Cidade sem engarrafamentos

Art Art sabiamente aplicar semáforos

Art A arte de projetar redes rodoviárias

Capítulo Um

Arte sabiamente aplicar semáforos

Prefácio

Todos os dias, quando estamos perto do cruzamento, vemos a mesma imagem, enquanto os carros avançam na luz verde e no vermelho - eles se acumulam em frente ao semáforo em longas filas de espera inútil. Mas quão familiar é necessário ao mesmo tempo e isso pode ser feito para que, em sua jornada pela cidade, os motoristas quase não precisem “ficar de pé” na luz vermelha? Eu acho que muitos de nós já ouvimos falar das míticas "ondas verdes". Uma vez nessa onda e mantendo uma certa velocidade, o motorista dirige milagrosamente a cada cruzamento exatamente no momento em que o semáforo está aceso em sua direção com uma luz verde. É bastante simples organizar a propagação dessas “ondas” ao longo de uma estrada isolada, mas não é de todo óbvio se isso pode ser feito nas estradas de toda a cidade de uma só vez.

No primeiro capítulo deste artigo, construirei uma pequena teoria para cidades com um layout "Manheton" e responderei à pergunta sobre a melhor forma de regular o tráfego nas ruas com a ajuda dos semáforos. O segundo capítulo será dedicado às possibilidades de usar trocas e rodovias em vários níveis.

O material do primeiro capítulo não exige formalmente ao leitor qualquer conhecimento que vá além do currículo escolar, embora implique uma certa cultura de raciocínio, a presença de um lápis e uma noite livre, talvez não o único. Espero que o trabalho realizado seja útil para as pessoas que projetam cidades e planejam o tráfego urbano.

Descrição formal do problema

Imagine um modelo de cidade construído em uma grande mesa com blocos retangulares e estradas (Figura 1). É conveniente simular fluxos de tráfego em um layout com tiras longas e estreitas de papel empilhadas pelas ruas, deslizando continuamente, cada uma na sua própria direção.


Fig. 1

Ao longo do capítulo, será assumido que o movimento dos fluxos ocorre a uma velocidade constante e na mesma velocidade para todos. Sob essas condições, a modelagem de ondas verdes reduz a divisão de cada fluxo (tira de papel) em zonas brancas e pretas e acredita-se que os carros possam se mover com o fluxo apenas dentro de suas zonas negras (Figura 2).


Fig. 2

Certamente, serão evitados conflitos no movimento de carros se a situação do código não surgir, o mesmo cruzamento é bloqueado por zonas negras de dois fluxos que se cruzam ao mesmo tempo.


Fig. 3

Em relação à partição em zonas, exigimos que elas sejam periódicas, com o mesmo período espacial T para todos os fluxos e que, para cada período, exista apenas uma zona preta. Na prática, esse requisito significa que os ciclos de todos os semáforos têm a mesma duração e, por um ciclo, a luz verde em qualquer direção acende no semáforo mais de uma vez.

Primeira solução

Agora, ele tem todos os meios necessários para tentar encontrar o posicionamento (sem conflito) de "ondas verdes" em um layout de bloco quadrado. A boa notícia: pelo menos um desses arranjos existe e, para encontrá-lo, você nem precisa criar teorias - basta sentar em uma poltrona por meia hora, mordendo um lápis. A Figura 4a mostra a posição das zonas negras de todos os fluxos de ruas da primeira acomodação sem conflito neste artigo de uma só vez. As setas indicam a direção do movimento.


Fig. 4a

Como a divisão dos fluxos em zonas é periódica no espaço e as taxas de fluxo são iguais e constantes, a imagem que descreve a posição dos negros em um mapa da cidade deve ser repetida periodicamente no tempo. Na continuação do meio período (temporário) após o momento da Figura 4a, nada impede o movimento livre de conflitos das “flechas” e elas cobrirão uma distância de um quarto, cada. Feito isso (Figura 4b), as setas se encontrarão em um arranjo mútuo, repetindo em detalhes o arranjo da Figura 4a (preciso para refletir a reflexão), assim a prova da ausência de conflito de seu movimento adicional pode ser realizada por simples indução.


Fig. 4b

O papel dos semáforos, um plano para colocar ondas verdes em uma cidade com tráfego de mão dupla

O que “ondas verdes” devem formar na prática ou, em outras palavras, dividir corretamente os fluxos em zonas preto e branco?

Como você provavelmente já adivinhou, essa função pode ser atribuída aos semáforos. De fato, existe uma estreita relação dupla entre dividir fluxos em zonas e escolher um cronograma para o trabalho dos semáforos. Chamaremos o trabalho de um semáforo sem conflito se ele nunca acender a verde simultaneamente em duas direções cruzadas. Deixe a divisão sem conflito de fluxos de tráfego em zonas preto e branco ser dada primeiro.

Cada vez que o cruzamento atingir a borda frontal da próxima zona preta de um fluxo, faremos o semáforo no cruzamento acender na direção desse fluxo com luz verde e voltaremos para vermelho no momento em que sua borda traseira deixar o cruzamento para trás - isso criará uma programação livre de conflitos o trabalho de todos os semáforos. Por outro lado: destacando em preto os intervalos dentro dos fluxos, cujos pontos passam por todos os semáforos encontrados em luz verde, você obterá uma divisão dos fluxos em zonas preto e branco.

Se a programação prescreve os semáforos para funcionar sem conflito, a partição induzida por esta programação também estará livre de conflitos. Obviamente, para que as divisões dos fluxos se tornem periódicas, com períodos idênticos em todos os fluxos e para cada período desse tipo exista apenas uma zona negra, alguns requisitos adicionais deverão ser impostos aos cronogramas dos semáforos.

Para nós, a simples consequência do dualismo descrito será especialmente importante:

A programação obtida do particionamento livre de conflitos de fluxos em zonas induz exatamente a mesma partição

É digno de nota (tente dar um exemplo apropriado) que a declaração simétrica não seja mais verdadeira.

