Uma explicação acessível da hipótese de Riemann

Dedicado à memória de John Forbes Nash Jr.

Você se lembra o que são "números primos"? Esses números não são divisíveis por ninguém além de si mesmos e 1. E agora vou fazer uma pergunta que já tem 3000 anos:

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, p . O que é p igual a? 31. Qual será o próximo p ? 37. E o próximo p ? 41. E o próximo? 43. Sim, mas ... como sabemos qual será o próximo significado?

Crie um julgamento ou fórmula que (pelo menos em pecado) preveja qual será o próximo número primo (em qualquer série de números), e seu nome será associado para sempre a uma das maiores realizações do cérebro humano. Você estará em pé de igualdade com Newton, Einstein e Gödel. Entenda o comportamento dos números primos e, depois, descanse por toda a vida.

1. Introdução

As propriedades dos números primos foram estudadas por muitas pessoas excelentes na história da matemática. Desde a primeira prova da infinidade dos primos euclidianos até a fórmula do produto Euler, que relaciona os primos à função zeta. Da formulação do teorema primordial de Gauss e Legendre à sua prova inventada por Hadamard e Valle-Poussin. No entanto, Bernhard Riemann ainda é considerado o matemático que fez a maior descoberta na teoria dos números primos. Em seu artigo, publicado em 1859, composto por apenas oito páginas, novas descobertas anteriormente desconhecidas foram feitas sobre a distribuição de primos. Este artigo ainda é considerado um dos mais importantes na teoria dos números.

Após a publicação, o artigo de Riemann permaneceu o principal trabalho na teoria dos primos e de fato se tornou a principal razão para provar o teorema da distribuição de primos em 1896. Desde então, várias novas evidências foram encontradas, incluindo evidências elementares de Selberg e Erdös. No entanto, a hipótese de Riemann sobre as raízes da função zeta permanece um mistério.

Quantos números primos existem?

Vamos começar com um simples. Todos sabemos que um número é primo ou composto . Todos os números compostos são simples e podem ser decompostos em seus produtos (axb). Nesse sentido, os números primos são os "blocos de construção" ou "elementos fundamentais" dos números. Em 300 aC, Euclides provou que seu número é infinito. Sua prova elegante é a seguinte:

Teorema Euclidiano

Suponha que o conjunto de primos não seja infinito. Crie uma lista de todos os números primos. Então seja P o produto de todos os primos da lista (multiplicamos todos os primos da lista). Adicione ao resultado 1: Q = P +1. Como todos os números, esse número natural Q deve ser simples ou composto:

• Se Q é primo, encontramos um primo que não está na nossa "lista de todos os primos".
• Se Q não é simples, é composto, ou seja, composto por números primos, um dos quais, p, será um divisor de Q (porque todos os números compostos são produtos de números primos). Cada p primo do qual P é composto é obviamente um divisor de P. Se p é um divisor para P e Q, então deve ser um divisor para a diferença, ou seja, unidade. Nenhum número primo é um divisor de 1; portanto, o número p não pode estar na lista - outra contradição ao fato de que a lista contém todos os números primos. Sempre haverá outro primo p que não está na lista e é um divisor de Q. Portanto, existem infinitos primos.

Por que os primos são tão difíceis de entender?

O fato de qualquer recém-chegado entender o problema acima fala eloqüentemente sobre sua complexidade. Mesmo as propriedades aritméticas dos primos, apesar do estudo ativo, são pouco compreendidas por nós. A comunidade científica está tão confiante em nossa incapacidade de entender o comportamento dos números primos que fatorar grandes números (definindo dois números primos, cujo produto é um número) permanece um dos fundamentos fundamentais da teoria da criptografia. Você pode ver o seguinte:

Entendemos bem os números compostos. Estes são todos os números que não são primos. Eles consistem em números primos, mas podemos escrever facilmente uma fórmula que prevê e / ou gera números compostos. Esse "filtro numérico composto" é chamado de peneira . O exemplo mais famoso é a chamada "peneira de Eratóstenes", inventada por volta de 200 aC. Seu trabalho é simplesmente marcar valores que são múltiplos de cada número primo até um determinado limite. Suponha que pegemos o número primo 2 e marquemos 4,6,8,10 e assim por diante. Em seguida, pegue 3 e marque 6,9,12,15 e assim por diante. Como resultado, teremos apenas números primos. Embora seja muito fácil de entender, a peneira de Eratóstenes, como você pode imaginar, não é particularmente eficaz.

