A matemática é lógica ou por que as teorias axiomáticas são paradoxais?

Hoje vamos falar sobre o básico. Os fundamentos teóricos estabelecem os limites do possível e mostram as maneiras de alcançar objetivos, e, portanto, a profundidade do entendimento em tais assuntos nunca será supérflua.

Não seremos capazes de cobrir todos os fundamentos; portanto, por enquanto, direcionaremos nosso feixe educacional para tarefas divertidas chamadas paradoxos. Ao abordar o tópico, aprofundaremos gradualmente as entranhas de uma abordagem chamada lógica e, em seguida, prestaremos atenção à conexão entre lógica e matemática, após a qual nossos leitores poderão entender facilmente não apenas as razões para a utilidade da lógica na derivação de teorias axiomáticas, mas porque as teorias axiomáticas são necessárias. e eles também entenderão como não é necessário abordar a construção de teorias consistentes.

Vamos começar com uma lista de quebra-cabeças divertidos. Esses problemas são chamados paradoxos, porque, não importa como respondamos à pergunta colocada no problema, o autor do paradoxo sempre provará facilmente que estamos errados. Ou seja, em outras palavras, os problemas não implicam uma solução, mas mostram de maneira divertida a não trivialidade do raciocínio lógico.

Paradox do barbeiro

Em uma certa aldeia, um barbeiro declarou que estava barbeando todos os que não se barbeavam. A questão é quem raspa o barbeiro?

Se você respondeu que o barbeador faz a barba, então os apoiadores do paradoxo explicam rapidamente que, de acordo com as condições da tarefa, o barbeador raspa aqueles que não se barbeiam, o que significa que ele não pode fazer a barba, caso contrário, pode acontecer que ele faça a barba e, assim, faça a barba. alguém que se depila.

Se você respondeu que alguém está se barbeando, os defensores dos paradoxos lembram novamente as condições da tarefa - eles indicam que, se uma pessoa não se barbeia, deve barbear o barbeiro, porque ele disse - ele barbeia todos que não barbeiam. eu mesmo. Portanto, se alguém o faz a barba, ele não se barbeia e, por condição, deve ser um barbeador.

Embora você não deva se aprofundar nas contradições lógicas dessa tarefa, ela apenas apresenta o mundo dos paradoxos e várias outras tarefas conflitantes se seguirão. Embora se você encontrar uma solução inesperada - não se apresse, verá como os defensores do paradoxo contornam qualquer solução inesperada.

Paradoxos de conjuntos

Semelhante ao paradoxo do barbeiro, há mais de cem anos, foi descoberto um paradoxo que afetava seriamente os fundamentos da matemática e com tanta seriedade que esse período foi chamado de crise dos fundamentos da matemática. A verdade é que não vale a pena se preocupar muito com a matemática, porque essa crise não foi a primeira e afetou fracamente as seções substantivas da matemática. No entanto, a crise demonstrou claramente a fraqueza de nosso conhecimento nessa área, que sempre foi considerada rigorosa e quase abrangente.

Primeiro, mostramos a base de um dos paradoxos em um exemplo simplificado. Imagine o conjunto (ou uma lista, uma matriz) de todos os números inteiros positivos e, em seguida, imagine o número correspondente ao número de números em nosso conjunto. Apresentado? Se sim, o que acontecerá com o conjunto depois de adicionar um número igual ao número de seus elementos com a unidade adicionada? Se já existem todos os elementos, lembre-se de que eles podem ser classificados em ordem crescente e, então, ficará óbvio que o maior elemento é igual ao número de elementos em nosso conjunto. Mas se adicionarmos um à quantidade, obteremos um elemento que não está no conjunto, então parece que você não pode imaginar essa lista, porque sempre que uma pergunta sobre um novo elemento é exibida. Mas, por outro lado, podemos formular a frase "o conjunto de todos os números inteiros positivos". Então, o que podemos realmente e não podemos?

Enquanto você estiver considerando a resposta à pergunta anterior, faremos a seguinte pergunta. E se você imaginar o conjunto de todos os conjuntos, mas tal que nenhum conjunto se incluiria como um elemento? Isso é possível? Por exemplo, o conjunto de números {1, 2, 3} não se inclui como um elemento. Então, talvez todos os outros conjuntos também possam ser imaginados?

Se você diz que isso é possível, os defensores dos paradoxos farão a pergunta - o conjunto apresentado se inclui?

Se você disser "sim", os defensores dos paradoxos responderão que, de acordo com a condição do problema, o conjunto não deve incluir conjuntos que se incluem, mas desde que você disse "sim", você incluiu o conjunto apresentado em si e, assim, proibiu sua inclusão, porque tornou-se um conjunto incluindo a si mesmo, o que contradiz a condição do problema.