E assim, como dividir fluxos em zonas e definir horários de semáforos são formas intercambiáveis ​​de descrever o tráfego urbano, podemos usar qualquer um deles para a tarefa de encontrar os locais das ondas verdes. Geralmente o primeiro é mais visual e conveniente, mas às vezes, como no exemplo a seguir, é útil combinar os dois pontos de vista.

Nossa primeira solução foi colocar ondas verdes em ruas de mão única. Agora vamos tentar obter sua opção "frente e verso". Primeiro, observe que os semáforos da Primeira solução podem ser divididos em duas categorias. Dentro de cada categoria, todos os semáforos operam de forma síncrona, enquanto o trabalho dos semáforos de diferentes categorias é antifase. Por exemplo, na próxima metade do período após o momento mostrado na Figura 4a, todos os semáforos da primeira categoria acenderão em verde nas ruas que percorrem a horizontal (em relação à posição na figura) e em vermelho - ao longo da vertical e os semáforos da segunda, pelo contrário, são os mesmos metade do período para ruas horizontais será vermelha e para ruas verticais, verde. Vale ressaltar que, na situação descrita, girar um semáforo em 180 graus não altera o cronograma de seu trabalho.

Neste ponto da narrativa, será conveniente imaginar o layout da cidade, juntamente com seus semáforos e fluxos de tráfego, como uma imagem animada em uma tela transparente.

Que duas dessas telas transmitam de forma síncrona o movimento dos fluxos da Primeira Solução sejam sobrepostas com precisão. Se uma das telas agora for girada 180 graus em torno do centro de algum cruzamento, o layout das ruas da tela superior novamente se sobrepõe exatamente ao layout da tela inferior, mas, ao mesmo tempo, as direções dos fluxos de tráfego sobrepostas se tornarão opostas em todas as ruas combinadas. O mais notável aqui é o fato de que o movimento de fluxos de diferentes telas ainda não criará conflitos de zona em cruzamentos combinados.

De fato, a divisão dos fluxos em zonas na primeira e na segunda tela é completamente determinada pelo trabalho dos semáforos, mas ao girar, como pode ser visto na Figura 4a, todos os semáforos combinados entre si caem sempre nas mesmas categorias e, como conseqüência da invariância de categoria mencionada acima, nas curvas de 180 graus, deve funcionar absolutamente de forma síncrona. Após os comentários feitos, o movimento livre de conflitos dos fluxos se torna uma conseqüência da programação livre de conflitos de cada um dos semáforos. Para aqueles leitores para quem minha prova parecia muito confusa, direi o bom e velho "visual" grego (Figura 5)


Fig. 5

Vantagens óbvias do layout de Manhattan, restrições ocultas do regime de ondas verdes

E então, por que blocos e estradas retangulares que se estendem de um extremo a outro da cidade são bons?

1) A objetividade da percepção das distâncias dentro da cidade.

Acho que uma dessas situações engraçadas aconteceu quando muitas pessoas viajam por quarenta minutos de um lugar para outro por um ano inteiro, e então acontece que elas são uma da outra em uma caminhada de quinze minutos ao longo de uma praça pitoresca. Em uma cidade francamente “quadrada”, pelo contrário, é difícil cometer um erro na distância entre as ruas numeradas. Segue

2) Facilidade de navegação pessoal e esquemas de transporte público.

Não são necessários navegadores ou aplicativos móveis: entre todos os trimestres, há sempre uma rota de não mais de uma seção do movimento vertical e não mais do que uma seção do movimento horizontal. Se um bonde ou trólebus circula em cada uma das ruas, usando o transporte público, você não precisará fazer mais de uma alteração em uma viagem.

3) O uso econômico do espaço urbano, a tolerância geral a falhas da rede viária.

Curiosamente, uma grande área de estradas construídas em cidades organizadas é usada com eficiência extremamente baixa. Por exemplo, no meio de muitas ruas pequenas, muitas vezes becos sem saída, de um jeito ou de outro, você precisa colocar duas faixas de asfalto, mesmo que o carro passe por elas apenas uma vez em um quarto de hora. Nas cidades com um layout de Manhattan, esse problema está ausente: cada rua dá uma pequena contribuição ao trânsito total de transporte e, como resultado, não há necessidade de grandes rodovias arteriais, qualquer acidente que possa facilmente levar à perda de comunicação entre áreas inteiras.

4) A ausência de qualquer perda significativa de tempo na antecipação de semáforos.
Para fazer isso, basta organizar um regime de ondas verdes ao longo de cada estrada. Se isso for feito, durante uma viagem, a perda de tempo nos semáforos só será possível no início da viagem e ao passar de uma rua para outra.

Depois disso, espero, boa publicidade do planejamento da cidade de Manhattan, vamos discutir as dificuldades que a organização do tráfego no modo de ondas verdes traz consigo.

Talvez a maior delas seja a restrição imposta ao uso eficiente das estradas, ou, formalmente, a participação no fluxo de tráfego ocupado por zonas negras nela. Como não mais de uma das duas ruas passa por um cruzamento por vez, é impossível usar todas as ruas de uma só vez com uma eficiência de mais de 50%. Vale ressaltar que, nesse sentido, a Primeira Solução e sua modificação para uma cidade com tráfego de mão dupla usavam estradas com a maior eficiência possível.

Vamos agora tentar estimar o comprimento das ondas verdes (o valor do período espacial da divisão em zonas) em geral e o tamanho dos quartos nas duas soluções já encontradas em particular. Na minha experiência tacanha, um ciclo conveniente de semáforo não pode durar menos de um minuto e uma velocidade confortável de condução não pode ser inferior a 60 quilômetros por hora (1 km / min). Multiplicando a duração do ciclo pela velocidade, descobrimos que os comprimentos de onda verdes de qualquer solução devem ser de pelo menos 1 km. Nos dois locais que encontramos, o comprimento dos quartos era metade do comprimento de onda, ou seja, o menor poderia ter 500 metros.

