1. Introdução

Este artigo considera a possibilidade de representar um polinômio arbitrário de um número inteiro arbitrário n na forma de diferenças finitas. A abordagem neste artigo difere das existentes, pois todas as fórmulas são derivadas para um polinômio arbitrário com coeficientes arbitrários, assim como um intervalo arbitrário em vez de unidade é usado como o intervalo entre pontos. As fórmulas obtidas são universais e podem ser usadas sem modificações, tanto para o cálculo dos valores "futuros" quanto "passados" do polinômio. Isto é, por exemplo, para qualquer curva expressa por uma equação quadrática com coeficientes arbitrários, é possível calcular todos os valores com apenas 3 valores y previamente conhecidos, assumidos em um intervalo igual arbitrário φ. Como consequência, é introduzida a afirmação de que através de (n + 1) pontos igualmente espaçados, uma e apenas uma curva podem ser traçadas, expressas por um polinômio de grau n.

Isenção de responsabilidade

Não sou matemático, sou apenas um programador com 20 anos de experiência. Eu conduzi uma pesquisa independente, mas não encontrei as mesmas conclusões que tirei neste artigo. Eu ficaria grato por quaisquer comentários e "dicas" sobre os desenvolvimentos existentes, cujas conclusões são semelhantes (ou próximas) às minhas.

Informação geral

Primeiro, forneço uma fórmula geral para calcular a função S (t) dada por um polinômio de grau n e expressa em termos de (n + 1) valores anteriores obtidos em um intervalo igual φ:

$$

$$S (t) = \ sum_ {k = 1} ^ {n + 1} (- 1) ^ {k-1} C_ {n + 1} ^ kS (t-k \ varphi)$$

Ou seja, por exemplo, para um polinômio de grau n = 1 (linha normal), esta fórmula será semelhante a:

$$

$$S (t) = 2S (t- \ varphi) -S (t-2 \ varphi)$$

Para um polinômio de grau n = 2, esta fórmula terá a forma:

$$

$$S (t) = 3S (t- \ varphi) -3S (t-2 \ varphi) + S (t-3 \ varphi)$$

E assim por diante Uma prova matemática detalhada é fornecida neste documento . Também preparei o código de verificação, executado na forma de código JavaScript. Você pode obtê-lo neste link . No mesmo artigo, mostrarei algumas conclusões e opções práticas para o uso das equações obtidas.

Construção de polinômios de grau 2

Para uma compreensão geral, um "polinômio de grau 2" é expresso usando a seguinte fórmula:

$$

$$S (t) = Q_2 t ^ 2 + Q_1 t + Q_0$$

No entanto, como se viu, é possível calcular todos os valores desse polinômio (de fato, você só pode calcular os valores do polinômio nos nós com algum passo arbitrário φ) usando a equação "em diferenças finitas":

$$

$$S (t) = 3S (t- \ varphi) -3S (t-2 \ varphi) + S (t-3 \ varphi)$$

Ou seja, com base em quaisquer três valores da função S (t) assumidos em um intervalo arbitrário igual φ, todos os valores polinomiais podem ser obtidos. Mostramos isso em dados reais. Deixe o polinômio real ser expresso pela seguinte função:

$$

$$R (t) = 1t ^ 2 + 2t + 3$$

Agora calculamos os valores da função R (t) nos pontos t = 111, t = 115 e t = 119. Ou seja, a etapa φ neste caso é 4. Os valores obtidos serão R (111) = 12546, R (115) = 13458 e R (119) = 14402. Agora calculamos os dois seguintes valores do polinômio usando a equação com diferenças finitas:

$$

$$R (123) = 3R (119) -3R (115) + R (111) = 15378$$

$$

$$R (127) = 3R (123) -3R (119) + R (115) = 16386$$

É fácil calcular que os valores calculados usando a fórmula em diferenças finitas coincidem completamente com os valores calculados usando a fórmula "padrão" para um polinômio de segundo grau.

Além disso, a fórmula em diferenças finitas permite calcular os valores "para trás" sem alterar a própria fórmula. Por exemplo, para calcular R (107) e R (103), obtemos o seguinte:

$$

$$R (107) = 3R (111) -3R (115) + R (119) = 11666$$

$$

$$R (103) = 3R (107) -3R (111) + R (115) = 10818$$

Novamente, é fácil calcular que os valores obtidos usando as fórmulas de diferenças finitas coincidem completamente com os valores calculados usando a fórmula "padrão" para um polinômio de segundo grau.

Para todos os graus subsequentes, os resultados serão semelhantes. Eu testei polinômios até o 99º grau: os resultados obtidos usando as fórmulas “padrão” coincidem completamente com os resultados obtidos usando diferenças finitas.

Adição

Também gostaria de observar que, para construir um polinômio de grau n, não é necessário ter exatamente (n + 1) pontos igualmente espaçados - você pode arbitrariamente mais (denotá-lo como (m + 1)). Mas, neste caso, você precisará usar a fórmula para um polinômio de grau m. Isso pode ser ilustrado pelo seguinte exemplo:

$$

$$Q_2x ^ 2 + Q_1x + Q_0 = 0x ^ 4 + 0x ^ 3 + Q_2x ^ 2 + Q_1x + Q_0$$

Ou seja, para um polinômio de segundo grau, você pode usar fórmulas a partir de um polinômio de quarto e terceiro graus - o resultado ainda estará correto.

Conclusões

As fórmulas nas diferenças finitas permitem calcular (e expressar como uma fórmula) qualquer polinômio de uma função de qualquer grau inteiro. Para a equação das diferenças finitas, não importa quais coeficientes foram usados ​​para quais graus do polinômio. Para a equação das diferenças finitas, não importa em que intervalo os pontos iniciais foram tomados - o intervalo pode ser arbitrariamente pequeno ou arbitrariamente grande. Cálculos em diferenças finitas têm uma precisão potencialmente mais alta em comparação com cálculos usando fórmulas "padrão" (devido à falta de funções de potência). A função para o polinômio em diferenças finitas é expressa sem funções de potência e, como conseqüência, pode ter apenas um valor para determinadas variáveis. E, portanto, através de (n + 1) pontos igualmente espaçados, é possível desenhar uma e apenas uma curva expressa por um polinômio de grau n.