Se você disser "não", os defensores dos paradoxos responderão que, de acordo com as condições do problema, o conjunto apresentado deve incluir todos os conjuntos que não se incluem e, portanto, o conjunto apresentado (que não é por si só) também deve estar em nosso conjunto.

Assim como, talvez você esteja agora, matemáticos de todo o mundo foram levemente afetados pela aparente falta de bom senso no paradoxo proposto. De fato, não apenas o senso comum fugiu para algum lugar, mas pouco antes disso, os matemáticos conseguiram propor o uso da teoria dos conjuntos (e estamos apenas falando sobre seu representante - o conjunto de todos os conjuntos que não se incluem) para construir toda a matemática em sua base. E, como resultado, ocorreu uma crise - no centro da matemática, como se viu, não havia senso comum. Como você gosta dessa matemática? Winnie the Pooh colocou bem esse assunto - é bom, mas por alguma razão é coxo (s).

Mas isso não é tudo. Além disso, para completar, apresentamos alguns paradoxos de um plano ligeiramente diferente.

O paradoxo da auto-aplicabilidade

Existem palavras cujo significado pode ser aplicado a essas palavras. Por exemplo, a palavra "três sílabas" consiste em três sílabas e seu significado também nos diz sobre três sílabas; portanto, essa palavra pode ser chamada de auto-aplicável. Da mesma forma, a palavra "russo" é escrita em russo e expressa o significado de pertencer ao russo, ou seja, é novamente auto-aplicável. Mas a palavra "lilás" geralmente não é escrita na cor lilás e não cresce em lilás, o que significa que não é aplicável. Mas ainda existe uma palavra (e acabamos de vê-la) "não aplicável". Essa palavra é aplicável a si mesmo?

Se a luta com o bom senso dentro de você terminou com sucesso e você disse que a palavra é auto-aplicável, os defensores dos paradoxos dirão - como pode ser auto-aplicável, se estiver escrito nela - não-auto-aplicável?

Se você disser que a palavra não é aplicável, os defensores dos paradoxos responderão que o significado da palavra coincide com a definição que você deu (não aplicável), o que significa que você mesmo mostrou o método de autoaplicabilidade, o que significa que você está errado de novo!

Mas a alegria dos defensores dos paradoxos será incompleta se não mostrarmos mais um problema.

O paradoxo do falso provérbio

A tarefa é muito simples - você deve responder "sim" ou "não" à pergunta - a próxima afirmação é falsa - "essa afirmação é falsa".

Se você responder "não", os defensores dos paradoxos dirão que a afirmação diz - é falso, então você diz que algo não está certo.

Se você responder "sim", os defensores dos paradoxos dirão que, uma vez que você está dizendo que a afirmação é falsa (respondendo "sim") e a própria afirmação diz que é falsa, onde está a mentira? Então, novamente, você respondeu incorretamente! Outros defensores de paradoxos novamente se alegram.

Um pouco de desmistificação

Não ficaremos desanimados ao assistir a diversão no campo dos defensores dos paradoxos, mas tentaremos revelar o mal que, por assim dizer, intensificou o nosso cérebro em todos os paradoxos citados. O que para nós - um monte de matemáticos ainda não tem certeza da consistência dos fundamentos de sua ciência!

Primeiro sobre o barbeiro. Vamos dar uma olhada na composição dos participantes no paradoxo. Vamos notar algumas entidades, estas são o barbeiro e algumas "todas" que o barbeiro faz a barba. Também veremos um certo relacionamento em que o barbeiro vem com aqueles a quem ele faz a barba. Vamos chamar essa relação de simples - “barba”. Na linguagem da matemática, poderíamos escrever - x shaves y, isto é, um certo X está em um relacionamento com um determinado jogador, e a relação é chamada - shaves. Mais adiante, no paradoxo, vemos o algoritmo de seleção como parte da entidade "todos". A essência do algoritmo é verificar a condição "não se barbeia". Também vemos a obrigação de um barbeador de barbear todos aqueles que fazem parte da essência mencionada "todos".

Agora, depois de escrever a parte "fornecida" para o nosso problema, passamos à parte "solução".

Suponha que uma determinada comissão selecione pessoas da aldeia, e todos os que responderem "eu não me barbear" sejam incluídos no conjunto de condições do problema (o conjunto é "todos"). Depois de concluir o trabalho da comissão, temos um grupo de pessoas a quem nosso barbeiro precisa ser processado de acordo. Além disso, pode-se facilmente imaginar que, no momento da pesquisa, o barbeiro disse que se barbeava e, portanto, não estava incluído no grupo de pessoas a serem processadas. Como resultado, temos uma imagem completamente feliz - todo mundo que não se barbeia será barbeado com calma pelo barbeiro. Mas eles não vão? No mínimo, não vemos obstáculos por parte do senso comum e, portanto, podemos facilmente imaginar todos os rostos raspados que são adequados para a condição e um barbeiro muito satisfeito. Mas os defensores de paradoxos nessa situação ficarão sem trabalho, porque acontece que não há paradoxo!