Quartos com 500 metros de comprimento não são incomuns em nossas cidades, embora esse comprimento não possa ser considerado confortável para toda a vida. Em áreas com super arranha-céus, devido à alta densidade de moradores, é preferível que cada prédio seja um bairro independente.

Existe uma maneira de manter o regime de ondas verdes em uma rede de transporte com uma grande densidade de localização da estrada?

Vamos, nas veiculações mostradas nas Figuras 4 e 5, cruzar cada segunda "flecha" em cada fluxo em ordem (seria possível atravessar a cada duas de três ou n - 1 de n). Os fluxos atualizados ainda não entrarão em conflito e a duração de seu período espacial dobrará. Agora, aperte todo o layout ao meio, vertical e horizontalmente. Como resultado da compressão, os períodos espaciais dos greens retornam ao tamanho original e a duração de cada quarto é reduzida pela metade.

Embora o uso do truque descrito permita aumentar ilimitadamente a densidade da localização das estradas, ele, infelizmente, acarreta custos inaceitáveis: o coeficiente de eficiência do uso da estrada diminui proporcionalmente à sua densidade. Por exemplo, em comparação com 50% de eficiência em uma rede de estradas com um quarto de quarteirão de 500 metros, para reduzir o tamanho de blocos para 250 metros, você terá que pagar uma diminuição de eficiência em 25%, e os blocos de 150 metros com essa abordagem serão delimitados pelas estradas usadas apenas 15%.

Obviamente, duas perguntas vêm à mente. O primeiro deles é puramente prático:

1) Como, mantendo o regime das ondas verdes, aumenta a densidade das estradas para um valor confortável e não perde muito na eficiência de seu uso?

O segundo é, antes, fruto do amor dos matemáticos por objetos ideais e casos extremos:

2) É possível aumentar ilimitadamente a densidade das estradas para que a eficiência do uso de nenhuma delas caia abaixo de um certo (um por todos) valor-limite?

Uma ligeira digressão

Fui forçado a enfrentar o problema do controle ótimo do tráfego por ocasião de meu outro artigo sobre transporte urbano e com o único objetivo de pagar uma dívida histórica com isso, como me pareceu, uma maneira desatualizada de organizar o tráfego. Quando me perguntei pela primeira vez sobre o valor do coeficiente de eficiência limitante (pergunta número dois), estava pronto para argumentar com qualquer pessoa que seu valor simplesmente deveria ser igual a zero, e qualquer aumento na densidade de estradas na rede certamente levaria a uma diminuição na eficiência da aplicação do modo verde neles. ondas, mas, como isso costuma acontecer em trabalhos de pesquisa, a falha em tentar provar uma afirmação falsa deu a chave para entender o verdadeiro estado das coisas. No restante desta seção, você aprenderá sobre um método que permite construir a colocação de ondas verdes em redes interessantes do ponto de vista da aplicação prática e em redes irrealistas com uma densidade de estradas arbitrariamente alta. No final deste capítulo, deixarei para você um problema em aberto com o qual não consegui lidar, e agora peço que preste atenção a uma teoria pequena e elegante.

Faixas de sombreamento

A Figura 6 mostra em três pontos diferentes no tempo dois fluxos verticais e um horizontal cruzando-os. Como já mencionado, as velocidades de todos os fluxos são assumidas como iguais, e o movimento - não levando a conflitos entre suas zonas negras. O fragmento A do fluxo horizontal, sendo preto, proíbe, assim, os fragmentos pretos B e C dos fluxos verticais de serem pretos.


Associamos ao fragmento A uma faixa oblíqua síncrona, movendo-se de forma síncrona com ele, cujas linhas de contorno formam um ângulo de 45 graus com a vertical da figura. Por analogia com a sombra que A lançaria nos raios oblíquos do sol, se fosse um objeto opaco, chamamos essa faixa de "sombra". Como pode ser visto na mesma figura, a região de interseção da faixa de sombra associada a A e qualquer fluxo ascendente vertical (para cima) permanece absolutamente estacionário em relação ao último e, mais importante, não pode ser preto.

Com cada segmento preto de qualquer fluxo horizontal, de fato, vale a pena conectar duas faixas de sombra ao mesmo tempo: uma delas será inclinada em direção ao movimento do segmento (como uma árvore é inclinada em direção ao vento) e a outra a encontrará. Vamos concordar em chamar as bandas do primeiro tipo de "vermelho" e o segundo - azul (Figura 7).


Fig. 7

O papel das barras de sombra vermelhas e azuis na teoria criada é determinado por suas propriedades: nem um único segmento do fluxo ascendente que caiu no "sombreamento" de pelo menos uma faixa azul e nem um único segmento do fluxo descendente (o fluxo vertical direcionado para baixo) que caiu no sombreamento de pelo menos um listras vermelhas não devem ser pretas.

Vamos agora ver como, em geral, o conjunto de todas as faixas de sombra parece, por exemplo, a cor vermelha de um fluxo horizontal (Figura 8).


Fig. 8

Localizadas ao longo do fluxo T-periodicamente, suas zonas pretas geram um padrão de linhas periódicas de faixas paralelas da mesma largura. Mais precisamente, esse padrão é periódico T (coincide totalmente com ele mesmo quando deslocado por uma distância T) na direção horizontal, periódico com um período t = T / √2 na direção do
(comum) normal para as bordas de suas bandas e "suporta" qualquer mudança em paralelo as próprias bandas. É interessante observar como todo o padrão, junto com o fluxo, se move para a direita. O movimento de cada faixa individual (vetor ʋ ) pode ser representado como a soma vetorial de seu deslocamento ao longo de si (vetor q ) e movimento simultâneo em uma direção perpendicular ao seu limite (vetor p) Como você pode imaginar, é difícil para nossa visão perceber o movimento de uma faixa interminável de sombra ao longo de si mesma, se houver algum sentido que não seja formal; portanto, há uma ilusão de que o padrão não se move para a direita junto com o fluxo, mas em uma direção perpendicular às bordas de suas listras, movendo-se em relação à imagem na diagonal para a direita. De acordo com as leis da geometria, a velocidade da frente principal de cada banda é exatamente √2 vezes menor que a velocidade da zona negra à qual está associada.