Uma das funções que simplifica muito o nosso trabalho será 6n ± 1. Essa função simples retorna todos os números primos, com exceção de 2 e 3, e remove todos os números múltiplos de 3 e todos os números pares. Substitua n = 1,2,3,4,5,6,7 e obtenha os seguintes resultados: 5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43. Os únicos números não primos gerados pela função são 25 e 35, que podem ser fatorados 5 x 5 e 5 x 7. Os próximos números não primos, como você pode imaginar, serão 49 = 7 x 7, 55 = 5 x 11, e assim por diante. Tudo é fácil, certo?

Para exibir isso visualmente, usei o que chamo de “escada dos números compostos” - uma maneira conveniente de mostrar como os números compostos gerados pela função são organizados e combinados. Nas três primeiras colunas da imagem abaixo, vemos como os números primos 5, 7 e 11 sobem lindamente cada escada de números compostos, até um valor de 91. O caos que ocorre na quarta coluna, mostrando como a peneira removeu tudo, exceto números primos, é excelente uma ilustração de por que os números primos são tão difíceis de entender.

---

Recursos fundamentais

Como tudo isso está conectado ao conceito que você pode ouvir - com a "hipótese de Riemann"? Bem, para simplificar, para entender mais sobre os primos, os matemáticos do século 19 pararam de tentar prever a localização dos primos com absoluta precisão e, em vez disso, começaram a considerar o fenômeno dos primos como um todo. Riemann tornou-se o mestre dessa abordagem analítica e, dentro da estrutura dessa abordagem, sua famosa hipótese foi criada. No entanto, antes de começar a explicá-lo, é necessário conhecer alguns recursos fundamentais.

Linhas harmônicas

As séries harmônicas são infinitas séries de números que foram explorados pela primeira vez no século 14 por Nikolai Orem. Seu nome está associado ao conceito de harmônicos musicais - conotações superiores à frequência do tom fundamental. As linhas são as seguintes:


Os primeiros membros de uma série harmônica infinita

Orem provou que essa soma é divergente (ou seja, sem limite finito; não se aproxima e não tende a um número específico, mas é direcionada ao infinito).

Funções Zeta

As séries harmônicas são um caso especial de um tipo mais geral de função chamada função zeta ζ (s). A função zeta real é definida para dois números reais re :


Função Zeta

Se substituirmos n = 1, obtemos uma série harmônica que diverge. No entanto, para todos os valores de n> 1, a série converge , ou seja, a soma com o aumento de r tende a um determinado número e não vai ao infinito.

Fórmula de Euler

A primeira conexão entre funções zeta e números primos foi estabelecida por Euler quando ele mostrou que para dois números naturais (inteiros e maiores que zero) n ep , onde p é primo, o seguinte é verdadeiro:


O produto de Euler para dois números n ep, onde ambos são maiores que zero ep é primo.

Essa expressão apareceu pela primeira vez em um artigo de 1737, intitulado Variae observações em torno da série infinitas . Da expressão segue-se que a soma da função zeta é igual ao produto das quantidades inversas à unidade, menos a inversa dos primos de graus s . Essa conexão impressionante lançou as bases para a moderna teoria dos primos, na qual a função zeta eta (s) começou a ser usada como uma maneira de estudar os primos.

A prova da fórmula é uma das minhas provas favoritas, por isso vou apresentá-la, embora para nossos propósitos isso não seja necessário (mas é igualmente maravilhoso!):

Prova da fórmula do produto Euler

Euler começa com uma função zeta comum


Função Zeta

Primeiro, ele multiplica ambas as partes pelo segundo termo:


Função Zeta multiplicada por 1/2 ^s

Então ele subtrai a expressão resultante da função zeta:


Função zeta menos 1/2 ^s vezes a função zeta

Ele repete esse processo, multiplicando ainda mais os dois lados pelo terceiro mandato


Função zeta menos 1/2 ^s vezes a função zeta vezes 1/3 ^s

E subtrai a expressão resultante da função zeta


Função zeta menos 1/2 ^s vezes a função zeta menos 1/3 ^s vezes a função zeta

Se você repetir esse processo indefinidamente, no final, teremos a expressão:


1 menos todos os valores inversos aos números primos vezes a função zeta

Se esse processo lhe é familiar, é porque Euler criou essencialmente uma peneira muito semelhante à de Eratóstenes. Ele filtra números não primos da função zeta.