Mas, na verdade, existe um paradoxo. De fato, não é em vão que os matemáticos de todo o mundo estejam preocupados com a crise!

Para identificar a causa do paradoxo, é necessário incluir seus apoiadores na equação. Dirão que o barbeiro alegou que barbeia quem não se barbeia e, portanto, não tem o direito de se barbear, porque então barbeará quem se barbeia e, assim, viola a condição da tarefa. Então, em termos de lógica, podemos dizer que a afirmação "barbeiro faz a barba" é falsa de acordo com as condições do problema. Mas, como resultado, o barbeiro deve ser incluído no conjunto de indivíduos sujeitos a fazer a barba com um barbeiro. E é o barbeiro que deve barbear todos eles, porque, caso contrário, os defensores dos paradoxos aparecerão imediatamente e nos lembrarão das condições do problema.

Para maior clareza, reduzimos a descrição da situação. Vamos designar o barbeador com a letra B, a atitude "barbear" mantém-se inalterada, já é curta. Muitos "tudo" também não podem ser reduzidos. Em um breve registro, obtemos:

1) false (B faz a barba com B) significa que B pertence a "todos"
2) X faz a barba B e X = B

Esse registro significa que (a primeira linha) do fato de o barbeador não barbear o barbeador, segue-se que o barbeador pertence ao conjunto de "tudo". A segunda linha nos diz que um certo X deve barbear o barbeiro e esse X deve ser o próprio barbeiro.

Agora, realizamos as transformações mínimas com a segunda linha - substituímos o X por B, porque, por condição, são iguais e também denotamos a verdade da afirmação resultante. Temos:

verdadeiro (B raspa B)

Mas da linha (1) temos:

falsamente (B raspa B)

E essas duas condições (a pedido de apoiadores de paradoxos) devem ser cumpridas simultaneamente.

Então, o que há de mal aqui? Como vimos, antes da intervenção dos defensores dos paradoxos, a paz e a ordem reinavam na aldeia, todas as pessoas adequadas eram barbeadas e o barbeiro estava satisfeito. Mas, após a intervenção de defensores de paradoxos, recebemos ao mesmo tempo uma demanda pela verdade e falsidade da afirmação de que o barbeiro faz a barba. Falando de maneira diferente, recebemos demandas conflitantes. E, é claro, se os requisitos são contraditórios, é impossível resolver o problema com esses requisitos. Não importa como nós torcemos, não importa como inventemos maneiras novas e novas de evitar o paradoxo, por exemplo, declarando que o barbeiro não faz a barba e usa barba, ou que a mulher não precisa fazer a barba, os defensores dos paradoxos objetivamente - isso é o que está diante do problema não, então tudo deve estar exatamente como dissemos. Mas, como resultado da obediência ao rigor das declarações dos defensores dos paradoxos, temos uma tarefa insolúvel.

Depois de apontar a inconsistência das condições, podemos tentar destacar uma série de fatores que levaram a uma situação em que requisitos essencialmente estúpidos (e o que mais chamar de requisito de barbear e não barbear ao mesmo tempo?) Foram levados a sério por muitas, muitas pessoas.

Primeiro, vale ressaltar a natureza implícita de reivindicações conflitantes. Uma tarefa semelhante, mas com uma óbvia contradição nas condições, teria sido imediatamente rejeitada e ninguém teria conhecido paradoxos, mas foi a natureza oculta da inconsistência das restrições que levou a inúmeras tentativas de resolver a tarefa desesperada. Por exemplo, a tarefa de encontrar um número que seja simultaneamente maior que zero e menor que zero dificilmente levaria ao surgimento do conceito de paradoxo, porque nesse problema o significado contraditório dos requisitos é óbvio para todos. Mas, no problema do barbear, a não-obviedade da inconsistência das restrições levou a consequências significativas. Portanto, em qualquer paradoxo, em primeiro lugar, deve-se procurar contradições implícitas nas restrições impostas à solução do problema.

Em segundo lugar, além da não-obviedade, em tais problemas, existem realmente restrições contraditórias (que à primeira vista não são visíveis). Vale ressaltar aqui - são as restrições à solução, e não outra coisa. Ou seja, não a área de assunto à qual o problema pertence é de alguma forma contraditória, e não a linguagem na qual a tarefa é declarada, mas as contradições são colocadas fora desses conceitos e, precisamente, na forma de restrições a uma possível solução. Portanto, você deve sempre estudar cuidadosamente as restrições da solução, tentando identificar possíveis contradições nelas.