A propósito, o uso de asas varridas na aviação supersônica provavelmente se baseia no mesmo fenômeno: o movimento do ar paralelo à própria asa não deve afetar a força de elevação de nenhuma maneira e o componente normal da velocidade com a qual o fluxo supersônico atinge sua borda principal, devido ao ângulo de varredura, menos velocidade de som, permitindo que a asa trabalhe em um modo subsônico que seja confortável para ela.

A descrição da ilusão nos permite concluir que os três tipos de movimento a seguir parecem indistinguíveis para qualquer faixa de sombra vermelha e, portanto, podem ser considerados equivalentes:

* movimento ao longo da horizontal junto com o fluxo com velocidade ʋ ;
* movimento ao longo da diagonal da figura para baixo com a velocidade ʋ / √2;
* movimento descendente a uma velocidade de ʋ .

Depois de substituir a palavra “para baixo” pela palavra “para cima”, tudo o que é dito sobre as propriedades do movimento de listras vermelhas e padrões de linhas vermelhas se torna válido em relação ao movimento das azuis.

Listras globais e padrões de linha.

Deixe algum arranjo de ondas verdes ser dado em alguma rede de estradas. Listras sombreadas da mesma cor, referentes a fluxos que se movem em uma direção, são necessariamente paralelas umas às outras, mas podem ficar afastadas ou parcialmente ou mesmo completamente sobrepostas umas às outras (Figura 9). Como seu movimento é direcionado na mesma direção e tem a mesma velocidade, essas bandas permanecem absolutamente imóveis em relação uma à outra. Vamos combinar tiras de uma cor de cada vez (fluxos horizontais) se movendo em uma direção. Como resultado da sobreposição, as faixas de sombra que se cruzam de diferentes fluxos se fundem para formar faixas de sombra globais . As novas faixas também serão paralelas entre si, formando juntas um padrão de linha global .




Fig. 9

O padrão de linha global é periódico t ao longo de uma das direções diagonais do layout e pode suportar qualquer deslocamento ao longo da outra, pois todos os padrões de linha dos fluxos individuais dos quais ele foi formado possuíam essa propriedade. Pelas mesmas razões, o padrão global é periódico T nas direções horizontal e vertical, embora T ao longo dessas direções não seja mais o período mais curto.

No total, quatro padrões de linhas globais são formados, diferindo na cor e inclinação das listras: compostas de vermelho à direita, vermelho à esquerda, azul à direita e azul à esquerda. Na Figura 10a, todos os padrões globais gerados pelos fluxos da Figura 4a são combinados e, na Figura 10b, sua posição após um quarto do período (
tempo).


Fig. 10a


Figura 10b

Uma característica das duas ilustrações é o padrão entre a disposição das setas e as diferentes zonas de cores: as setas direitas sempre aparecem na interseção das listras azuis vermelhas e esquerda direita, as setas esquerdas - esquerda e azul direita, as setas acima ficam exclusivamente dentro de áreas livres de sombras vermelhas, e as setas para baixo estão dentro das zonas livres de azul. A explicação para esta observação está contida na regra para a construção de faixas de sombra.

Padrões de xadrez

Qualquer par de padrões de linhas, cujas faixas de sombra são esticadas ao longo de diferentes diagonais do padrão, é um padrão quadriculado , como um padrão de kilt escocês, uma toalha de mesa no estilo provençal ou a camisa do escritório. Os padrões quadriculados têm propriedades simples e ao mesmo tempo úteis para nossa pesquisa, vamos examiná-los.


Fig. 11

Se duas bandas de sombra localizadas na diagonal se movem na mesma direção com a mesma velocidade ʋ , obviamente, o retângulo, que é a área de sua interseção, se move na mesma direção com a velocidade ʋ (Figura 11a). Deixe agora o movimento dessas bandas ocorrer ao longo de uma linha horizontal com velocidades iguais ʋ , mas em direções opostas.

Dois casos são possíveis aqui: ambas as bandas se movem em direção à sua inclinação (como todas as faixas globais vermelhas) ou contra ela (como todas as faixas globais azuis). No primeiro caso, o movimento de cada um deles é indistinguível do movimento vertical para baixo, onde se move a uma velocidade ʋárea retangular de sua interseção. O segundo caso é completamente semelhante ao primeiro, mas com a diferença de que a área de interseção se move verticalmente para baixo.

Outra propriedade importante dos padrões quadriculados é a periodicidade herdada, tanto nas direções diagonais quanto nos eixos principais. Deixe o padrão quadriculado ser formado pela interseção de dois padrões de linhas diagonais, o primeiro dos quais é periódico p na direção nordeste e o segundo periódico q ao noroeste. Em tal situação, o próprio padrão quadriculado será periódico p ao longo do nordeste, periódico q ao longo das direções noroeste e pode ser representado como um mosaico retangular de células p × q (Figura 12). Se p = q = T / √2, esse padrão também é periódico em T vertical e horizontalmente.


Fig. 12

Movimento sincronizado de padrões quadriculados e ondas verdes

Como já mencionado, quatro padrões quadriculados estão associados a qualquer arranjo periódico de ondas verdes: vermelho-azul - na interseção das listras globais direita vermelha e esquerda azul, azul-vermelho - na interseção das listras globais direita azul e esquerda vermelha e duas simétricas - vermelho- azul vermelho e azul .

Se todo o tráfego flui viajar à velocidade ʋ , o parágrafo resultados anteriores no anexo ao meio padrão xadrez associados que o padrão vermelho e azul se movendo a uma velocidade de ʋ do outro lado, azul-vermelho - com velocidade ʋ deixou horizontal, vermelho-vermelho, e azul - padrões azuis com velocidade ʋmova-se estritamente verticalmente, o primeiro para baixo e o segundo para cima.