Em seguida, dividimos a expressão em todos os seus termos, que são inversos aos números primos, e obtemos:


Relação funcional da função zeta com números primos para os primeiros números primos 2,3,5,7 e 11

Para simplificar a expressão, mostramos o seguinte:


A fórmula para o trabalho de Euler é uma igualdade que mostra a relação entre os primos e a função zeta

Não era bonito? Substituímos s = 1 e encontramos uma série harmônica infinita, provando repetidamente a infinidade de primos.

Função Mobius

Agosto Ferdinand Mobius reescreveu o trabalho de Euler, criando uma nova quantia. Além das quantidades inversas aos números primos, a função Mobius também contém todos os números naturais, que são o produto de um número par e ímpar de fatores primos. Os números excluídos de sua série são divisíveis por algum número primo ao quadrado. Sua soma, denotada como μ (n) , tem a seguinte forma:


A função Mobius é uma versão modificada do produto Euler fornecida para todos os números naturais

A soma contém os valores inversos:

1. Para cada número primo;
2. Para cada número natural, que é o produto de um número ímpar de primos diferentes, obtido com um sinal de menos; e
3. Para cada número natural, que é o produto de um número par de primos diferentes, obtido com um sinal de mais;

Os primeiros membros são mostrados abaixo:


Séries / soma das unidades divididas pela função zeta ζ (s)

A soma não contém os valores recíprocos que são divididos pelo quadrado de um dos números primos, por exemplo, 4.8.9 e assim por diante.

A função Mobius μ (n) pode assumir apenas três valores possíveis: o prefixo (1 ou -1) ou a remoção (0) de membros da soma:


Três valores possíveis da função Mobius μ (n)

Embora essa quantia complicada tenha sido formalmente determinada pela primeira vez por Mobius, vale ressaltar que 30 anos antes dele, Gauss escreveu sobre essa quantia em notas marginais:

“A soma de todas as raízes primitivas (primo p) ou ≡ 0 (quando p-1 é divisível por quadrado) ou ≡ ± 1 (mod p) (quando p-1 é o produto de números primos desiguais); se o número for par, o sinal será positivo, mas se o número for ímpar, o sinal será negativo. ”

Função de distribuição de números primos

Vamos voltar aos números primos. Para entender como os números primos são distribuídos ao subir a linha numérica, sem saber exatamente onde eles estão, será útil calcular quantos deles ocorrem até um determinado número.

É precisamente essa tarefa que a função de distribuição dos primos π (x) proposta por Gauss cumpre: ela nos fornece o número de primos menor ou igual a um determinado número real. Como não sabemos as fórmulas para encontrar números primos, a fórmula para a distribuição de números primos é conhecida apenas como um gráfico, ou uma função de etapa que aumenta em 1 quando x é um número primo. O gráfico abaixo mostra a função até x = 200.


A função de distribuição dos números primos π (x) até x = 200.

Teorema da distribuição de números primos

O teorema da distribuição de números primos, formulado por Gauss (e independentemente Legendre), afirma:


Teorema da distribuição de números primos

Na linguagem comum, isso pode ser afirmado da seguinte forma: "Quando x se move para o infinito, a função de distribuição dos números primos π (x) se aproxima da função x / ln (x)". Em outras palavras, se você subir o suficiente e o gráfico de distribuição principal subir para um número muito alto x , dividindo x pelo logaritmo natural x, a proporção dessas duas funções tenderá a 1. Abaixo do gráfico, duas funções para x = 1000 são:


A função de distribuição dos primos π (x) e uma estimativa aproximada pelo teorema da distribuição dos primos até x = 1000

Do ponto de vista das probabilidades, o teorema da distribuição de números primos diz que, se escolhermos aleatoriamente um número inteiro positivo x, então a probabilidade P (x) de que esse número seja primo é aproximadamente igual a 1 / ln (x). Isso significa que a diferença média entre números primos consecutivos entre os primeiros x números inteiros é aproximadamente ln (x).

