Matemática reconciliando Newton com o mundo quântico

Como professor de matemática, ele deixou de ter medo e se apaixonou pela geometria algébrica.

Na sexta dúzia, é tarde demais para se tornar um verdadeiro especialista em geometria algébrica, mas finalmente consegui me apaixonar por ela. Como o próprio nome indica, esse ramo da matemática usa álgebra para estudar geometria. Por volta de 1637, René Descartes lançou as bases desse campo de conhecimento, pegando um avião, desenhando mentalmente uma grade e designando as coordenadas para x e y . Você pode escrever uma equação da forma x ² + y ² = 1 e obter uma curva que consiste em pontos cujas coordenadas satisfazem essa equação. Neste exemplo, obtemos um círculo.

Naquela época, era uma idéia revolucionária, porque nos permite converter sistematicamente questões de geometria em questões sobre equações que podem ser resolvidas com conhecimento suficiente de álgebra. Alguns matemáticos estiveram envolvidos nesse campo magnífico a vida toda. Até recentemente, eu não gostava disso, mas era capaz de conectá-lo ao meu interesse em física quântica.

Na infância, eu gostava mais de física do que de matemática. Meu tio Albert Baez, pai da famosa cantora folk Joan Baez, trabalhou para a UNESCO e ajudou os países em desenvolvimento com o treinamento em física. Meus pais moravam em Washington. Quando meu tio chegou à cidade, ele abriu sua pasta, tirou ímãs ou hologramas de lá e, com a ajuda deles, ele me explicou a física. Foi demais. Quando eu tinha oito anos, ele me apresentou um livro de física que ele escreveu para a faculdade. Embora eu não pudesse entendê-lo, percebi imediatamente que queria isso. Eu decidi me tornar um físico, e meus pais estavam preocupados porque eu sabia que a física precisava de matemática, e eu não era muito forte nisso. A divisão na coluna parecia insuportavelmente chata para mim, e eu me recusei a fazer a lição de casa em matemática com sua rotina de repetição sem fim. Mas depois, quando percebi que, brincando com as equações, eu poderia aprender mais sobre o Universo, isso me fascinou. Símbolos misteriosos eram como feitiços, e de certa forma eram. A ciência é mágica que realmente funciona.

Na faculdade, escolhi a matemática como assunto principal e fiquei interessado na questão do físico teórico Eugene Wigner sobre a "eficácia inexplicável" da matemática: por que nosso universo está tão sujeito às leis matemáticas? Ele formulou da seguinte maneira: "O milagre da adequação da linguagem da matemática para a formulação das leis da física é um presente incrível que não compreendemos e não merecemos". Como jovem otimista, senti que essas leis nos dariam dicas para resolver um enigma mais profundo: por que o Universo geralmente é governado por leis matemáticas. Eu já entendi que a matemática é volumosa demais para estudá-la na íntegra; portanto, na magistratura, decidimos focar no que era importante para mim. E um daqueles que não me pareceu importante foi a geometria algébrica.

Como um matemático pode não se apaixonar pela geometria algébrica? A razão é a seguinte: em sua forma clássica, este campo estuda apenas equações polinomiais - equações que descrevem não apenas curvas, mas também figuras de uma dimensão mais alta, chamadas “variedades”. Ou seja, x ² + y ² = 1 - isso é normal, como x ⁴³ - 2 xy ² = y ⁷ . Mas uma equação com senos, cossenos ou outras funções está fora dessa área, a menos que encontremos uma maneira de convertê-la em uma equação de polinômios. Para um estudante de graduação, isso parecia uma limitação terrível. Afinal, a física usa muitas funções que não são polinômios.


Existe um polinômio para isso: usando polinômios sozinhos, muitas curvas interessantes podem ser descritas. Por exemplo, vamos rolar um círculo dentro de outro círculo três vezes maior. Temos uma curva com três cantos afiados, que é chamado de "deltóide". Não é óbvio o que pode ser descrito por sua equação polinomial, mas é. O grande matemático Leonard Euler o inventou em 1745.

Por que a geometria algébrica se limita a polinômios? Os matemáticos estudam todos os tipos de funções, mas, embora sejam muito importantes, em algum nível, sua complexidade apenas distrai os mistérios fundamentais da conexão entre geometria e álgebra. Ao limitar a amplitude de suas pesquisas, a geometria algébrica pode explorar esses quebra-cabeças mais profundamente. Ela está envolvida nisso há séculos, e agora a habilidade com polinômios é realmente incrível: a geometria algébrica se tornou uma ferramenta poderosa na teoria dos números, criptografia e muitos outros campos. Mas para seus verdadeiros admiradores, o valor dessa área está em si.

