Algumas palavras sobre teorias físicas como aproximações do mundo real

Prefácio

Decidi escrever um pequeno artigo examinando o nível atual de desenvolvimento de algumas teorias físicas (no meu nível de entendimento) no contexto de comparação com teorias chamadas de física clássica não-relativística.

Antes de tudo, quero salientar que me refiro à física clássica não-relativística como parte da física teórica, criada na segunda metade do século XVIII - a primeira metade do século XIX por Lagrange , Hamilton e posteriormente expandida por outros físicos durante o século XIX (não menciono os nomes desses físicos que poderia contribuir para trazer a teoria e seu aparato matemático para uma aparência moderna, incluindo os nativos do Império Russo).

Mecânica clássica não-relativística e teoria da gravidade

Os fundamentos da mecânica clássica foram estabelecidos por I. Newton, que formulou suas “3 leis” no trabalho “Princípios Matemáticos da Filosofia Natural” (ano de publicação - 1687), embora o princípio da relatividade formulado por G. Galilei em 1632 (eu também uso o ano de publicação) deva ser mencionado.

No caso mais simples, podemos dizer que a mecânica de Newton (como Lagrange e Hamilton) pode ser formulada como:

$$

$$\ frac {dp} {dt} = F,$$

onde p é o momento, no caso geral - o chamado "momento generalizado" e F é a força. Na ausência de um campo magnético (e não menciono a interação fraca ou forte aqui ainda mais), essa força pode ser conservadora. Uma força é chamada conservadora, cujo trabalho em qualquer trajetória não depende da forma da trajetória e da velocidade do movimento (isso, incluindo referência à dinâmica relativística, na verdade acontece que o conceito de "força conservadora" não existe no SR).

Para forças conservadoras, a lei mencionada acima pode ser reescrita como

$$

$$\ frac {dp} {dt} = - \ frac {\ U parcial (x)} {\ parcial x},$$

onde x é a coordenada generalizada ep é o momento generalizado correspondente.

Uma formulação similar das "leis de 2 Newton" é mais geral, porque é obtida escrevendo a equação de Lagrange ou a equação de Hamilton. As equações de Lagrange e Hamilton são derivadas do princípio da menor ação. Uma ação é uma integral que possui a dimensão J * s e é executada entre 2 configurações do sistema, ou seja, conjuntos de coordenadas e momento (x, p). No caso geral, é expresso de diferentes maneiras para diferentes abordagens da mecânica clássica.

Se falamos da teoria clássica da gravidade, ela é formulada na forma da lei da gravidade de Newton (através da força, mas também pode ser escrita através da energia potencial)

$$

$$F = G \ frac {mM} {r ^ 2},$$

onde a força age na direção do corpo de atração (isso difere a força gravitacional da força elétrica, o que cria uma repulsa pelas mesmas cargas).

A formulação da lei da gravidade através da energia potencial pode ser expressa na frase mais simples:

A soma da energia cinética T (v) e da energia potencial U ( r ) permanece constante o tempo todo que a partícula (sistema de partículas) se move ao longo de sua trajetória.
A partir desta lei, você pode obter a equação mais simples:

$$

$${\ frac {m} {2} \ left (\ frac {dr} {dt} \ right) ^ 2} + U (r) = E$$

Nesse caso, se formos capazes de reduzir o problema à coordenada unidimensional r (a distância entre os centros de massa desses 2 corpos), podemos escrever a solução do problema através da integral:

$$

$${\ left (\ frac {dr} {dt} \ right) ^ 2} = {\ frac {m} {2}} (E - U (r))$$

O próximo método de solução é criar a raiz e, em seguida, obtemos a equação diferencial mais simples com variáveis ​​separáveis. Existem 2 problemas aqui:

1. No caso geral de um potencial arbitrário U ( r ), podemos não ser capazes de obter essa integral.
2. Em vez da solução usual para o problema r = r ( t ), obtemos a solução t = t ( r ).

No final desta seção, quero acrescentar que, antes de A. Einstein criar sua forma da teoria da relatividade na segunda metade do século 19, J. Maxwell generalizou as leis para os campos elétrico e magnético (que eles começaram a formular 35 anos antes, mas separadamente). Antes disso, tais teorias foram escritas. fórmulas, como a fórmula da força de Lorentz.


A força de Lorentz (dividida pela carga elétrica da partícula) é interessante aqui, pois é essencialmente uma aproximação para o conceito de "força do campo elétrico E no quadro de referência de uma partícula que se move com a velocidade v " para velocidades v , velocidades muito mais baixas que a velocidade da luz.