Logaritmo Integral

A função Li (x) é definida para todos os números reais positivos, com exceção de x = 1. É definida pela integral de 2 a x :


A representação integral da função de logaritmo integral

Tendo plotado essa função ao lado da função de distribuição primária e da fórmula do teorema da distribuição primária, vemos que Li (x) é realmente uma aproximação melhor que x / ln (x):


O logaritmo integral de Li (x) , a função de distribuição dos números primos π (x) e x / ln (x) no mesmo gráfico

Para descobrir quão melhor é essa aproximação, podemos construir uma tabela com grandes valores de x, o número de primos até x e o erro entre as funções antigas (teorema da distribuição de primos) e as novas funções (logaritmo integral):


O número de primos até uma determinada potência de dezenas e os erros correspondentes para duas aproximações

Como você pode ver facilmente, o logaritmo integral é muito melhor em aproximação do que a função do teorema na distribuição de números primos, “cometeu um erro” com apenas 314.890 números primos para x = 10 à potência de 14. No entanto, ambas as funções convergem para funções de distribuição dos números primos π (x). Li (x) converge muito mais rapidamente, mas quando x tende ao infinito, a razão entre a função de distribuição dos primos e as funções Li (x) e x / ln (x) se aproxima de 1. Mostramos isso claramente:


A convergência das proporções de dois valores aproximados e a função de distribuição dos primos para 1 em x = 10.000

Função gama

A função gama Γ (z) tornou-se um importante objeto de estudo desde que Daniel Bernoulli e Christian Goldbach investigaram o problema de generalizar a função fatorial para argumentos não inteiros na década de 1720. Esta é uma generalização da função fatorial n ! (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x .... N ) diminuiu 1:


A função gama definida para z

Sua agenda é muito curiosa:


Gráfico da função gama Γ (z) no intervalo -6 ≤ z ≤ 6

A função gama Γ (z) é definida para todos os valores complexos de z maiores que zero. Como você provavelmente sabe, números complexos são uma classe de números com a parte imaginária , escrita como Re ( z ) + Im ( z ), onde Re ( z ) é a parte real (número real comum) e Im ( z ) é a parte imaginária denotado pela letra i . O número complexo geralmente é escrito na forma z = σ + it , onde sigma σ é a parte real e é imaginário. Números complexos são úteis, pois permitem que matemáticos e engenheiros trabalhem com problemas inacessíveis a números reais comuns. De forma gráfica, números complexos estendem a linha numérica unidimensional tradicional para um plano numérico bidimensional, chamado de plano complexo , no qual a parte real do número complexo é disposta ao longo do eixo x e o imaginário - ao longo do eixo y

Para que a função gama Γ (z) possa ser usada, geralmente é reescrita no formato


Relação funcional da função gama Γ (z)

Usando essa igualdade, podemos obter valores para z abaixo de zero. No entanto, ele não fornece valores para números inteiros negativos, porque eles não são definidos (formalmente, são degenerações ou pólos simples).

Zeta e gama

A relação entre a função zeta e a função gama é dada pela seguinte integral:

---

Função Riemann Zeta

Tendo nos familiarizado com todos os recursos fundamentais necessários, podemos finalmente começar a estabelecer a conexão entre os números primos e a hipótese de Riemann.

O matemático alemão Bernhard Riemann nasceu em 1826 em Brezlenets. Como aluno de Gauss, Riemann publicou um artigo no campo da análise matemática e geometria. Acredita-se que ele deu a maior contribuição no campo da geometria diferencial, onde lançou as bases para a linguagem da geometria, mais tarde usada por Einstein na teoria geral da relatividade.


Seu único trabalho em teoria dos números, um artigo de 1859 de Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse ("Em números primos com menos de uma quantidade determinada") é considerado o artigo mais importante nessa área da matemática. Em apenas quatro páginas, ele destacou:

• Definição da função zeta de Riemann ζ (s) - função zeta com valores complexos;
• A continuação analítica da função zeta para todos os números complexos s ≠ 1;
• A definição da função xi de Riemann ξ - toda a função associada à função zeta de Riemann através da função gama;
• Duas provas da equação funcional da função zie de Riemann;
• Determinação da função de distribuição dos primos de Riemann J (x) usando a função de distribuição dos primos e a função Mobius;
• A fórmula explícita para o número de números primos é menor que um determinado número usando a função de distribuição dos números primos de Riemann definidos usando os zeros não triviais da função zie de Riemann.