Deste último, pode-se concluir que o movimento das zonas negras da estrada flui, indicado por setas nas figuras, e as células correspondentes às zonas de padrões quadriculados acabam sincronizadas. Portanto, qualquer seta para a direita se move o tempo todo dentro do retângulo vermelho-azul, enquanto permanece estacionária em relação às bordas, qualquer seta esquerda está em uma relação semelhante com algum retângulo azul-vermelho, qualquer seta para cima está com o retângulo branco-branco do padrão azul-azul, e qualquer seta para baixo - com um retângulo branco e branco com um padrão vermelho - vermelho.

O sincronismo do movimento de setas e células abre a possibilidade fundamental de usar padrões celulares para criar ondas verdes.

Engenharia reversa

Lema de geração:

deixe uma rede de linhas horizontais e verticais com a direção indicada nelas, indicando fluxos de tráfego, no avião. Deixe também a posição dos dois padrões de diagonal quadriculados iniciais: vermelho-vermelho e azul-azul, cada um dos quais é periódico t ao longo das direções do comprimento de suas listras.

Existe uma maneira canônica (padrão) de construir a colocação de ondas verdes na rede mencionada, na qual:

*) as zonas negras de cada corrente estão localizadas T periodicamente nela (T = t × √2);
**) no momento zero, o padrão global vermelho-vermelho associado à veiculação estará totalmente contido dentro do padrão vermelho-vermelho original e o azul-azul global dentro do padrão azul-azul original (o termo "padrão quadriculado A contido no padrão quadriculado B" significa o requisito de que cada faixa incluída no padrão A esteja inteiramente dentro de alguma faixa do padrão B);

Imediatamente, notamos a periodicidade T dos padrões iniciais ao longo das direções horizontal e vertical (veja o parágrafo anterior). Cruzando as listras direita (inclinada para a direita) de um dos padrões originais com as listras esquerdas do outro, distinguimos dois padrões quadriculados derivados: azul-vermelho e vermelho-azul. Os padrões derivados também serão periódicos t nas duas direções diagonais do plano e, portanto, periódicos T nas linhas verticais e horizontais. Como resultado, os intervalos nos quais qualquer linha vertical ou horizontal é dividida por sua interseção com as células de qualquer um dos padrões originais ou derivados preenchem essa linha com regularidade periódica.

Em cada fluxo ascendente, entre os intervalos nos quais o fluxo se cruza com as células branco-brancas do padrão inicial azul-azul, fazemos um intervalo com um comprimento máximo. Quando o intervalo selecionado é deslocado por um múltiplo de T para cima ou para baixo, ele coincide novamente com a interseção de seu fluxo e a célula branco-branca do padrão azul-azul. Vamos considerar todas essas áreas e considerar as zonas negras dos fluxos ascendentes (Figura 13).


Fig. 13

Para criar zonas negras em fluxos descendentes, o procedimento descrito acima deve ser realizado com relação aos intervalos de sua interseção com células branco-brancas do padrão original vermelho-vermelho, para fluxos à direita, com relação aos intervalos de sua interseção com vermelho-azul e para fluxos à esquerda - com células vermelho-azuladas de padrões derivados.

Todos os fluxos estão agora divididos em zonas, resta mostrar que durante o movimento não haverá conflito entre eles.

No ponto zero no tempo, não há conflitos entre os fluxos de acordo com a regra da proibição de cores: as zonas negras dos fluxos horizontais, localizadas dentro das células vermelho-azul e azul-vermelho, não podem estar em interseção com as zonas negras dos fluxos direcionados para cima, pois ficam nas células livres de azul, assim como eles não podem estar em interseção com as zonas negras dos fluxos direcionados para baixo, porque estas estão dentro das células livres de vermelho.

Tendo entrado em movimento, as zonas de todos os fluxos, por condição, devem ter a mesma velocidade ʋ . Faça o padrão original vermelho-vermelho se mover a uma velocidade ʋpara baixo e azul-azul - na mesma velocidade, mas para cima. Mover os padrões originais fará com que o padrão derivado de vermelho-azul se mova ao longo da horizontal a uma velocidade de ʋ para a direita e azul-vermelho - exatamente o mesmo, mas para a esquerda. Acontece que as zonas negras dos fluxos se moverão de forma síncrona com as células dos padrões coloridos em que foram originalmente construídas, o que significa que a prova baseada na regra da proibição de cores pode ser repetida a qualquer momento.

Uma propriedade importante do procedimento de construção canônica de veiculações é a sua "involução": se aplicada à rede viária e aos padrões quadriculados associados a um determinado padrão de tráfego, o resultado é o mesmo padrão.

O leitor é convidado a provar independentemente o segundo:

Lema sobre a otimização das alocações construídas canonicamente

Entre todos os arranjos de ondas verdes que satisfazem os requisitos *) e **) do lema de geração, não há um que seria mais eficiente do que o arranjo canonicamente construído em pelo menos um segmento.

Um dos promissores padrões de tráfego em áreas com arranha-céus

Anteriormente, um método foi descrito como obter um padrão de tráfego com um coeficiente de eficiência de 25 a partir do padrão de tráfego bidirecional da Figura 5, com o tamanho de quartos a meio período (500 metros) e um nível de eficiência de uso de cada estrada de 50%, cruzando cada segunda seta em cada fluxo % e tamanho dos quartos em um quarto do período (250 metros).

Usando uma visão complicada dos padrões celulares e do Lema de Geração, agora construiremos um posicionamento de onda verde com o mesmo valor de eficiência em 25% do uso da estrada, mas em uma rede com o tamanho de quartos em apenas 1/8 do período (125 metros). Uma densidade tão alta de estradas pode ser preferível em partes da cidade, que são construídas principalmente com edifícios de arranha-céus, que, como você sabe, em termos de número de pessoas e número de carros, são bastante comparáveis ​​com blocos inteiros em áreas tradicionais.