Certa vez, conheci um estudante de Harvard e perguntei o que ele estava estudando. Em um tom pomposo, ele disse uma palavra: "Hartshorn". Ele tinha em mente o livro Algebraic Geometry de Robin Hartshorn, publicado em 1977. Supõe-se que ele se torne uma introdução ao assunto, mas é realmente muito complexo. Para citar uma descrição da Wikipedia: “O primeiro capítulo, intitulado“ Manifolds ”, fala sobre a geometria algébrica clássica de variedades sobre campos algebricamente fechados. Este capítulo usa muitos resultados clássicos da álgebra comutativa, incluindo o teorema de zeros de Hilbert, e são frequentemente encontradas referências aos livros de Atiyah-MacDonald, Matsumura e Zarissky-Samuel. ”

Se você não entendeu nada ... é isso que eu tinha em mente. Para entender até o primeiro capítulo de Hartshorn, você precisa de uma quantidade bastante grande de conhecimento prévio. Ler Hartshorn é como tentar alcançar os gênios de muitos séculos que se esforçam para correr o mais rápido possível.


Cubic famoso: Esta é a superfície nodal cúbica de Cayley. É famoso pelo fato de ser o coletor com o maior número de nós (peças afiadas) que pode ser descrito pela equação cúbica. A equação tem a forma ( xy + yz + zx ) (1 - x - y - z ) xyz = 0 e é chamada de "cúbico" porque, ao mesmo tempo, multiplicamos não mais que três variáveis.

Um desses gênios foi o diretor científico da Hartshorn - Alexander Grotendik. Entre 1960 e 1970, Grothendieck fez uma revolução revolucionária na geometria algébrica, tornando-a parte de uma jornada épica com o objetivo de provar as hipóteses de Weyl conectando variedades com soluções para problemas da teoria dos números. Grothendieck sugeriu que as hipóteses de Weil poderiam ser confirmadas pelo fortalecimento e aprofundamento da conexão entre geometria e álgebra. Ele tinha uma ideia clara de como isso deveria acontecer. Mas, para garantir a precisão dessa ideia, foi necessário um trabalho enorme. Para cumpri-lo, ele organizou um seminário. Grothendieck fazia apresentações quase todos os dias e aproveitava a ajuda dos melhores matemáticos de Paris.


Vamos dar um exemplo de matemática: Alexander Grotendik em seu seminário.

Trabalhando sem parar por uma década, eles escreveram milhares de páginas de nova matemática cheias de conceitos impressionantes. No final, usando essas idéias, Grothendieck provou com sucesso todas as hipóteses de Weyl, exceto a última, a mais complexa. Para surpresa de Grothendieck, foi decidido por seu aluno.

Durante seus anos mais produtivos, embora ele tenha dominado a escola francesa de geometria algébrica, muitos matemáticos consideraram as idéias de Grothendieck "muito abstratas". Isso soa um pouco estranho, dado o quão abstrata é toda a matemática. Mas é indubitável que é necessário tempo e esforço para perceber suas idéias. Como estudante de graduação, tentei me distanciar deles, porque estava lutando ativamente com o estudo da física: os gênios também trabalhavam por séculos a toda velocidade e, para chegar à fronteira, leva muito tempo para alcançá-lo. Mais tarde, porém, quando iniciei minha carreira, meus estudos me levaram ao trabalho de Grothendieck.

Se eu escolhesse um caminho diferente, poderia abordar seu trabalho através do estudo da teoria das cordas . Os físicos que estudam a teoria das cordas postulam que, além das dimensões visíveis do espaço e do tempo (três dimensões para o espaço e uma para o tempo), existem dimensões adicionais do espaço, tão distorcidas que não podem ser vistas. Em algumas de suas teorias, essas dimensões adicionais formam diversidade. Portanto, os pesquisadores da teoria das cordas podem facilmente encontrar questões complexas da geometria algébrica. E isso, por sua vez, os faz enfrentar o Grothendieck.


Estou completamente confuso: uma fatia de uma variedade chamada "quíntuplo triplo", que pode ser usada para descrever dimensões adicionais complicadas do espaço na teoria das cordas.

