {a}$ é um vetor de unidade)

Isso nos dá exatamente a mesma coisa, mas em uma entrada diferente. Usar um registro na forma de um produto simples em vez de uma fórmula para codificar uma operação tão fundamental como a reflexão será muito útil!

3.5 Duas reflexões são uma virada: a situação em 2D

Acontece que se aplicarmos a $$$\ mathbf {v}$ duas reflexões consecutivas (primeiro com um vetor $$$\ mathbf {a}$ e depois com o vetor $$$\ mathbf {b}$ ), obtemos uma rotação duas vezes o ângulo entre os vetores $$$\ mathbf {a}$ e $$$\ mathbf {b}$ .

Podemos mostrar cada estágio subsequente de reflexão no gráfico abaixo:


Você também pode alterar vetores no artigo original. $$$\ mathbf {a}$ , $$$\ mathbf {b}$ e $$$\ mathbf {v}$ , mas a configuração inicial dos vetores no gráfico (clique no botão "Redefinir posições do vetor") demonstra claramente por que a rotação como resultado ocorre em um ângulo duplo . Outra boa configuração é definir como $$$\ mathbf {a}$ e $$$\ mathbf {b}$ machados $$$\ mathbf {x}$ e $$$\ mathbf {y}$ .

3.6 Duas reflexões é uma virada: a situação em 3D

No caso do vetor 3D $$$\ mathbf {v}$ pode ser dividido em duas partes, uma das quais está no plano dado $$$\ mathbf {a}$ e $$$\ mathbf {b}$ , e o outro fica fora do plano (perpendicular a ele). Como mostra o gráfico abaixo, quando o vetor é refletido por cada um dos planos, sua parte externa permanece a mesma. Quanto ao interior, estamos de volta em 2D, e ele gira apenas o dobro do ângulo!

3.7 Rotores

Do ponto de vista do produto geométrico, duas reflexões correspondem simplesmente ao seguinte:

$$

$$R _ {\ mathbf {b}} (R _ {\ mathbf {a}} (\ mathbf {v})) = - \ mathbf {b} (- \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} ) \ mathbf {b} = \ mathbf {b} \ mathbf {a} \: \ mathbf {v} \: \ mathbf {a} \ mathbf {b}$$

Nós chamamos $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$ rotor porque multiplicando por $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$ nos dois lados do vetor, realizamos uma rotação ( $$$\ mathbf {b} \ mathbf {a}$ É o mesmo que $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$ , apenas no bivetor de peças invertido).

Aplicação do rotor $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$ para ambos os lados do vetor gira esse vetor no plano dos vetores $$$\ mathbf {a}$ e $$$\ mathbf {b}$ o dobro do ângulo entre $$$\ mathbf {a}$ e $$$\ mathbf {b}$ .

E isso é tudo!

Comparação de rotores 3D e quaternions

Você pode ver que os rotores 3D se parecem muito com quaternions:

$$

$$a + B_ {xy} \ \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} + B_ {xz} \ \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z} + B_ {yz} \ \ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z}$$

$$

$$a + b \ \ mathbf {i} + c \ \ mathbf {j} + d \ \ mathbf {k}$$

De fato, o código / matemática é praticamente o mesmo! A principal diferença é que $$$\ mathbf {i}$ , $$$\ mathbf {j}$ e $$$\ mathbf {k}$ substituído por $$$\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z}$ , $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}$ e $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$ mas eles funcionam basicamente da mesma forma. A comparação de código pode ser encontrada aqui . Eu não implementei tudo, por exemplo, log / exp para interpolação, mas eles são bastante simples de criar.


No entanto, como vimos, os rotores 3D são um conceito tridimensional que não requer o uso de "giros duplos quadridimensionais" ou "projeção estereográfica" para visualização. Tentar visualizar quaternions rodando em 4D para explicar rotações 3D é como tentar entender o movimento planetário do ponto de vista geocêntrico. I.e. essa abordagem é muito complicada porque a encaramos do ponto de vista errado.

Como vimos, modelar rotações como ocorrendo dentro de planos, em vez de em torno de vetores, nos ajuda muito. Por exemplo, os quadrados dos bivectors base dão $$$-1$ , assim como os quaternions básicos ( $$$\ mathbf {i} ^ 2 = \ mathbf {j} ^ 2 = \ mathbf {k} ^ 2 = -1$ ):

$$

$$(\ mathbf {x} \ mathbf {y}) ^ 2 = (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) = - (\ mathbf {y} \ mathbf {x}) (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) = - \ mathbf {y} (\ mathbf {x} \ mathbf {x}) \ mathbf {y} = - \ mathbf {y} \ mathbf { y} = -1$$

A multiplicação de dois bivetores um pelo outro dá um terceiro bivetor, mas na verdade é trivial, e não precisamos lembrar que $$$\ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k}$ :

$$

$$(\ mathbf {x} \ mathbf {y}) (\ mathbf {y} \ mathbf {z}) = \ mathbf {x} (\ mathbf {y} \ mathbf {y}) \ mathbf {z} = \ mathbf {x} \ mathbf {z}$$

(Observe que usamos $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ mathbf {y}$ )

Essas propriedades são o resultado de um produto geométrico e não surgem do nada!

Leitura adicional

(A propósito, na álgebra geométrica, existem não apenas rotores, mas também outras coisas legais!)

• Álgebra Linear e Geométrica de Macdonald [ link to Amazon ]
  
  Uma fonte excelente, muito clara e compreensível, porque estava implícito que substituiria o livro de álgebra linear dos alunos.
• Álgebra geométrica para ciência da computação por Dorst et al. [ link para a Amazon ]
  
  Uma ótima fonte, porque a programação às vezes permite entender melhor o assunto.

  Nota: neste livro, os autores deixam claro que a álgebra geométrica é mais lenta que os quaterniões (e similares ...). De fato, ele deve ter aproximadamente o mesmo código (ou seja, você não deve escrever código para álgebra geométrica, criando uma estrutura generalizada que possa conter todos os tipos possíveis de vetores-k, basta escrever, se necessário, uma estrutura para cada tipo de vetor-k Ou seja, para substituir os quaternions, você pode escrever uma estrutura Bivector e uma estrutura Rotor, que é Scalar + Bivector).