Análise wavelet. O básico

1. Introdução

A palavra em inglês wavelet (do francês "ondelette") se traduz literalmente como "onda curta (pequena)". Em várias traduções de artigos estrangeiros para o russo, também existem termos: "burst", "função burst", "função de ondas baixas", "wave" etc.

A transformada wavelet (VP) é amplamente usada para análise de sinais. Além disso, ele encontra ótima aplicação no campo da compactação de dados. O VP de um sinal unidimensional é sua representação na forma de uma série generalizada ou integral de Fourier sobre um sistema de funções básicas.

$$$\ psi _ {ab} (t) = \ frac {1} {\ sqrt {a}} \ psi \ left (\ frac {t-b} {a} \ right)$ (1)

construído a partir da wavelet mãe (fonte) $$$\ psi (t)$ possuir certas propriedades devido a operações de mudança de horário (b) e mudanças na escala temporal (a).

Multiplicador $$$1 / \ sqrt {a}$ garante a independência da norma de funções (1) do número de escala (a). Para os valores fornecidos dos parâmetros aeb, a função $$$\ psi_ {ab} (t)$ e há uma wavelet gerada pela mãe wavelet $$$\ psi (t)$ .

Um exemplo é a wavelet de chapéu mexicana nos domínios de tempo e frequência:







Conclusão:

1. Entre o conceito de harmônicas de Fourier e a escala da wavelet, existe realmente um relacionamento. A principal coisa nesse relacionamento é a proporção inversa da frequência e escala naturais. Além disso, reduzindo a escala, aumentamos a largura de banda do espectro de wavelets.

2. Alterando a escala (aumentar a leva a um estreitamento do espectro de Fourier de $$$\ psi_ {ab} (t)$ ), as wavelets são capazes de detectar a diferença de características em diferentes escalas (frequências) e, devido à mudança, analisar as propriedades do sinal em diferentes pontos em todo o intervalo estudado. Portanto, ao analisar sinais não estacionários, devido à localidade das wavelets, obtêm uma vantagem significativa sobre a transformada de Fourier, que fornece apenas informações globais sobre as frequências (escalas) do sinal analisado, uma vez que o sistema de funções utilizadas (expoente complexo ou senos e cossenos) é definido em intervalo infinito.

3. As listagens acima, escritas na linguagem Python de alto nível distribuída gratuitamente, permitem selecionar funções para wavelets que atendem aos requisitos especificados. No entanto, é adicionalmente necessário levar em consideração todos os principais sinais de wavelets.

Os principais sinais da wavelet

Limitação. O quadrado da norma da função deve ser finito:
$$$\ left \ | \ psi \ right \ | ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | \ psi (t) \ right | ^ {2} dt <\ infty$ . 2)

Localização O VP, em contraste com a transformação de Fourier, usa uma função inicial localizada no tempo e na frequência. Para fazer isso, basta que as seguintes condições sejam atendidas:

$$$\ left | \ psi (t) \ right | \ leq C (1+ \ left | t \ right |) ^ {- 1- \ varepsilon}$ e
$$$\ left | S _ {\ psi} (\ omega) \ right | \ leq C (1+ \ left | \ omega \ right |) ^ {- 1- \ varepsilon}$ às $$$\ varepsilon> 0$ (3)

Por exemplo, uma função delta $$$\ delta (t)$ e a função harmônica não satisfazem as condições necessárias para a localização simultânea nos domínios de tempo e frequência.

Média zero. O gráfico da função original deve oscilar (alternando) em torno de zero no eixo do tempo e ter área zero:

$$$\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (t) dt = 0$ . 4)

A partir dessa condição, fica clara a escolha do nome "wavelet" - uma pequena onda.

Área de função igual a zero $$$\ psi (t)$ , ou seja, momento zero, leva ao fato de a transformada de Fourier $$$S _ {\ psi} (\ omega)$ esta função é igual a zero para $$$\ omega = 0$ e tem a forma de um filtro passa-banda. Para vários valores (a), este será um conjunto de filtros passa-banda.

Muitas vezes, para aplicativos, é necessário que não apenas zero, mas todos os primeiros n momentos sejam iguais a zero:

$$$\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} t ^ {^ {n}} \ psi (t) dt = 0$ . (5)

As n-ésimas wavelets permitem analisar a estrutura mais fina (alta frequência) do sinal, suprimindo seus componentes que mudam lentamente.

