Segredos da Mente e da Matemática

No Egito antigo, os matemáticos não usavam evidências. Todas as suas declarações foram fundamentadas apenas empiricamente. No entanto, as pirâmides permaneceram e os aviões voaram . E, provavelmente, ninguém exigiria uma prova estrita se não fosse o desejo de refutar algo. Juntamente com os gregos, a matemática encontrou uma nova vida na qual surgiram problemas como o quadrado de um círculo, a irracionalidade de uma raiz de dois e o problema de trissecção de um ângulo. A partir desse momento, axiomas, leis da lógica e teoremas foram necessários. Mas a matemática moderna também está interessada no que é possível provar e no que não é. O teorema da incompletude de Gödel, a formalização da lógica e a teoria da evidência foram promovidas . Proponho uma teoria e um axioma que ajudarão a responder algumas das perguntas restantes e a delinear os limites de nossa consciência. Em particular, são questões de completude, o problema da igualdade e a axiomatização de nossa imaginação.



Teoria dos Objetos
A lógica matemática estuda as conexões entre declarações, mas não sua estrutura interna. Mas vamos tentar formalizar as próprias declarações. Suponha que tenhamos alguns objetos. Não exigiremos que sejam conjuntos ou qualquer outra coisa. Agora deixe um terceiro objeto para qualquer par ordenado de objetos - sua "interconexão". Vamos escrever assim:

$$

$$a * b = ab = c; *: (a, b) \ mapspara c$$

A estrutura resultante pode ser definida como magma (um conjunto com uma operação binária), mas não em algum conjunto, mas completamente arbitrária. E agora definimos a afirmação como igualdade algébrica (ou desigualdade) em um dado magma.
Agora vou explicar como exatamente essa definição reflete a estrutura interna das declarações. Por exemplo, nos seja dada a seguinte declaração:
O marcador pode pintar o quadro de azul.
Nós escrevemos isso como igualdade:
$$$M * D = DP$ - aplicar um marcador ( $$$M$ ) no quadro ( $$$D$ ), temos um quadro azul ( $$$Cd$ )
Agora, um exemplo mais complexo:
Um homem corre na chuva na rua.

$$

$$\ begin {cases} Man * Run = Do; \\ Man * Rain = Localizado \ "abaixo"; \\ Rua * Homem = Divirta-se. \ end {cases}$$

Aqui vale a pena notar que “Fazer”, “Ter em Si Mesmo” também são objetos. Esse sistema define exatamente nossa afirmação. Obviamente, esse design pode parecer selvagem e desconfortável, mas apenas a possibilidade de uma apresentação desse tipo é importante para nós. Além disso, haverá exemplos mais substanciais.

Como você provavelmente já percebeu, não exigimos nada de objetos, exceto alguma conexão com outros. E isso está certo. Por exemplo, todas as definições do dicionário são fornecidas como links para outras palavras. Um ponto e uma linha reta são conceitos indefiníveis, mas todas as suas interconexões são definidas. Isso nos leva a um pensamento importante.
Qualquer sistema axiomático é definido por relações de objetos. Por exemplo, se houver pares desses objetos que se comportam um em relação ao outro exatamente da mesma maneira que uma linha reta com um ponto, eles serão. O exemplo mais trivial é uma família de conjuntos, onde os elementos são pontos. A interseção de dois conjuntos é um elemento único ou um conjunto vazio. E permita que quaisquer três elementos definam exclusivamente todo o conjunto e assim por diante. Ou seja, se eu apenas renomear os objetos, nada mudará.
Axiomatics é magma.

Não pedimos que o magma seja dado no conjunto, pois não existe um conjunto de todos os conjuntos:

$$

$$\ # 2 ^ {X}> \ # X$$

Dizemos que axiomatics é contraditório se não tiver objetos e é consistente se existir pelo menos um objeto.
Por conveniência, as definições que obtivemos são chamadas de Teoria dos objetos ou Teoria clássica dos objetos .