E de fato. o melhor de tudo é que a teoria das cordas é anunciada não por uma previsão bem-sucedida de resultados experimentais - ela absolutamente não pode se gabar disso - mas pela capacidade de resolver problemas dentro da estrutura da matemática pura, incluindo a geometria algébrica. Por exemplo, a teoria das cordas pode incrivelmente bem calcular o número de curvas de diferentes tipos que podem ser desenhadas em certas variedades. Portanto, hoje podemos ver teóricos das cordas se comunicando com geômetros algébricos e cada lado pode surpreender o outro com suas descobertas.

Mas a fonte do meu interesse pessoal no trabalho de Grothendieck era diferente. Sempre tive sérias dúvidas sobre a teoria das cordas, e contar curvas em variedades é a última coisa que gostaria de fazer: é como escalar - é muito emocionante de assistir, mas assustador demais para fazer você mesmo. Descobriu-se que as idéias de Grothendieck são tão generalizadas e fortes que se estendem além dos limites da geometria algébrica para muitas outras áreas. Em particular, fiquei impressionado com seu manuscrito não publicado de 600 páginas, Pursuing Stacks , escrito em 1983. Nele, ele afirma que a topologia (se amplamente explicada, é uma teoria de que formas um espaço pode assumir se não estivermos preocupados em dobrá-lo ou esticá-lo, mas apenas olhando para os tipos de orifícios) pode ser completamente reduzido à álgebra!

A princípio, essa idéia pode parecer semelhante à geometria algébrica, na qual usamos álgebra para descrever figuras geométricas (por exemplo, curvas ou variedades de maior dimensão). Mas acontece que a “topologia algébrica” tem um sabor completamente diferente, porque na topologia não somos obrigados a nos limitar às figuras descritas por equações polinomiais. Em vez de trabalhar com belas jóias, estamos lidando com coágulos flexíveis e macios; portanto, precisamos de uma álgebra diferente.


Se você precisar de uma explicação: os matemáticos às vezes brincam dizendo que os topologistas não vêem a diferença entre uma rosquinha e uma xícara de café.

A topologia algébrica é uma área bonita que existia muito antes de Grothendieck, mas ele foi um dos primeiros a propor seriamente um método de reduzir toda a topologia à álgebra. Graças ao meu trabalho em física, sua proposta me pareceu extremamente agradável. E eis o porquê: naquele momento, assumi a difícil tarefa de combinar as duas melhores teorias da física: a física quântica, que descreve todas as forças, exceto a gravidade, e a teoria geral da relatividade, que descreve a gravidade. Parece que até fazermos isso, nosso entendimento das leis fundamentais da física está fadado a ser incompleto. Mas perceber isso é muito difícil. A razão é que a física quântica é baseada em álgebra e a topologia é ativamente usada na teoria geral da relatividade. Mas isso nos diz a direção do ataque: se pudermos descobrir como reduzir a topologia à álgebra, isso poderá nos ajudar a formular a teoria da gravidade quântica.

Meus colegas de física, neste momento, gritavam e começavam a reclamar que estou simplificando tudo demais: na física quântica, não apenas a álgebra é usada, mas a teoria geral da relatividade não é apenas topologia. No entanto, foram precisamente as possíveis vantagens físicas de reduzir a topologia à álgebra que me deliciaram no trabalho de Grothendieck.

Portanto, desde os anos 90, venho tentando descobrir os poderosos conceitos abstratos inventados por Grothendieck e, até o momento, obtivemos sucesso parcial. Alguns matemáticos consideram esses conceitos uma parte complexa da geometria algébrica. Mas agora eles me parecem uma parte simples. Para mim, nem todos esses conceitos abstratos, mas seus detalhes chatos, se tornaram uma parte difícil. Primeiro, esse é todo o material dos textos que Hartshorn considera pré-requisitos obrigatórios: "os livros de Atiyah-MacDonald, Matsumura e Zarissky-Samuel", e esses são enormes volumes de álgebra. Mas há muito mais.

Portanto, embora eu tenha agora o necessário para ler Hartshorn, até recentemente, o estudo desses materiais era assustador demais para mim. Um estudante de física certa vez perguntou a um especialista famoso quanto de matemática um físico deveria saber. O especialista respondeu: "Mais do que ele sabe". De fato, o estudo da matemática nunca pode ser considerado completo, então me concentrei nos aspectos que pareciam mais importantes e / ou interessantes. Até o ano passado, a geometria algébrica nunca estava no topo desta lista.