A Figura 14a mostra fragmentos "elementares" dos padrões mencionados, e na Figura 14b eles são sobrepostos simultaneamente no topo da rede viária, permitindo dividir perfeitamente seus fluxos em zonas preto e branco.


Fig. 14a


Fig. 14b

A rede de estradas proposta para uso, se desejado, pode ser reabastecida com qualquer número de fluxos horizontais e verticais (estradas), e o Lemma de Geração garante a possibilidade de colocar ondas verdes em novas estradas para que não entrem em conflito entre si ou com ondas verdes em fluxos presentes na rede inicialmente.

Tente determinar quais posições das novas estradas permitirão usá-las com uma eficiência de 25% para a direção de movimento selecionada e para qual - esse valor será significativamente menor. Encontre locais em que a utilização da estrada é zero.

Padrões de tráfego extremamente eficientes

O uso generalizado do esquema de tráfego descrito no parágrafo anterior será indubitavelmente prejudicado por sua eficiência relativamente baixa no uso da estrada: duas vezes menor que o nível teoricamente alcançável de 50%. É natural, então, fazer a pergunta: "Quais podem ser os padrões de tráfego que apóiam o regime de ondas verdes e usam todas as estradas com 50% de eficiência". Nós chamaremos esse esquema de movimento extremamente eficaz .

Agora descreveremos um método geral que permite criar todos os padrões de tráfego mais eficazes e, no final da seção, os que são mais promissores para uso prático são desenhados separadamente.

Seja dado algum esquema extremamente eficaz de movimento.

A partir da exigência de periodicidade T, segue-se que cada um de seus fluxos é composto de zonas brancas e pretas alternadas da mesma magnitude iguais a T / 2. No esquema de movimento considerado, assim como em qualquer outro, pelo menos um fluxo horizontal que se move para a direita está necessariamente presente. O padrão de linha das faixas de sombra vermelha associadas a esse fluxo deve se parecer com a Figura 16a.


Fig. 16a

Além disso, pelo menos um fluxo horizontal que se move para a esquerda está necessariamente presente no esquema. Suas faixas vermelhas de sombra estão representadas na Figura 16b.


Fig. 16b

Certamente, é impossível garantir que o padrão de linha das barras de sombra vermelhas de um único fluxo aleatório movido para a direita coincida com o padrão de todas as faixas de sombra globais vermelhas à direita , assim como não se pode ter certeza de que o padrão de linha das barras de sombra vermelha de um único fluxo aleatório movido para a esquerda , corresponderá ao padrão de todas as barras de sombra globais vermelhas à esquerda . Mas vejamos o padrão quadriculado (Figura 16c) que as faixas de sombra vermelhas desses dois fluxos selecionados aleatoriamente formam juntas (Figura 16c).


Fig. 16c

Esse padrão acaba por ser composto de quadrados de tamanho igual com um valor diagonal de T / 2, para que 50% de eficiência possa ser alcançada por qualquer fluxo direcionado para baixo, desde que a estrada reservada passe exatamente pelas diagonais verticais das células branco-brancas do padrão . O padrão quadriculado examinado, sendo gerado por zonas pretas de apenas uma parte de todos os fluxos do padrão de movimento, é obrigado a estar contido no padrão vermelho-vermelho global associado a esse padrão. Mas, como podemos ver, mais uma vez olhando para a Figura 16, adicione pelo menos uma faixa vermelha ao padrão quadriculado representado nela ou expanda as existentes apenas uma fração - e nem um único fluxo descendente já pode ser 50% eficiente.

A última observação nos permite tirar várias conclusões sobre as propriedades de qualquer esquema de movimento extremamente eficaz:

1. O padrão de linha (vermelho e azul) de qualquer fluxo horizontal coincide com o global.
2. As células coloridas dos quatro padrões quadriculados associados ao padrão de movimento são quadrados iguais com uma diagonal T / 2 longa.
3. A distância entre os fluxos mais próximos um do outro se movendo na mesma direção é um múltiplo de T / 2.
4. O esquema de movimento mostrado na Figura 5 tem o menor tamanho de bloco entre todos os esquemas bidirecionais de eficiência máxima em relação ao período de ondas verdes.

Algumas cadeias de nossas conclusões podem ser tiradas, obtendo-se assim:

Lema sobre a geração de esquemas de movimento extremamente eficazes

Tomemos dois padrões quadriculados arbitrariamente localizados um em relação ao outro com um arranjo diagonal de listras, a primeira das quais é vermelho-vermelho e a segunda é azul-azul. Deixe as células coloridas de ambos os padrões serem quadrados iguais com um comprimento diagonal igual a T / 2. Aplicamos qualquer rede de fluxos horizontais e verticais ao avião, se apenas suas posições atenderem aos seguintes requisitos:

1. Cada fluxo direcionado para baixo deve passar pelas diagonais verticais das células branco-brancas do padrão vermelho-vermelho;
2. Cada fluxo direcionado para cima deve passar pelas diagonais verticais das células branco-brancas do padrão azul-azul;
3. Cada fluxo direcionado para a direita deve passar pelas diagonais horizontais das células vermelho-azul do padrão derivado de vermelho-azul;
4. Cada fluxo direcionado para a esquerda deve passar pelas diagonais horizontais das células azul-vermelhas do padrão derivado de azul-vermelho.

Se construirmos canonicamente a colocação de ondas verdes a partir desses padrões para uma rede viária montada em um avião, o resultado será um padrão de tráfego extremamente eficaz. (Prove a si mesmo). O fato de que, da maneira descrita, é possível obter todos os esquemas de movimento extremamente eficazes, segue imediatamente a propriedade de involução do procedimento de construção canônico.

Portanto, já temos um esquema de tráfego extremamente eficiente com ruas de mão dupla, mas o tamanho dos bairros que assume é de até 500 metros. Padrões de tráfego extremamente eficientes são mais atraentes do ponto de vista dos custos de construção de estradas e economizam espaço na cidade; no entanto, há uma limitação na distância entre os fluxos em uma direção: não pode ser menor que a meia-onda da onda verde ou os mesmos 500 metros .