Este é um exemplo incrível de engenhosidade e pensamento criativo, coisas que provavelmente nunca mais foram vistas. Trabalho absolutamente incrível.

Função Riemann Zeta

Vimos a estreita relação entre números primos e a função zeta mostrada por Euler em seu trabalho. No entanto, com exceção dessa conexão, pouco se sabia sobre o relacionamento deles, e a invenção de números complexos era necessária para mostrá-los.

Riemann foi o primeiro a considerar a função zeta ζ (s) para a variável complexa s , onde s = σ + i t.


A função zeta de Riemann para n, onde s = σ +, é um número complexo em que σ e t são números reais.

Essa série infinita, chamada função zeta Riemann ζ (s), é analítica (ou seja, possui valores definíveis) para todos os números complexos com a parte real maior que 1 (Re (s)> 1). Nesta área de definição, converge absolutamente .

Para analisar uma função em áreas fora da região usual de convergência (quando a parte real da variável complexa s é maior que 1), a função precisa ser redefinida. Riemann conseguiu lidar com isso executando uma continuação analítica para uma função absolutamente convergente no semiplano Re (s)> 0.


- , {x} = x — |x|

- Re(s) > 0, s = 1, / . , ( ), s = 1. , L- .

. - ζ(s) plano complexo usando a função gama Γ (z). Para não complicar o post, não vou fazer esses cálculos, mas recomendo que você os veja para se certificar da incrível intuição e habilidade de Riemann.

Seu método usa a representação integral da gama Γ (z) para variáveis ​​complexas e a função teta de Jacobi ϑ (x), que pode ser reescrita de tal maneira que uma função zeta apareça. Ao decidir sobre zeta, obtemos:


A equação zeta funcional para todo o plano complexo, com exceção de duas degenerescências em s = 0 e s = 1

Nesta forma, notamos que o termo ψ (s) diminui mais rapidamente do que qualquer potência de x e, portanto, a integral converge para todos os valores de s.

Indo além, Riemann notou que o primeiro termo entre parênteses (-1 / s (1 - s)) é invariável (não muda) se s for substituído por 1 - s. Devido a isso, Riemann expandiu ainda mais a utilidade da equação, eliminando os dois pólos em s = 0 es = 1 e definindo as funções da função xi de Riemann sem degeneração:


Função Xi-Riemann (s)

Zeros da função Riemann Zeta

As raízes / zeros da função zeta, quando ζ (s) = 0, podem ser divididos em dois tipos, chamados zeros “triviais” e “não triviais” da função zie de Riemann.

A existência de zeros com a parte real Re (s) <0

Zeros triviais são zeros fáceis de encontrar e explicar. Eles são mais perceptíveis na seguinte forma funcional da função zeta:


Uma variação da equação zeta funcional de Riemann, que

se torna igual a zero quando o seno se torna zero. Isso ocorre com valores kπ. Ou seja, com um número inteiro negativo igual s = -2n, a função zeta se torna zero. No entanto, para números inteiros positivos s = 2n, os zeros são cancelados pelos polos da função gama Γ (z). É mais fácil ver em sua forma funcional original; se substituirmos s = 2n, a primeira parte do termo se tornará indefinida.


Portanto, a função zeta de Riemann possui zeros em todo número inteiro negativo s = -2n. Estes são zeros triviais e podem ser vistos no gráfico da função:


O gráfico da função zeta de Riemann ζ (s) com zeros em s = -2, -4, -6 e assim por diante

A existência de zeros com a parte real Re (s)> 1

A partir da formulação de Euler zeta, podemos ver instantaneamente que os zeta ζ (s) não podem ser zero em uma região com a parte real s maior que 1, porque um produto infinito convergente pode ser zero apenas se um de seus fatores for igual a zero. A prova da infinidade dos números primos nega isso.


Fórmula de Euler

A existência de zeros com a parte real 0 ≤ Re (s) ≤ 1

Encontramos zeros triviais do zeta no semi-plano negativo quando Re (s) <0, e mostramos que na região Re (s)> 1 não pode haver zeros.

No entanto, a área entre essas duas áreas, chamada de faixa crítica, tem sido o principal foco de atenção na teoria dos números analíticos nos últimos cem anos.