Teoria Especial da Relatividade

A Teoria Especial da Relatividade (SRT) foi criada em 1892-1905 pelos trabalhos de H. Lorentz, A. Poincare e A. Einstein. Descreve os sistemas de referência inercial (ISO), estritamente falando, seus postulados são violados imediatamente assim que o sistema de referência deixa de ser inercial (a natureza do movimento do sistema deixa de ser uniforme e direta). Na teoria quântica de campos (no meu humilde entendimento), tal "lei" funciona que, depois que o CO está em um estado de movimento não inercial, o primeiro dos postulados mencionados abaixo deixa de ser cumprido, mesmo para o futuro movimento uniforme e retilíneo.
Provavelmente todo mundo se lembra dos postulados da SRT, dos quais as transformações de Lorentz são derivadas, mas eu as formularei da seguinte maneira:

1. A formulação de todas as leis da física não depende se o sistema está em repouso ou se move de maneira uniforme e retilínea .
2. A invariância da fase da onda eletromagnética em relação à transição para outra ISO, também conhecida como manutenção do quadrado do intervalo entre dois eventos.

Das fórmulas necessárias para uma análise mais aprofundada, mencionarei o seguinte:

$$

$$E ^ 2 = (pc) ^ 2 + (mc ^ 2) ^ 2 \: \: \: (1)$$

Descreve a relação entre energia de partículas, momento e massa de repouso .

Uma das conseqüências do SRT é que uma partícula com massa em repouso acima de 0 não pode atingir a velocidade da luz, embora a energia ainda possa crescer acima do limite "clássico"

$$

$$E = {\ frac {mc ^ 2} {2}}$$

Esta afirmação é consistente com o fato de que uma partícula elementar pode ter energia cinética, que é significativamente maior que esse valor.

E, é claro, devemos mencionar a métrica de Lorentz, também conhecida como métrica de Minkowski:

$$

$$g = diag (1, -1, -1, -1)$$

Através dessa métrica, pode-se introduzir o conceito de "comprimento de 4 vetores", incluindo 4 vetores:

$$

$$4-Coordinate \: (t, r), \: 4-speed \: ({\ Gamma}, v {\ Gamma}), \: 4-momentum \ :( E, p)$$

Nesse caso, apliquei um sistema de notação no qual o tempo é medido em metros e a velocidade da luz é a unidade . Ou seja, um registro "bom" de um vetor de 4 exige que ele consista em 4 valores da mesma dimensão.

Uma propriedade importante de qualquer vetor de 4 é que seu valor seja convertido da mesma maneira que os componentes correspondentes da coordenada de 4 ao mover para outro quadro de referência.

Na eletrodinâmica, existe uma quantidade como uma densidade de corrente quadridimensional. O vetor de 4 correntes pode ser escrito como:

$$

$$J ^ \ mu = (c \ rho, j)$$

$$

$$J_ \ mu = (c \ rho, -j)$$

Também deve ser mencionado que existem vetores covariantes (como o primeiro registro de 4 correntes) e contravariantes (como o segundo registro). A transição entre esses vetores é realizada de acordo com a fórmula:

$$

$$J_ \ mu = g _ {\ mu \ nu} J ^ \ nu,$$

O acordo de Einstein é aplicado aqui, o que significa que esse registro significa somar um par de índices idênticos localizados nas partes superior e inferior.

E desde o artigo sobre aproximações, certamente mencionarei como é possível mostrar a aproximação do SRT à mecânica newtoniana e como ela pode ser usada. A partir da fórmula (1), a energia pode ser expressa em termos de momento:

$$

$$E = ((mc ^ 2) ^ 2 + (pc) ^ 2) ^ {\ frac {1} {2}} = mc ^ 2 * \ left (1 + \ left (\ frac {p} {mc} \ direita) ^ 2 \ direita) ^ {\ frac {1} {2}} \ aprox mc ^ 2 \ left (1+ \ frac {1} {2} \ left (\ frac {p} {mc} \ right ) ^ 2 - \ frac {3} {8} \ left (\ frac {p} {mc} \ right) ^ 4 \ right)$$

A energia cinética pode ser expressa como a diferença entre a energia total E e a energia restante:

$$

$$T = E - mc ^ 2 \ aprox mc ^ 2 * \ left (\ frac {1} {2} \ left (\ frac {p} {mc} \ right) ^ 2 - \ frac {3} {8} \ left (\ frac {p} {mc} \ right) ^ 4 \ right) \: \: \: (2)$$