Imaginação
Como a Teoria dos Objetos também é axiomática, ela pode ser descrita em sua própria linguagem dos objetos. Ou seja, gostaríamos de descrever todos os tipos de objetos em todos os tipos de axiomatics. Não estritamente falando, precisamos de uma descrição matemática da imaginação humana. Proponho o seguinte axioma único para isso:

$$

$$\ forall (x) _i, (y) _i, (x ') _ j, (y') _ j, z \ \ existe x \ \ forall i \ in I, j \ in J \ begin {cases} xx_i = y_i \\ x'_jx = y'_j \\ xx = z \ end {cases}$$

Pode ser descrito como "há tudo o que você pode imaginar". Observe que não exigimos a existência de pelo menos um objeto. Isso é feito para que a consistência axiomática seja equivalente à existência de pelo menos um objeto. Agora, provamos vários teoremas:
Teorema 1. A teoria dos objetos é um conjunto vazio ou não um conjunto.

Teorema 2. Há um objeto para o qual não há certeza se é um conjunto ou não.

Uma conseqüência do segundo teorema é a hipótese do continuum. Pode ser reformulado da seguinte maneira: um conjunto é um objeto cujo poder é maior que o poder de um conjunto contável, mas menor que o continuum?
Chamamos axiomatics pequeno se houver muitos de seus objetos e grande se não.
Teorema 3. Qualquer axiomatica grande é incompleta.

Isso nos leva aos limites da consciência humana. Sempre haverá declarações que não podemos provar nem refutar. E isso, como se vê, é uma consequência do paradoxo de Cantor. Um caso especial disso é o teorema de Godel. A partir daqui segue a incompletude da Teoria dos Objetos. Não podemos dizer com certeza o que é um objeto e o que não é. Por exemplo, um escudo que não pode ser quebrado é um objeto ou não? E a espada que quebra tudo? No entanto, eles não podem existir juntos. E tendo feito uma dessas escolhas, você deve fazê-las novamente.
Nomear dois objetos $$$x$ e $$$y$ igual se:
$$$\ forall z \ xz = yz \ cunha zx = zy$
E igual para muitos $$$X$ se:
$$$\ forall z \ in X \ xz = yz \ wedge zx = zy$
Que dois objetos sejam dados. Dividindo dois objetos $$$x$ e $$$y$ chamar esse objeto $$$z$ que:

$$

$$zx \ neq zy \ vee xz \ neq yz$$

Como dois objetos formam um conjunto, existe uma divisão para dois objetos. Portanto:
Teorema 4. Objetos iguais não existem.
Não é fácil dizer que na matemática não há igualdade, existem apenas isomorfismos.
Por exemplo, imagine que existem dois gêmeos com a mesma aparência. Para muitas pessoas tiradas da rua, essa é a mesma pessoa, apenas uma cópia dela. Mas para a mãe, essas são duas pessoas diferentes. Portanto, com relação às pessoas, elas são iguais, mas com relação à mãe, elas não são. Só podemos dizer que os gêmeos são isomórficos para os seres humanos, mas não são iguais. Em conexão com o Teorema 4, um resultado muito paradoxal pode ser obtido. Vamos nos dar algum objeto $$$A$ . E gostaríamos de pelo menos $$$A = A$ . Mas vamos dar o objeto $$$A$ por conveniência, também o nome $$$A '$ , apenas uma designação. Então deve ser $$$A = A '$ . Mas agora posso pensar nesses objetos como dois diferentes e encontrar sua divisão. Paradoxalmente, mas A não é igual a si próprio. Ou seja, não existe uma única declaração verdadeira sobre um objeto na Teoria dos objetos.
De fato, o ponto principal é que não podemos dizer inequivocamente qual objeto temos em mente. Podemos definir um objeto apenas para um determinado conjunto, mas existem infinitos objetos desse tipo. Além disso, existem mais do que qualquer número deles. Portanto, falando do objeto A, queremos dizer que não importa para nós quais dos objetos com as propriedades necessárias precisamos ter em mente. Mas, para qualquer objeto, podemos criar uma propriedade que os diferencie. Por exemplo: nome, comprimento da descrição, formulário, local e assim por diante. No entanto, isso, de um modo geral, não significa que não possamos escolher um objeto arbitrário ou sua fatoração.

