Meu amigo engenheiro recentemente me surpreendeu. Ele disse que não tinha certeza se o número 1 é primo ou não. Fiquei surpreso porque nenhum dos matemáticos considera a unidade simples.
A confusão começa com a definição dada a um número primo:
é um número inteiro positivo que é divisível por apenas 1 e por si só . O número 1 é dividido por 1 e é dividido por ele mesmo. Mas dividir-
se e
1 não é dois fatores diferentes aqui. Então é um número primo ou não? Quando escrevo a definição de um número primo, tento eliminar essa ambiguidade: estou falando diretamente sobre a necessidade de exatamente duas condições diferentes, dividindo por 1 e por si só, ou que um número primo deve ser um número inteiro maior que 1. Mas por que tomar tais medidas que excluir 1?
Minha educação matemática me ensinou que uma boa razão para não ser considerado simples é o teorema básico da aritmética. Ela afirma que cada número pode ser escrito como o produto dos números primos de uma só maneira. Se eu fosse simples, perderíamos essa singularidade. Poderíamos escrever 2 como 1 × 2 ou 1 × 1 × 2 ou 1
594827 × 2. A exceção 1 dos números primos elimina isso.
Inicialmente, planejei explicar o teorema básico da aritmética em um artigo e finalizá-lo. Mas, de fato, não é tão difícil mudar a afirmação do teorema para resolver o problema com unidade. No final, a pergunta de meu amigo despertou minha curiosidade: como os matemáticos se estabeleceram nessa definição de primo? Uma rápida pesquisa na Wikipedia mostrou que a unidade era anteriormente considerada um número primo, mas agora não é. Mas
um artigo de Chris Caldwell e Yong Sung revela uma história um pouco mais complexa. Isso pode ser entendido desde o início de seu artigo: “Primeiro, se um número (especialmente uma unidade) é simples é uma questão de determinação, ou seja, uma questão de escolha, contexto e tradição, e não uma questão de prova. No entanto, as definições não ocorrem aleatoriamente; a escolha está relacionada ao nosso uso da matemática e, especialmente neste caso, à nossa notação. ”
Caldwell e Xiong começam com matemáticos gregos clássicos. Eles não contaram 1 como um número, como 2, 3, 4 e assim por diante. 1 foi considerado um número, e o número consistiu em vários dígitos. Por esse motivo, 1 não poderia ser simples - nem sequer é um número.
Al-Kindi , um matemático árabe do século 9, escreveu que este não é um número e, portanto, não é par ou ímpar. Por muitos séculos, prevaleceu a noção de que uma unidade é a base para compilar todos os números, mas não o número em si.
Em 1585, o matemático flamengo Simon Stevin apontou que no sistema decimal não há diferença entre 1 e qualquer outro número. Em todos os aspectos, 1 comporta-se como qualquer outra quantidade. Embora não imediatamente, mas essa observação levou os matemáticos a aceitar 1 como qualquer outro número.
Até o final do século XIX, alguns matemáticos importantes consideravam um simples e outros não. Até onde eu sei, isso não foi motivo de discordância; para as questões matemáticas mais populares, a diferença não foi crítica. Caldwell e Xiong citam G. H. Hardy como o último grande matemático que considera 1 simples (ele o indicou explicitamente como um primo nas seis primeiras edições do Curso de Matemática Pura, publicado entre 1908 e 1933, e em 1938 mudou a definição e chamado 2 o menos simples).
O artigo menciona, mas não entende em detalhes, as mudanças na matemática, pelas quais 1 foi excluído da lista de números primos. Em particular, uma das mudanças importantes foi o desenvolvimento de conjuntos fora do conjunto de números inteiros que se comportam como números inteiros.
No exemplo mais simples, podemos perguntar se o número -2 é primo. A questão pode parecer inútil, mas nos leva a expressar em palavras o papel único da unidade entre números inteiros. O aspecto mais incomum de 1 é que seu inverso também é um número inteiro (o inverso de
x é o número que, quando multiplicado por
x, resulta em 1. Para 2, o inverso de 1/2 é incluído no conjunto de números racionais ou reais, mas não é inteiro: 1/2 × 2 = 1). O número 1 acabou sendo o seu próprio número inverso. Nenhum outro número inteiro positivo possui um valor inverso no conjunto de números inteiros. Um número com um valor inverso é chamado de
elemento invertível . O número -1 também é um elemento reversível no conjunto de números inteiros: novamente, é um elemento invertível para si mesmo. Não consideramos elementos reversíveis simples ou compostos, porque você pode multiplicá-los por outros elementos reversíveis sem muita alteração. Então podemos assumir que o número -2 não é tão diferente de 2; em termos de multiplicação. Se 2 é primo, então -2 deve ser o mesmo.
Evitei cuidadosamente no parágrafo anterior a definição de uma
simples, devido ao infeliz fato de que tal definição não é adequada para esses conjuntos grandes! Ou seja, é um pouco ilógico e eu escolheria outro. Para números inteiros positivos, todo primo
p tem duas propriedades:
Não pode ser escrito como o produto de dois números inteiros, nenhum dos quais é um elemento reversível.
Se o produto
m × n é divisível por
p , então
m ou
n deve ser divisível por
p (por exemplo,
m = 10,
n = 6 e
p = 3.)
A primeira dessas propriedades é como poderíamos caracterizar primos, mas, infelizmente, um
elemento irredutível é obtido aqui. A segunda propriedade é um
elemento simples . No caso dos números naturais, é claro, os mesmos números satisfazem as duas propriedades. Mas isso não se aplica a todos os conjuntos interessantes de números.
Como exemplo, considere um conjunto de números da forma
a + b√ - 5 ou
a + ib√5 , onde
a e
b são inteiros e
i é a raiz quadrada de −1. Se você multiplicar os números 1 + √ - 5 e 1-√ - 5, obtém 6. É claro que você também obtém 6, se multiplicar 2 e 3, que também estão neste conjunto de números com
b = 0 . Cada um dos números 2, 3, 1 + √ - 5 e 1 - √ - 5 não pode ser representado como o produto de números que não são elementos reversíveis (se você não acredita na minha palavra, não é muito difícil verificar). Mas o produto (1 + √ - 5) (1 - √ - 5) é divisível por 2 e 2 não é divisível por 1 + √ - 5 ou 1 - √ - 5 (novamente, você pode verificar se não acredita em mim ) Assim, 2 é um elemento irredutível, mas não simples. Nesse conjunto de números, 6 podem ser decompostos em elementos irredutíveis de duas maneiras diferentes.
O número acima, que os matemáticos podem chamar Z [√-5], contém dois elementos reversíveis: 1 e -1. Mas existem conjuntos semelhantes de números com um número infinito de elementos reversíveis. Como esses conjuntos se tornaram objetos de estudo, faz sentido distinguir claramente entre as definições de elementos reversíveis, irredutíveis e simples. Em particular, se houver conjuntos de números com um número infinito de elementos reversíveis, fica cada vez mais difícil entender o que queremos dizer com fatoração exclusiva de números, a menos que você especifique que elementos invertíveis não podem ser simples. Embora eu não seja historiador da matemática e não lide com a teoria dos números e gostaria de ler mais sobre como esse processo aconteceu, acho que esse é um dos motivos pelos quais Caldwell e Xiong consideram o motivo da exclusão de 1 dos números primos.
Como muitas vezes acontece, minha resposta inicial pura e concisa à pergunta de por que tudo está organizado como está, acabou se tornando apenas parte do problema. Agradeço ao meu amigo por fazer uma pergunta e por me ajudar a aprender mais sobre a complexa história da simplicidade.