E na aproximação p << mc, obtemos uma função para registrar a energia cinética através do momento:

$$

$$T = \ frac {p ^ 2} {2m}$$

Sem levar em conta quaisquer campos (elétricos, magnéticos, gravitacionais etc.) que criam energia potencial, essa fórmula pode ser escrita como um caso especial da função Hamilton (veja a menção acima da mecânica de Lagrange e da mecânica de Hamilton):

$$

$$H = \ frac {p ^ 2} {2m},$$

em um caso mais geral

$$

$$H = \ frac {p ^ 2} {2m} + U (r)$$

A teoria da relatividade não pode prescindir do tensor de momento de energia (o tensor pode ser escrito na forma de uma matriz de dimensão 4 por 4). Vou escrever a definição deste tensor:
O tensor de momento de energia é um tensor simétrico de segunda ordem que descreve a densidade e fluxo de energia e momento dos campos de matéria.

Existem fórmulas para os componentes desse tensor de uma ampla variedade de substâncias e campos, por exemplo, um líquido em repouso ou um campo eletromagnético (ou seja, o SRT opera com um campo eletromagnético como um campo com densidade de energia, energia e fluxo de momento). Neste último caso, o tensor de momento de energia pode ser escrito através do tensor de campo eletromagnético F :

$$

$$T ^ {\ mu \ nu} = - \ frac {1} {\ mu _0} (F ^ {\ mu \ alpha} F _ {\ alpha} ^ {\ nu} + \ frac {1} {4} { \ eta} ^ {\ mu \ nu} F_ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta})$$

No final desta seção, mencionarei o conceito de invariância de Lorentz, mais precisamente, o caso de aplicação a quantidades físicas. Esta propriedade é definida da seguinte maneira:
A invariância de Lorentz refere-se à propriedade de uma quantidade a ser preservada durante as transformações de Lorentz (geralmente se refere a uma quantidade escalar, mas também há uma aplicação desse termo a 4 vetores ou tensores, referindo-se não à sua representação concreta, mas a "objetos geométricos em si").

Os valores que possuem a propriedade mencionada são chamados invariantes . Muitos invariantes do STR são mencionados aqui ; alguns deles são de interesse para a massa invariável .

Teoria Geral da Relatividade

Eu imediatamente aviso que não sou especialista nesta parte da física, por isso vou escrever sobre o que me lembro um pouco do curso de educação física e de várias fontes, como a Wikipedia.

Antes de tudo, o princípio da covariância geral deve ser mencionado. É uma modificação do primeiro dos postulados do SRT que mencionei e pode ser formulado da seguinte maneira:

As equações matemáticas que descrevem as leis da natureza não devem mudar sua aparência e devem ser justas nas transformações em quaisquer sistemas de coordenadas, isto é, serem covariantes em relação a quaisquer transformações de coordenadas.

Gostaria de começar a distinguir o GTR do SRT dizendo que o tensor métrico em GR é diferente da forma do tensor de Minkowski, mantendo ao menos uma de suas propriedades:

$$

$$g_ {ij} = g_ {ji} ^ *$$

onde o símbolo ^* eu usei aqui no sentido de conjugação complexa. É claro que, por definição, não é muito bom introduzir uma métrica com elementos complexos do tensor, mas a física nem sempre opera com quantidades reais; portanto, deixarei a expressão dessa forma. No caso geral, você pode tentar substituir qualquer tipo de métrica (ou seja, não válida) pelas equações em geral, mas pode obter o tensor de momento de energia complexo. Todos os componentes do tensor métrico podem depender das coordenadas, mas, ao mesmo tempo, essas dependências devem permanecer razoavelmente suaves, pois o tensor é uma solução para a equação diferencial.

O conceito de curvatura espaço-tempo é introduzido na relatividade geral por meio de conceitos como os símbolos de Christoffel e a derivada covariante (no sentido em que eu preciso, a derivada covariante é escrita aqui ).

O tensor de curvatura foi introduzido pela primeira vez pelo matemático alemão Bernhard Riemann em seu trabalho “Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen” ([1]), publicado pela primeira vez após a morte de Riemann. Usando os símbolos mencionados acima, esse tensor de quarta ordem pode ser escrito da seguinte maneira:

$$

$$R ^ \ iota _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ parcial_ \ mu \ Gamma ^ {\ iota} _ {\ nu \ sigma} - \ parcial_ \ nu \ Gamma ^ {\ iota} _ {\ mu \ sigma } \ Gamma ^ {\ muda lambda} \ Gamma ^ {\ lambda} _ {\ nu \ sigma} - \ Gamma ^ {\ iota} _ {\ nu \ lambda} \ Gamma ^ {\ lambda} _ {\ mu \ sigma}$$