Terceiro, tarefas conflitantes incluem necessariamente formalismo que distorce a realidade. A aderência estrita às condições expressas, excluindo a busca de soluções fora da área controversa, é um sinal óbvio que deve ser cuidadosamente procurado em outras tarefas que, à primeira vista, não parecem paradoxais.

No resto, no problema do barbeiro, vemos peculiaridades peculiares a ele, que podem não se repetir em outros paradoxos. No entanto, será útil apontar para eles.

Em primeiro lugar, a tarefa do barbeiro é caracterizada pela exigência peremptória de "barbear a todos", sem permitir exceções à regra "quem não se barbeia". Se a tarefa não impusesse uma restrição tão estrita ao "barbear a todos", o barbeiro poderia ser facilmente excluído da lista perigosa para a tarefa. Se a tarefa não tivesse uma restrição exclusivamente para aqueles que não se barbearam, novamente o barbeiro nos custaria apenas um pequeno susto, em vez de criar uma crise dos fundamentos da matemática. Portanto, em outras tarefas, onde uma exigência estrita da categoria de "todos esses e apenas esses elementos" é colocada, vale a pena prestar atenção à busca de contradições internas em tal formulação.

Em segundo lugar, o barbeiro na tarefa é uma entidade especial que difere de todas as outras em sua participação em fazer a barba de todos que deveriam ser barbeados por condições. Sem um barbeiro, um sistema de entidades desmoronaria e não constituiria uma tarefa única e significativa. Mas, apesar de um status tão especial no sistema de entidades e limitações, os defensores dos paradoxos insistem em uma única atitude em relação a todos os participantes do processo, apesar das restrições adicionais impostas ao barbeiro. Mas foi precisamente o status especial do barbeador que levou à contradição nos requisitos, porque, além da atitude de “como todo mundo”, que exige que o barbeador seja barbeado, também é necessário que o barbeador não se barbeie e outros barbeadores são excluídos na condição da tarefa. Portanto, em outras tarefas, a função de formação do sistema dos elementos deve ser identificada e, se existir, verifique cuidadosamente a correlação dos requisitos "para todos" e os requisitos para esse elemento. Caso contrário, é fácil obter outra contradição nos requisitos.

Problemas em outros paradoxos

Por enquanto, vamos pular o paradoxo dos conjuntos, já que precisaremos mais tarde em conexão com os problemas da teoria dos conjuntos.

E agora vamos ver onde o mal está no paradoxo da auto-aplicabilidade. Juntamente com o recurso mencionado anteriormente na forma de contradição implícita nas condições aqui, também podemos adicionar liberdade de interpretação do significado de autoaplicabilidade. Ou seja, o significado do relacionamento de autoaplicabilidade pode ser interpretado amplamente e, portanto, uma contradição pode facilmente se infiltrar nessas amplas lacunas. Portanto, nesse caso, a gravidade das definições não seria supérflua. Mas também é impossível inflar severidade ao absoluto; caso contrário, como vimos no exemplo do barbeiro, as contradições serão o resultado da própria severidade.

Assim como no paradoxo do barbear, no paradoxo da autoaplicabilidade, temos um elemento especial do sistema que se destaca do resto, pois quando considerado, o algoritmo do sistema muda. Para todas as outras palavras, é suficiente entendermos como o domínio da definição do significado da palavra se correlaciona com a própria palavra (ou seja, calcular o número de sílabas ou prestar atenção ao idioma em que a palavra está escrita), mas, para a palavra "não aplicável", temos um domínio de definição não muito óbvio, possivelmente coincidindo com o próprio sistema no qual a auto-aplicabilidade é avaliada. Ou seja, para a palavra "não aplicável", a tarefa em si nos explica algum possível senso de aplicabilidade, mas essa explicação é implícita e não rigorosa.

Além disso, você pode descobrir restrições específicas que se contradizem precisamente para a palavra "não aplicável". , , , «» , . , . , , , «» . , , . «»?

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Como vemos, se a contém quaisquer elementos, não existe uma única variante de substituição de y pela qual é impossível indicar x e / ou P (x), para que o axioma seja sempre verdadeiro.

Que conclusão pode ser tirada desse resultado? Na opinião pessoal do autor deste texto, a conclusão pode ser a seguinte - ao traduzir uma boa idéia sobre a aplicação de um filtro na linguagem seca das fórmulas, um erro foi cometido na forma de uma perda de conexão com a realidade ou, em outras palavras, nem todas as propriedades do sistema original foram identificadas e formalizadas de maneira adequada . Bem, para aceitar as descobertas ou rejeitar, é claro, escolha o leitor, que agora está precisamente ciente de como entender essas questões de forma independente.