O gráfico das partes reais e imaginárias da função zie de Riemann ζ (s) no intervalo -5 <Re <2, 0 <Im <60

No gráfico acima, eu mostrei as partes reais das zeta (s) em vermelho e as partes imaginárias em azul. Vemos os dois primeiros zeros triviais no canto inferior esquerdo, onde a parte real de s é -2 e -4. Entre 0 e 1, identifiquei uma banda crítica e observei a interseção das partes reais e imaginárias dos zeta ζ (s). Esses são zeros não triviais da função zie de Riemann. Subindo para valores mais altos, veremos mais zeros e duas funções aparentemente aleatórias que se tornam mais densas com o aumento dos valores das partes imaginárias s .


Gráfico das partes reais e imaginárias da função zie de Riemann ζ (s) no intervalo -5 <Re <2, 0 <Im <120

Função Xi Riemann

Definimos as funções x de Riemann xi (a forma de uma equação funcional na qual toda a degenerescência é eliminada, ou seja, é definida para todos os valores de s) da seguinte forma:


Função Riemann Xi sem degeneração,

satisfaz a relação


Relação simétrica entre valores positivos e negativos da função x de Riemann.

Isso significa que a função é simétrica em relação à linha vertical Re ( s ) = 1/2, ou seja, ξ (1) = ξ (0), ξ (2) = ξ (-1 ) e assim por diante. Esta relação funcional (simetria s e 1- s ) em combinação com o produto de Euler mostram que a função xi Riemann pode ter apenas zeros no intervalo de 0 Re ≤ ( s ) ≤ 1. Em outras palavras, os zeros xi função Riemann correspondem não trivial zeros zeta Funções de Riemann. Em certo sentido, a linha crítica R (s) = 1/2 para a função zie de Riemann ζ ( s ) corresponde à linha real (Im ( s ) = 0) para a função xi de Riemann ξ ( s)

Observando os dois gráficos mostrados acima, você pode notar imediatamente que, para todos os zeros não triviais da função zie de Riemann s ( s ) (zeros da função xi de Riemann), a parte real de Re (s) é 1/2. Em seu artigo, Riemann mencionou brevemente essa propriedade e, como resultado, sua nota superficial acabou sendo um dos seus maiores legados.

Hipótese de Riemann

Para zeros não triviais da função zeta Riemann ζ (s), a parte real tem a forma Re (s) = 1/2.

Esta é uma formulação moderna de uma suposição não comprovada feita por Riemann em seu famoso artigo. Ele afirma que todos os pontos em que zeta é zero (ζ (s) = 0) na faixa crítica 0 ≤ Re (s) ≤ 1 têm a parte real Re (s) = 1/2. Se isso for verdade, todos os zeros não triviais do zeta terão a forma ζ (1/2 + i t).

Uma formulação equivalente (declarada pelo próprio Riemann) é que todas as raízes das funções xi da função Riemann são reais.

No gráfico abaixo, a linha Re (s) = 1/2 é o eixo horizontal. A parte real Re ( s ) dos zeta ζ ( s ) é mostrada pela linha vermelha e a parte imaginária Im ( s ) é mostrada pela linha azul. Zeros não triviais são as interseções entre os gráficos vermelho e azul na linha horizontal.


Os primeiros zeros não triviais da função Riemann zeta na linha Re (s) = 1/2.

Se a hipótese de Riemann for verdadeira, todos os zeros não triviais da função ocorrerão nessa linha como a interseção de dois gráficos.

Razões para acreditar em uma hipótese

Existem muitas razões para acreditar na verdade da hipótese de Riemann em relação aos zeros da função zeta. Provavelmente, a razão mais convincente para os matemáticos são as conseqüências que ela terá para a distribuição de números primos. Um teste numérico de uma hipótese com valores muito altos sugere que ela é verdadeira. De fato, a confirmação numérica da hipótese é tão forte que em outras áreas, por exemplo, na física ou na química, poderia ser considerada experimentalmente comprovada. No entanto, na história da matemática, havia várias hipóteses testadas com valores muito altos e, no entanto, estavam incorretas. Derbyshire (2004) conta a história do número Skews - um número extremamente grande que indicava um limite superior e, portanto, provou a falsidade de uma das hipóteses de Gauss de que o logaritmo integral de Li ( x) é sempre maior que a função de distribuição de números primos. Ele foi refutado por Littlewood sem um exemplo e, em seguida, foi mostrado que estava incorreto acima de um número muito grande de Skewes - dez com dez, dez ou 34. Isso provou que, apesar da falácia comprovada da idéia de Gauss, um exemplo da localização exata de tal desvio da hipótese está muito além do poder computacional moderno. Isso pode acontecer no caso da hipótese de Riemann, que foi testada "apenas" para dezenas de doze zeros não triviais.