E uma condição suficiente para que todos os componentes do tensor de curvatura sejam zero é que todos os símbolos de Christoffel sejam iguais a zero:

$$

$$\ Gamma ^ {\ lambda} _ {\ nu \ sigma} = 0$$

A condição trivial para que isso seja cumprido é a diagonalidade da matriz g e a condição para qualquer permutação dos índices

$$

$$\ frac {\ parcial g _ {\ nu \ sigma}} {\ parcial x_ \ lambda} = 0$$

Agora, passo a como obter espaço-tempo com tensor de curvatura zero, mais precisamente, o tensor de Ricci. O tensor de Ricci é a convolução do tensor de curvatura pelo primeiro e pelo último índice:

$$

$$R _ {\ sigma \ mu} = R ^ \ nu _ {\ sigma \ mu \ nu}$$

Olhando para o futuro, direi que, de acordo com a equação de Einstein, o tensor zero de Ricci só pode estar no espaço vazio (quando todos os componentes do tensor de momento de energia são iguais a zero). Nesse espaço, não obteremos gravidade de acordo com a teoria de Newton. Aqueles que desejam podem tentar encontrar uma métrica diferente da métrica de Minkowski, mas preservam o zero tensor de Ricci. É possível que você descubra ondas gravitacionais .

Após a convolução do tensor de Ricci sobre os 2 índices restantes, obtemos a curvatura escalar:

$$

$$R = R ^ \ nu _ {\ nu}$$

Agora, volto-me à equação de Einstein, também conhecida como equação de Einstein-Hilbert.


Ao derivar a equação do campo gravitacional, os cientistas aplicaram 2 princípios:

• princípio da covariância geral
• a suposição de que na aproximação de um potencial gravitacional fraco, as equações da mecânica devem ser reduzidas à mecânica do STR com gravidade newtoniana

Com isso em mente, verificou-se que a ação do campo gravitacional pode ser uma função de apenas 2 quantidades - a curvatura escalar R (na ausência de massas gravitacionais e outras energias, a curvatura deve ser zero) e o determinante do tensor métrico g (para a métrica de Minkowski g = -1).

Eu considero essas afirmações provadas pelos cientistas. Outros cientistas poderiam introduzir uma modificação na ação de Einstein, o exemplo mais famoso sendo a teoria de Brans-Dicke . Evidências suficientes dessas teorias em observações ainda não foram obtidas. Aqueles que desejam estudar a própria teoria podem ser lidos, por exemplo, aqui .
Dada a notação acima, a equação de Einstein pode ser escrita da seguinte maneira:

$$

$$R ^ {\ mu \ nu} - \ frac {1} {2} g ^ {\ mu \ nu} R + 8 \ pi G T ^ {\ mu \ nu} = 0,$$

onde G é a constante gravitacional. O breve significado da equação pode ser formulado da seguinte forma:

• A fonte da curvatura do espaço-tempo é o tensor do momento da energia de toda a matéria e energia neste espaço.

Nesse caso, não mencionei a energia escura (constante cosmológica), embora considere sua presença em escala global o próximo de observações astronômicas.

Mecânica quântica

A mecânica quântica foi criada por físicos para descrever sistemas microscópicos. Uma das primeiras realizações da teoria quântica, confirmada nos dados observados, foi o modelo de átomo semi - clássico de N. Bohr, criado em 1913. Usarei essa liberdade para escrever as equações da mecânica quântica - designarei a constante reduzida de Planck pela letra h (em vez do símbolo " h com um traço"). O postulado da teoria de Bohr, que tem uma relação mínima com a mecânica quântica real, é o postulado de quantificar o momento angular de um elétron de massa m em "órbitas" em um átomo:

$$

$$mvr = nh,$$

onde n é um número natural (na mecânica quântica real, o momento pode ser 0, mas esse número n , chamado "número quântico principal", é natural).

Um estágio adicional no desenvolvimento da mecânica quântica foi a formulação por E. Schrödinger da equação, posteriormente nomeada em homenagem a ele. Esta equação é escrita através de um operador especial chamado Hamiltoniano. O operador é obtido da função Hamilton substituindo o momento clássico pelo operador de momento:

$$

$$p_x = ih \ frac {\ parcial} {\ parcial x},$$

onde x é a coordenada generalizada correspondente ao momento generalizado clássico p _x .