É possível fazer blocos menores?

A única brecha lógica que resta para nós é abandonar o tráfego de mão dupla e tentar alternar fluxos em direções opostas: se for bem-sucedido, o comprimento dos blocos será apenas um quarto do período da onda verde, ou 250 metros bastante aceitáveis.

Felizmente, esse padrão de tráfego realmente existe e, aparentemente, é o mais promissor para aplicação prática. Uma das posições instantâneas de seus fluxos é mostrada na Figura 17.


Fig. 17

Como deve mudar a face das cidades modernas

Vamos estimar quantas estradas precisarão ser construídas para que cada funcionário possa chegar ao local de trabalho em um carro pessoal. Para iniciantes, pegue uma cidade relativamente pequena, com 150 mil pessoas, com uma densidade padrão de 10 mil pessoas por quilômetro quadrado. Todo o território dessa cidade pode caber facilmente dentro de uma matriz de blocos de 16 × 16 (4 × 4 km quadrados), e uma viagem entre seus dois pontos mais distantes em estradas livres não levará mais de dez minutos.

Assumimos a simplificação de que em todos os setores o mesmo número de empregos está concentrado, assim como os cidadãos que vivem lá permanentemente, enquanto não há relação estatística entre o endereço da casa e o trabalho. Nesse caso, quase todos os residentes deixarão seus aposentos durante a migração da manhã e aproximadamente o mesmo número de pessoas seguirá de cada trimestre para cada. Assumiremos que, para a organização do tráfego, o esquema de transporte da Figura 17 é usado com uma restrição que permite a saída dos quartos apenas em estradas horizontais e chegada apenas em estradas verticais.

Vamos tentar descobrir qual será o fluxo máximo de carros em uma determinada rua na hora do rush da manhã.


Fig. 18

A Figura 18 mostra um fragmento de um mapa com um padrão de tráfego semelhante, mas menor. Neste mapa, estão marcadas todas as rotas que, começando no bairro selecionado, divergem pelas diferentes ruas verticais. Cada trimestre possui o mesmo número de rotas (de acordo com o número de ruas verticais) e cada rota possui o mesmo número de carros que a seguirão.

Se você desenhar uma linha na estrada horizontal com um movimento para a direita, no lado direito
a partir do qual permanecerão X quartos e o campo Y ruas verticais, essa linha cruzará as rotas X × Y. O valor máximo do número será observado exatamente no meio da estrada e, quando a rua se estender por 16 quarteirões, será igual a 108 (16 quarteirões à esquerda × 8 verticais à direita). Em cada trimestre, 1/4 × 1/4 × 10.000 = 625 pessoas vivem, segundo as estatísticas, cerca de 320 delas trabalham, portanto, para cada uma das 16 rotas que partem do bairro, há 20 pessoas, portanto, o meio de cada rua horizontal é atravessado por 108 × 20 = 2200 carros.

Imagine que em nossa cidade hipotética exista um modo de vida conservador, quando o dia de trabalho da maioria dos residentes começa às 9 da manhã. Todos os funcionários trabalharão aproximadamente ao mesmo tempo, mas, sob a influência da idade, características de caráter e circunstâncias aleatórias, é provável que o período do início da migração matinal se estenda por cerca de um quarto de hora.

Então, 2200 carros devem passar por você pela rua em um quarto de hora. Quantas faixas você precisa construir para isso?

Em uma faixa a uma velocidade de 1 km por minuto, distâncias de 30 metros e a eficiência de usar a estrada no modo de ondas verdes, apenas 250 carros conseguem passar 50% em um quarto de hora e, para 2200 carros, são necessárias até 10 faixas, ou seja, " Leninsky Prospekt ”em todas as ruas de uma cidade da província média.

Uma vez que os cálculos realizados mostram que vale a pena se livrar de visões conservadoras, faremos o dia de trabalho começar para pessoas diferentes em momentos diferentes. Em condições de um novo ritmo de vida, o número de bandas pode ser reduzido a um valor completamente aceitável. Por exemplo, a chegada dos funcionários, distribuída entre quatro pontos: 9:00, 9:15, 9:30 e 9:59, custará apenas estradas de três faixas em cada rua.

Infelizmente, para as megacidades, como não manchar o começo do dia com uma xícara de café, o número de faixas ainda permanece monstruoso. Para uma cidade de 15 milhões construída com toda a mente, o comprimento das ruas e o número de faixas nas estradas aumentam cerca de 10 vezes (sem o uso de viadutos, a raiz quadrada do número de vezes que a população aumentou).

30 pistas a cada 250 metros - essa é realmente a cidade dos seus sonhos?

Em resumo, gostaria de compartilhar minha visão da situação:

1. Um carro é uma invenção útil, que no estado atual da tecnologia deve estar disponível para todos os cidadãos de uma sociedade civilizada.
2. Com uma abordagem razoável, não é nada difícil organizar a livre circulação, armazenamento e acesso de pedestres a carros particulares, sem perturbar o conforto das cidades de tamanho razoável. Para cidades com uma população inferior a 1 milhão, isso pode ser alcançado sem a construção de viadutos.
3. O problema do tráfego de automóveis nas megacidades não pode ser resolvido apenas dentro da estrutura de estradas com semáforos e permanece aberto até o momento.

Chegou a hora de abordar a questão da relação entre a densidade das estradas e a possibilidade de seu uso efetivo.

Medidas de densidade e eficácia

Antes de tudo, nos livraremos da necessidade de usar a frase: "em relação ao tamanho do período espacial das ondas verdes" e concordamos que a partir de agora o período de todas essas ondas será igual a um.

Uma medida quantitativa da densidade da localização das estradas na rede é a extensão do trimestre mais longo da cidade. Concordamos em chamar esse valor de minoria principal da rede . A finura majoritária é definida corretamente para todos os modelos de cidades (mesmo com um número infinito de quartos) de comprimento finito.