O que mudou? Eu percebi que a geometria algébrica está conectada com a relação entre a física clássica e a quântica . A física clássica é a física newtoniana, na qual assumimos que podemos medir tudo com total precisão, mesmo na teoria. A física quântica é a física de Schrödinger e Heisenberg; é governada pelo princípio da incerteza: se medirmos alguns aspectos de um sistema físico com total precisão, outros devem permanecer incertos.

Por exemplo, qualquer objeto rotativo tem um "momento angular". Na mecânica clássica, nós a visualizamos com uma flecha direcionada ao longo do eixo de rotação, e o comprimento dessa flecha é proporcional à velocidade de rotação do objeto. E na mecânica clássica, assumimos que podemos medir com precisão essa flecha. Na mecânica quântica - uma descrição mais precisa da realidade - isso acaba errado. Por exemplo, se soubermos a que distância a seta aponta na direção x , não podemos descobrir. quão longe ela aponta na direção y . Essa incerteza é pequena demais para ser notada em uma bola de basquete, mas para um elétron é muito significativa: até os físicos começarem a levar isso em consideração, eles tinham apenas um entendimento aproximado dos elétrons.

Os físicos geralmente procuram "quantificar" os problemas da física clássica. Ou seja, eles começam com a descrição clássica de algum sistema físico e tentam derivar uma descrição quântica. Para realizar este trabalho, não há procedimento geral e completamente sistemático. E isso não deve surpreendê-lo: essas duas visões do mundo são muito diferentes. No entanto, existem receitas úteis para realizar a quantização. O mais sistemático deles é aplicável a um conjunto muito limitado de problemas físicos.

Por exemplo, na física clássica, às vezes podemos descrever um sistema como um ponto em múltiplas . Você não deve esperar que isso seja possível no caso geral, mas em muitos casos importantes isso acontece. Por exemplo, considere um objeto rotativo: se fixarmos o comprimento da flecha de seu momento angular, a flecha ainda poderá apontar em qualquer direção, ou seja, seu fim deve estar em uma esfera. Assim, podemos descrever um objeto rotativo com um ponto em uma esfera. E essa esfera é realmente uma variedade, a “ esfera de Riemann ”, nomeada após um dos maiores geômetros algébricos do século XIX, Bernhard Riemann.


Diversidade: a superfície Endrass de oitava ordem é um exemplo bonito e altamente simétrico de "coletor": uma figura descrita por equações polinomiais. A geometria algébrica começou como um estudo de tais figuras.

Quando a tarefa da física clássica é descrita pela diversidade, a mágica acontece. O processo de quantização está se tornando completamente sistemático e surpreendentemente simples. Existe até um tipo de processo reverso, que pode ser chamado de "classificação" - permite converter uma descrição quântica novamente em uma descrição clássica. As abordagens clássica e quântica da física estão se tornando intimamente relacionadas, podemos pegar idéias de qualquer abordagem e observar o que elas podem nos dizer sobre outras coisas. Por exemplo, cada ponto no coletor descreve não apenas o estado do sistema clássico - em nosso exemplo, esta é a direção específica do momento angular - mas também o estado do sistema quântico correspondente, embora este último seja controlado pelo princípio da incerteza de Heisenberg. Um estado quântico é a "melhor aproximação quântica" ao estado clássico. Além disso, nessa situação, muitos teoremas básicos da geometria algébrica podem ser considerados fatos sobre quantização. Desde que me dedico à quantização há muito tempo, isso me deixa extremamente feliz.

Richard Feynman disse uma vez que, para avançar na solução de um problema físico complexo, ele precisa analisá-lo de um ângulo especial:

"[...] preciso pensar que tenho uma maneira mais curta de resolver o problema atual. Ou seja, é como se eu tivesse um talento que os outros não usam, ou um visual especial que eles tolamente não consideraram uma excelente visão das coisas. , - , . , , , . : , , ".

Talvez seja exatamente isso que até recentemente me faltava em geometria algébrica. É claro que a geometria algébrica não é apenas um problema a ser resolvido, mas um complexo de conhecimento - mas é um conjunto tão grande e assustador que não ousei tocá-lo até encontrar esse caminho mais curto. Agora eu posso ler Hartshorn, traduzir alguns dos resultados em fatos sobre física, e tenho a chance de entender tudo isso. Este é um excelente sentimento.

Sobre o autor : John Baez é professor de matemática na Universidade da Califórnia em Riverside e pesquisador visitante no Singapore Centre for Quantum Technologies. Ele dirige um blog da Azimuth sobre matemática, ciências e questões ambientais. Siga -o no Twitter: @johncarlosbaez .