No caso geral, a equação de Schrödinger é escrita para a função de onda (indicada pela letra grega "psi") como instável:

$$

$$ih \ frac {\ parcial \ Psi} {\ parcial t} = \ esquerda (- \ frac {h ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 + U (x, t) \ direita) \ Psi,$$

aqui um caso especial é aplicado quando, na função Hamilton de um sistema clássico, o momento generalizado tem a forma de um momento clássico comum. E para o caso de sistemas conservadores, a equação de Schrödinger pode ser escrita em forma estacionária, que pode ser considerada como uma equação para encontrar as funções e valores próprios do operador Hamilton:

$$

$$\left(- \frac{h^2}{2m} \nabla ^2 + U(x,t)\right) \Psi = {E \Psi},$$

onde E é o valor próprio correspondente do operador.

Para considerar a transição da mecânica quântica para a mecânica clássica, consideramos substituir a função de onda na equação de Schrödinger pela seguinte variável:

$$

$$\Psi = A exp \left(\frac{i}{h} S(x,t)\right)$$

A equação de Schrödinger pode ser resolvida expandindo a função S (tendo a dimensão de ação) em potências da constante de Planck:

$$

$$S = S_1 +h S_2+ h^2 S_3 + ...$$

Depois de substituir a função S na equação, assume a seguinte forma:

$$

$$\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2m} \left( \frac{\partial S }{\partial x}\right)^2 + U(x) - \frac{i h}{2m} \nabla ^2 S = 0,$$

onde a constante A foi reduzida.

Para obter a equação da mecânica clássica (conhecida como equação de Hamilton-Jacobi), devemos indicar que a magnitude da ação S em qualquer trajetória clássica tem um valor muito maior que a constante de Planck. Depois disso, o último membro da equação pode ser descartado.

Se uma solução mais precisa para a equação for necessária, a expansão da ação acima em potências de h será aplicada . A função S ₁ é encontrada como uma solução da equação de Hamilton-Jacobi, após a qual é substituída no sistema de equações obtido pela expansão da equação em potências de h ( ).

( — ) :
H ₀ H ₁ ( H — H ₀ ) E.

:

$$

$$H = H_1 + H_2 + ...,$$

onde ... significa que, em casos diferentes, precisamos levar em conta um número diferente de alterações, que, em regra, têm uma ordem diferente de pequenez. Essas correções ao Hamiltoniano são chamadas de perturbações, e as funções de onda do Hamiltoniano H ₁ devem ser exatamente conhecidas. A teoria correspondente para resolver a equação é chamada " teoria das perturbações ".
Se conhecermos as funções de onda do Hamiltoniano H ₁ , elas formam a base do espaço linear (EMNIP). Isso significa que, em geral, qualquer função de onda pode ser representada como uma combinação linear de funções de onda do Hamiltoniano imperturbado. Com isso em mente, pode-se mostrar que a primeira ordem da teoria da perturbação leva a uma mudança no nível de energia n pela quantidade

$$

$$dE_n = < \Psi_n |H_2| \Psi_n>$$

Essa expressão é chamada de elemento da matriz do operador H2 _em relação às funções de onda correspondentes aos estados com números n e n .

O primeiro (por tempo de descoberta) e (EMNIP), o maior desvio dos níveis de energia do átomo de hidrogênio da previsão da mecânica quântica não-relativística pode ser obtido substituindo o sistema operador de energia cinética na forma de uma perturbação na forma de uma perturbação na forma da fórmula (2):

$$

$$dE_n = < \Psi_n |mc^2 * \left( - \frac{3}{8} \left(\frac{p}{mc}\right)^4\right)| \Psi_n>$$

Você pode ver que esse valor é negativo. Existem 2 comentários. Primeiro, o operador de momento aqui corresponde a um momento relativístico, que pode exceder mc - o que significa que, no caso relativístico, o primeiro termo na expansão da energia cinética também cresce. Em segundo lugar, quando a fórmula 2 começa a cair com um impulso crescente, você tem certeza de que deveria ter levado em consideração:

• próximo termo de decomposição;
• a seguinte ordem da teoria das perturbações;
• muitas correções no modelo físico (tamanho e forma do núcleo, momento magnético do elétron e núcleo, massa reduzida do elétron).

De acordo com minhas estimativas muito condicionais, esse método de complicação de modelo pode funcionar para calcular a energia do nível de energia 1s em vários elementos químicos do hidrogênio ao lantânio (inclusive) e para níveis mais altos de energia - ainda mais (levando em consideração a correção do que é calculado, por exemplo, o segundo da teoria da ordem das perturbações, é usado o valor desse mesmo nível, ou seja, um erro já está em andamento). Para esses átomos, já é necessário levar em consideração a equação de Dirac e, para a exibição mais precisa (no nível atual de desenvolvimento) do mundo real, é necessário levar em consideração a teoria quântica do campo (eletromagnético).

Em vez de um posfácio

, . . 100 , 100 , , 3 . ( , ).

:
1. Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, vol. 13, 1867