Feito por você mesmo. Uma característica do VP é sua auto-similaridade. Todas as wavelets de uma família específica $$$\ psi_ {ab} (t)$ têm o mesmo número de oscilações que a mãe wavelet $$$\ psi (t)$ , desde que obtido por meio de transformações de escala (a) e deslocamento (b).

Transformada de wavelet contínua

Transformada de wavelet contínua (integral) (NVP ou WT - transformação de wavelet contínua). Construímos a base $$$\ psi_ {ab} (t)$ usando transformações contínuas de escala (a) e transferências (b) da wavelet mãe $$$\ psi (t)$ com valores arbitrários dos parâmetros base aeb na fórmula (1).

Então, por definição, o NVP direto (análise) e reverso (síntese) (ou seja, PNVP e ONVP) do sinal S (t) são escritos da seguinte forma:
$$$W_ {s} (a, b) = (S (t), \ psi _ {ab} (t)) = \ frac {1} {\ sqrt {a}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} S (t) \ psi \ left (\ frac {tb} {a} \ right) dt$ (6)

$$$S (t) = \ frac {1} {C _ {\ psi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} W_ {s} (a, b ) \ psi _ {ab} (t) \ frac {dadb} {a ^ {2}}$ (7)

onde $$$C _ {\ psi}$ - coeficiente de normalização,
$$$C _ {\ psi} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | \ psi (\ omega) \ right | ^ {2} \ left | \ omega \ right | ^ {- 1} d \ omega <\ infty$
onde: (•, •) é o produto escalar dos fatores correspondentes,
$$$\ mathbf {\ psi (\ omega)}$ - Transformada de Fourier de uma wavelet $$$\ psi (t)$ . Para wavelets ortonormais $$$C _ {\ psi} = 1$ .

Resulta de (6) que o espectro de wavelets $$$W_ {s} (b, a)$ (espectro wavelet, ou espectro de escala de tempo), diferentemente do espectro de Fourier (espectro único), é uma função de dois argumentos: o primeiro argumento a (escala de tempo) é semelhante ao período de oscilação, ou seja, é inverso à frequência e o segundo b –– é semelhante ao deslocamento do sinal ao longo do eixo do tempo.

Note-se que $$$W_ {s} (b, a_ {0})$ caracteriza a dependência do tempo (em $$$a = a_ {0})$ , enquanto as dependências $$$W_ {s} (a, b_ {0})$ é possível combinar a dependência de frequência (por $$$b = b_ {0}$ )

Se o sinal estudado S (t) é um único pulso de duração $$$\ tau_ {u}$ concentrado no bairro $$$t = t_ {0}$ , seu espectro de wavelets terá o maior valor nas proximidades do ponto com coordenadas $$$a = \ tau_ {u}, b = t_ {0}$ .

Métodos de apresentação $$$W_ {s} (b, a)$ pode ser diferente. Spectrum $$$W_ {s} (b, a)$ é uma superfície no espaço tridimensional. No entanto, muitas vezes em vez da imagem da superfície, sua projeção no plano ab é apresentada com níveis iso (ou figuras de várias cores), que permitem rastrear a mudança na intensidade das amplitudes do EP em diferentes escalas (a) e no tempo (b).

Além disso, eles representam linhas de extremos locais dessas superfícies, o chamado esqueleto (esqueleto), que revela a estrutura do sinal analisado.

Transformada de wavelet contínua ao determinar o espectro de wavelet com base na wavelet mãe - “chapéu mexicano”

Outras wavelets maternas usadas para NVP também são usadas:



O VP contínuo é amplamente utilizado no processamento de sinais. Em particular, a análise wavelet (VA) oferece oportunidades únicas para reconhecer características locais e "sutis" de sinais (funções), o que é importante em muitas áreas de engenharia de rádio, comunicações, rádio eletrônica, geofísica e outros ramos da ciência e tecnologia. Vamos considerar essa possibilidade com alguns exemplos simples.

Oscilação harmônica.

O sinal tem a forma: $$$s (t) = Asin (\ omega t- \ phi)$

onde: $$$A = 1 V, \ omega = \ frac {2 \ pi} {T} = \ frac {2 \ pi} {50}, \ psi = 0$

Função de formação de wavelet: $$$MHAT (t): = \ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}} exp (-t ^ {2} / 2)$ ,

Wavelets: $$$\ psi (a, b, t) = \ frac {1} {\ sqrt {a}} MHAT \ left (\ frac {t-b} {a} \ right)$ ,

Espectro de wavelets: N: = 256, a: = 1..30, b: = 0..50, $$$W (a, b): = \ int _ {- N} ^ {N} \ psi (a, b, t) s (t) dt, N_ {ab}: = W (a, b)$ .