Significado aplicado
Nós chamaremos axiomatics de enumeráveis ​​se o conjunto de suas afirmações (igualdades e desigualdades) for enumerável . Como segue da definição, para um axiomatics enumerado, existe um algoritmo que pode provar automaticamente teoremas e formular novos. Além disso, com base em nossa definição de declarações, esse algoritmo será idêntico a um algoritmo que funciona com alguma estrutura algébrica. Tal interpretação potencialmente realiza um sonho de longa data para salvar os matemáticos de inventar evidências.

Pensamento alienígena

A teoria da categoria tem uma categoria $$$\ mathfrak {SET}$ . Os objetos desta categoria são conjuntos. Isso significa que a teoria das categorias com $$$\ mathfrak {SET}$ não pode ser formulado na linguagem da teoria clássica dos objetos, uma vez que trabalha com uma coleção de objetos maior que muitos ( $$$\ mathfrak {SET}$ - uma categoria grande). Mas, para consertar isso, basta construir a teoria dos ultra-conjuntos. Deixe um ultra-conjunto consistir em elementos ou conjuntos. Depois, há um ultra-conjunto contendo todos os conjuntos. Agora, substituindo o conceito de conjunto no axioma da imaginação pelo conceito de ultra-conjunto, obtemos o resultado desejado. Na Teoria dos objetos obtida, já seremos capazes de determinar exclusivamente o conceito de um conjunto. Esse processo pode ser feito mais de uma vez e em ambas as direções, pois não existe um ultraconjunto contendo todos os ultraconjuntos. Isso leva ao surgimento de teorias alternativas de objetos. Mas este não é o fim da questão.
Uma área da teoria das categorias é a teoria de Topos. Ela descreve todos esses espaços em que existe o conceito de um elemento e "se encontra". Um caso particular é a teoria clássica dos conjuntos. Além disso, como é sabido, qualquer teoria dos conjuntos define exclusivamente alguma lógica. Portanto, o toposs também descreve todos os tipos de lógicas. Agora, se olharmos novamente para nossos axiomas da imaginação, notaremos nele um traço de nossos topos "nativos". O conceito de "deitado": " $$$\ forall i \ in I, j \ in J$ ", e a lógica binária está no conceito de igualdade. Afinal, ou $$$A = B$ ou $$$A \ neq B$ .
Teoricamente, podemos reformular a Teoria dos objetos para quaisquer outros tópicos, obtendo assim um mundo incomum para nós com suas próprias leis. Um dos fatos da Teoria de Topos é a independência da hipótese do continuum. Ou seja, esse problema existe em outros perigos. Aparentemente, quase tudo terá uma aparência semelhante lá. No entanto, é possível que diferenças significativas ocorram que nos levem a novas idéias.

Conclusão
Os resultados de nossa pesquisa são: formalização da estrutura interna de enunciados lógicos, axioma da imaginação, teoria dos objetos e quatro teoremas. Este último afirma a ausência de igualdades globais em matemática, a incompletude de grandes axiomatics e a derivação de alguns resultados previamente conhecidos e sua generalização de uma maneira simples (hipótese de Continuum e teorema de Godel). A descrição da estrutura das declarações lógicas também aplicou significado, o que torna mais conveniente entender o significado das sentenças, dividindo-as em sistemas de igualdades algébricas. Desenvolvimento adicional envolve a busca de uma lógica (topos) na qual grandes axiomatics serão concluídas. Isso proporcionará uma oportunidade para uma axiomatização unificada de toda a matemática (teoria de tudo).

Leitura adicional
Teoria das categorias para programadores.
Prova automática de teoremas. Apresentação
Teoria de Topos