Para uma colocação especificamente selecionada de ondas verdes, o valor da eficiência do uso das estradas por seus fluxos pode ser diferente para diferentes fluxos. É razoável chamar o limite inferior do conjunto desses valores como a eficiência menor da veiculação selecionada. Para localizações de ondas verdes em redes com um número finito de estradas, o valor da eficiência menor coincide com o valor da eficiência da estrada usada de maneira mais ineficiente.

Darei algumas declarações relacionadas a esse conceito, que espero que o leitor possa facilmente provar independentemente.

1. Em qualquer arranjo de ondas verdes, é possível, portanto, cortar as zonas negras de todos os fluxos, de modo que, afinal, eles tenham o mesmo comprimento e a menor eficiência de colocação não mude.
2. Para alguma colocação, pegue os padrões celulares associados a ela e aplique o lema de geração canônica a eles. A eficiência múltipla da veiculação resultante não será menor que a do original.
3. Permita que a eficiência menor-retal de um determinado arranjo seja D. Removemos dos padrões de xadrez vermelho-vermelho e azul-azul associados a ele primeiro todas as faixas coloridas cuja largura é menor que D / √2, substituindo-as por um fundo branco. Em seguida, removemos todas as listras brancas com largura menor que D / √2, pintando-as em cada caso com a cor principal do padrão, após o que usamos dois padrões já modificados como os iniciais da geração canônica Lemma - o valor da menor eficiência da colocação resultante será maior ou igual a D.

Vamos usar todo o posicionamento possível de ondas verdes (com um único período) em qualquer rede selecionada em particular. O limite superior do conjunto de eficiências menores desses arranjos é chamado de eficiência menor da própria rede.

Em outras palavras, se E é a eficiência menor da rede rodoviária, existem arranjos de ondas verdes nessa rede com a eficiência menor arbitrariamente próxima a E.

Um fato muito mais trivial é que, pelo menos em um local, a proximidade se transforma em igualdade exata. Um plano de evidência para esta afirmação é apresentado no final do artigo.

Objeto universal no mundo das redes rodoviárias

Imagine que o movimento nas duas direções seja permitido ao longo de cada linha horizontal e vertical. É improvável que pelo menos uma cidade no mundo possa se orgulhar de uma rede rodoviária, mas, como um objeto matemático, é bastante real e, além disso, possui a propriedade útil da Universalidade: ela contém qualquer outra rede rodoviária do tipo Manhattan como sua sub-rede. Cada colocação de ondas verdes na Rede Universal que possui uma eficiência menor D (induz) gera em cada sub-rede sua colocação de ondas verdes com uma eficiência menor ou igual a D. Como resultado, a eficiência menor de qualquer rede de estradas do tipo Manhattan é maior ou igual ao valor da eficiência menor para Rede universal.

A principal intriga agora está na questão: a eficiência de minirados da Rede Universal é igual a zero e, se não, qual é o seu verdadeiro valor?

Pontuação máxima

A eficiência múltipla de qualquer colocação de ondas verdes na Universal Road Network não excede 1/4.

A prova é suficiente para conter apenas esses locais, cada um dos quais usa todas as estradas com a mesma eficiência (declaração 1 do parágrafo anterior). Escolhemos arbitrariamente um desses arranjos e designamos sua eficácia como δ (período T = 1). Cada corrente deste arranjo é composta por zonas negras alternadas de comprimento δ e zonas brancas de comprimento 1 - δ. Construímos faixas de sombra vermelhas para quaisquer duas correntes próximas do local selecionado. Na interseção, essas faixas formam um padrão quadriculado, um fragmento do qual você pode ver na Figura 18.


Fig. 19

A célula unitária desse padrão terá a forma de um quadrado com uma diagonal de comprimento unitário e suas listras vermelhas cruzarão qualquer linha reta horizontal ou vertical ao longo de um segmento de tamanho δ.

As zonas negras dos fluxos descendentes só podem ser localizadas dentro das células brancas-brancas; portanto, cada linha vertical deve ter uma área de interseção com células brancas-brancas de comprimento maior ou igual a δ. A posição menos vantajosa, deste ponto de vista, é para as linhas que passam exatamente no meio entre as diagonais verticais dos quadrados brancos (Figura 20).


Fig. 20

Denotando x os comprimentos dos segmentos ao longo dos quais cada uma dessas linhas se cruza com as células brancas-brancas e usando a semelhança de triângulos, obtemos a equação:

x + δ = 1/2. De onde, dada a desigualdade x ≥ δ, encontramos δ ≤ 1/4.

Limite inferior

A multiplicidade de eficácia da Rede Rodoviária Universal é maior ou igual a 1/6.

Consequência:
em qualquer rede de estradas do tipo Manhattan, não importa quão densa e não periódica, sempre haverá uma colocação de ondas verdes com uma eficiência menor ou igual a 1/6.

Na Rede Universal, consegui rastrear a localização das ondas verdes com eficiência de 1/6. O padrão quadriculado de geração desse arranjo é mostrado na Figura 21:


Fig. 21

Como pode ser visto na Figura 21, qualquer linha vertical em seu caminho cruzará necessariamente um dos retângulos vermelho-vermelho ao longo do maior segmento possível, cujo comprimento é de apenas 1/6. Juntamente com a periodicidade do padrão, isso serve como prova de que a eficiência de todos os fluxos direcionados para baixo é igual a 1/6. Para fluxos de outras direções, a eficiência também é igual a 1/6, o que pode ser feito usando a simetria do padrão quadriculado.


Fig. 22

Um bom desafio de pesquisa:

qual é o verdadeiro significado da eficiência multiponto da Rede Universal?
Esta pergunta pode ser respondida usando programação linear - o programa será bastante complicado, mas com um número modesto de restrições. Seria interessante encontrar o valor da eficiência de alguma maneira elegante. Talvez um de vocês consiga executar essa tarefa.

Obrigado pela atenção e boa sorte!
Sergey Kovalenko.

2019 ano.

magnolia@bk.ru