Função Riemann zeta e números primos

Com base na verdade da hipótese de Riemann, o próprio Riemann começou a estudar suas conseqüências. Em seu artigo, ele escreveu: "... há uma alta probabilidade de que todas as raízes sejam materiais. Naturalmente, é necessária uma prova rigorosa; depois de várias tentativas malsucedidas, adiarei sua pesquisa, porque parece ser opcional para o próximo objetivo de minha pesquisa" . Seu próximo objetivo era relacionar zeros da função zeta com números primos.

Lembre-se da função de distribuição dos números primos π ( x ), que conta o número de números primos até um número real x . Riemann usou π ( x ) para determinar a função própria da distribuição dos primos, a saber, a função de distribuição dos primos de Riemann J ( x ). É definido da seguinte forma:


Função de distribuição de primos de Riemann

A primeira coisa que você pode notar nessa função é que ela não é infinita. Por algum termo, a função de distribuição será zero, porque não há primos para x <2. Ou seja, tomando J (100) como exemplo, obtemos que a função consiste em sete membros, porque o oitavo termo conterá a oitava raiz 100, que é aproximadamente igual a 1.788279 .., isto é, esse membro da distribuição de números primos se torna igual a zero e a soma se torna igual a J (100) = 28.5333 ...

Como a função de distribuição de números primos, a função Riemann J ( x ) é uma função escalonada, cujo valor aumenta da seguinte forma:


Valores possíveis da função de distribuição dos primos de Riemann

Para relacionar o valor de J ( x ) ao número de primos até x , incluindo-o, retornaremos à função de distribuição dos primos π ( x ) usando um processo chamado inversão Mobius (não o mostrarei aqui). A expressão resultante será semelhante a


A função de distribuição dos primos π (x) e sua relação com a função de distribuição dos primos de Riemann e a função Mobius μ (n)

Lembre-se de que os possíveis valores da função Mobius são da forma


Três valores possíveis da função Mobius μ (n)

Isso significa que agora podemos escrever qualquer função de distribuição de números primos como uma função de distribuição de números primos de Riemann, o que nos dará


A função de distribuição de números primos, escrita como a função de distribuição de Riemann inicia os sete primeiros valores de n

Essa nova expressão ainda é a soma final, porque J ( x ) é igual a zero para x <2, pois não há números primos menores que 2.

Se agora considerarmos novamente o exemplo com J (100), obtemos a soma


Função de distribuição de números primos para x = 100

Qual, como sabemos, é o número de números primos abaixo de 100.

Transformando a fórmula do produto Euler

Em seguida, Riemann usou o produto de Euler como ponto de partida e obteve um método para a estimativa analítica de números primos em uma linguagem não calculável da análise analítica. Começando com Euler:


O produto de Euler para os cinco primeiros números primos

Primeiro, pegando o logaritmo dos dois lados e reescrevendo os denominadores entre parênteses, ele derivou a relação


Logaritmo de uma fórmula reescrita para um produto Euler

Então, usando a conhecida série Taylor-Maclaurin, ele expandiu cada termo logarítmico no lado direito, criando uma soma infinita de somas infinitas, uma para cada termo em uma série de números primos.


Expansão de Taylor nos quatro primeiros termos do logaritmo do produto Euler

Considere um desses membros, por exemplo:


O segundo termo é a decomposição de Maclaurin por 1/3 ^ s

Esse membro, como qualquer outro membro do cálculo, representa parte da área sob a função J ( x ). Sob a forma de uma integral:


A forma integral do segundo termo da expansão de Maclaurin por 1/3 ^ s

Em outras palavras, usando o produto Euler, Riemann mostrou que é possível representar uma função discreta de distribuição por etapas dos primos na forma de uma soma contínua de integrais. No gráfico abaixo, o exemplo do termo que adotamos é mostrado como parte da área abaixo do gráfico da função de distribuição dos números primos de Riemann.