Gráfico de sinal.



Gráfico de um espectro de dois parâmetros $$$N_ {ab} = W (ab)$ exibido como uma superfície no espaço tridimensional.



Note-se que a seção W (a, b) para a escala de tempo $$$a = a_ {0}$ caracteriza a oscilação inicial s (t). Além disso, sua amplitude é máxima em $$$a_ {0}: 1 / \ omega$ . Dependências $$$W (a_ {0}, b_ {0})$ pode corresponder ao espectro atual de oscilações em $$$b = b_ {0}$ .

A soma de duas oscilações harmônicas.

O sinal tem a forma: $$$s (t): = A_ {1} sin (\ omega _ {1} t) + A_ {2} sin (\ omega _ {2} t)$

onde: $$$A_ {1} = A_ {2} = 1V, \ omega_ {1} = \ frac {2 \ pi} {T_ {1}}, \ omega_ {2} = \ frac {2 \ pi} {T_ {2 }}, T_ {1} = 50s, T_ {2} = 10s$ .

$$$MHAT (t): = \ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}} \ left [e ^ {- t ^ {2/2}} \ right]$ , N: = 256,
$$$\ psi (a, b, t): = MHAT \ left (\ frac {tb} {a} \ right), W (a, b): = \ int _ {- N} ^ {N} \ psi (a , b, t) f (t) dt$ , a: = 1 ... 30, b: = 0 ... 50, $$$N_ {ab}: = W (a, b)$ .





Gráfico de sinal.



O gráfico do espectro de dois parâmetros W (a, b) é exibido como uma superfície no espaço tridimensional.



O plano dos parâmetros a, b no qual os resultados do EP são destacados em áreas coloridas.



O gráfico mostra as “seções transversais” do espectro da wavelet para dois valores do parâmetro a. Com um parâmetro relativamente pequeno da escala de tempo a, por $$$a_ {1} = 2 (a_ {1}: 1 / \ omega_ {2})$ , a seção transversal do espectro carrega informações apenas sobre o componente de alta frequência do sinal, filtrando (suprimindo) seu componente de baixa frequência.

À medida que aumenta, a extensão da função base $$$\ psi (\ frac {t-b} {a})$ , portanto, estreitando seu espectro e estreitando a largura de banda da "janela" de frequência. Como resultado, quando $$$a_ {2} = 15 (a_ {2}: 1 / \ omega_ {1})$ a seção transversal do espectro é apenas um componente de baixa frequência do sinal.

Com um aumento adicional em a, a faixa da janela ainda diminui e o nível desse componente de baixa frequência diminui para um componente constante (para um> 25), que é igual a zero para o sinal analisado.



O gráfico mostra as seções do espectro wavelet W (a, b) caracterizando
espectro de sinal atual em $$$b_ {1} = 13$ e $$$b_ {2} = 17$ . O espectro do sinal considerado, em contraste com o harmônico, contém um componente de alta frequência na região de pequenos valores da escala de tempo a (a: 1..3), que corresponde ao segundo componente do sinal $$$A_ {2} sin (\ omega_ {2} t)$ .

Momento retangular.

$$$U: = 5, t_ {0}: = 20, \ tau: = 60$
$$$s (t): = \ begin {vmatrix} U, se t_ {0} \ leq t \ leq t_ {0} + \ tau \\ 0, caso contrário \ end {vmatrix}$
$$$MHAT (t): = \ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}} exp \ left (\ frac {-t ^ {2}} {2} \ right)$
$$$N: = 128, \ psi (a, b, t): = MHAT \ left (\ frac {tb} {a} \ right), W (a, b): = \ int _ {- N} ^ {N } \ psi (a, b, t) f (t) dt$
$$$a: = 1..50, b: = 0..100, N_ {ba}: = W (a, b)$











Os espectros da wavelet são mostrados em gráficos, o espectro da wavelet transmite bem as características sutis do sinal - seus saltos nas amostras b = 20 eb = 80 (para a: 1..10).

Conclusões

Esta publicação é de natureza educacional, fornece informações básicas sobre a análise de wavelets em geral, e exemplos simples na linguagem de programação de alto nível distribuída gratuitamente Python mostram os recursos da análise contínua de wavelet com extensa visualização gráfica em 3D e 2D.

PS O autor não diminui as vantagens incondicionais da análise de wavelets usando o Matlab, tanto em termos de número de wavelets quanto de velocidade. Mas em Python ainda há espaço para desenvolvimento adicional: scipy.signal e PyWavelets.