A função de distribuição de Riemann inicia J (x) até x = 50, na qual duas integrais são distinguidas

Assim, cada expressão em uma soma finita, formando uma série de quantidades inversas aos números primos do produto de Euler, pode ser expressa como integrais, formando uma soma infinita de integrais correspondentes à área sob a função de distribuição dos números primos de Riemann. Para um número primo 3, esse produto infinito de integrais tem a forma:


Um produto infinito das integrais que compõem a área sob a função de distribuição de números primos representados por um número inteiro 3

Se coletarmos todas essas somas infinitas juntas em uma integral, a integral sob a função de distribuição dos primos de Riemann J ( x ) poderá ser escrita de uma forma simples:


O logaritmo de zeta, expresso como uma série infinita de integrais

Ou mais conhecido


O equivalente moderno do produto Euler, conectando a função zeta à função de distribuição dos primos de Riemann

Graças a isso, Riemann conseguiu conectar na linguagem da análise analítica sua função zeta ζ ( s ) com a função de distribuição de Riemann, primos J ( x ) em uma igualdade equivalente à fórmula do produto de Euler.

Erro

Tendo obtido essa forma analítica do produto de Euler, Riemann começou a formular seu próprio teorema sobre a distribuição de primos. Ele o apresentou da seguinte forma explícita:


"O teorema da distribuição de primários de Riemann", que prevê o número de primos menor que uma quantidade dada x

Esta é uma fórmula explícita de Riemann. Tornou-se uma melhoria do teorema da distribuição de números primos, uma estimativa mais precisa do número de números primos até o número x . A fórmula consiste em quatro membros:

1. O primeiro termo ou "principal" é o logaritmo integral de Li ( x ), que é uma aproximação aprimorada da função de distribuição dos primos π ( x ) do teorema da distribuição primária. Esse é o maior termo e, como vimos, ele aumenta o número de primos para um determinado valor de x .
2. O segundo termo, ou "periódico", é a soma do logaritmo integral de x à potência ρ , somada a ρ , que são zeros não triviais da função zie de Riemann. Esse membro controla o sobreavaliação do membro principal.
3. O terceiro membro é a constante -log (2) = -0.6993147 ...
4. O quarto e último termo é a integral, igual a zero para x <2, porque não existem números primos menores que 2. Seu valor máximo é 2, quando sua integral é aproximadamente 0,1410101.

A influência dos dois últimos termos no valor da função com o aumento de x torna-se extremamente pequena. A principal “contribuição” para grandes números é feita pela função de logaritmo integral e pela soma periódica. Veja seus efeitos no gráfico:


A função step da distribuição dos primos π (x) , aproximada pela fórmula explícita para a função de distribuição dos primos de Riemann J (x), usando os primeiros 35 zeros não triviais da função zeta de Riemann.

No gráfico acima, aproximei a função de distribuição primária π ( x ) usando a fórmula explícita da função de distribuição primária de Riemann J ( x ) e somei os primeiros 35 zeros não triviais da função de Riemann zeta ζ (s). Vemos que o termo periódico faz a função "ressoar" e começa a se aproximar da forma da função de distribuição dos primos π ( x ).

Abaixo está o mesmo gráfico usando mais zeros não triviais.


A função step da distribuição dos primos π (x) aproximada pela fórmula explícita para a distribuição dos primos de Riemann J (x) usando os 100 primeiros zeros não triviais da função zeta de Riemann.

Usando a função Riemann explícita, podemos aproximar com precisão o número de primos até um determinado número x . De fato, em 1901, Niels Koch provou que o uso de zeros não triviais da função zie de Riemann para corrigir o erro da função logaritmo integral é equivalente ao "melhor" limite para o erro no teorema da distribuição de números primos.

"... Esses zeros agem como postes telegráficos, e a natureza especial da função zeta de Riemann ordena exatamente como o fio (seu gráfico) deve ficar entre eles ...", - Dan Rockmore

Epílogo

Após a morte de Riemann em 1866, apenas aos 39 anos, seu artigo pioneiro continua sendo um guia no campo da teoria dos números analíticos e da teoria dos números primos. Até hoje, a hipótese de Riemann de zeros não triviais da função zeta de Riemann permanece sem solução, apesar da pesquisa ativa de muitos grandes matemáticos. A cada ano, vários novos resultados e conjecturas são publicados relacionados a essa hipótese, na esperança de que algum dia as evidências se tornem reais.