Esses jogos combinam emaranhamento quântico, infinito e a impossibilidade de calcular a probabilidade de vitória. Mas se os pesquisadores conseguirem descobrir isso, eles nos revelarão os profundos segredos da matemática.
Na década de 1950, quatro entusiastas da matemática do Exército dos EUA usaram calculadoras eletrônicas primitivas
para calcular a melhor estratégia de blackjack. Seus resultados foram
publicados posteriormente no jornal da Associação Estatística Americana e descreviam as melhores decisões que um jogador pode tomar em qualquer situação do jogo.
No entanto, essa estratégia, que os entusiastas do jogo mais tarde chamam de "regras" [o livro], não garante a vitória de um jogador. O blackjack, além de paciência, damas ou muitos outros jogos, tem um certo "teto" para a porcentagem de jogos que um jogador pode vencer, mesmo que ele jogue perfeitamente todas as vezes.
No entanto, existem jogos especialmente estranhos nos quais, em princípio, é impossível calcular a probabilidade máxima de vitória. Em vez disso, matemáticos e cientistas da computação estão tentando determinar se é possível, pelo menos, fornecer uma estimativa aproximada da porcentagem de ganhos para esses jogos. E a existência dessa possibilidade depende da compatibilidade de duas abordagens muito diferentes da física.
Tais jogos "não-locais" foram inventados pela primeira vez em 1960 pelo físico
John Stuart Bell , tentando entender um fenômeno
quântico tão estranho como
o entrelaçamento quântico . Embora a confusão seja uma coisa complicada, jogos não locais são inerentemente simples. Existem dois jogadores, cada um com uma pergunta simples. Eles vencem se suas respostas estiverem conectadas de uma certa maneira. Infelizmente, eles não podem se comunicar, então precisam adivinhar a resposta do outro. Bell provou que, se os jogadores podem usar pares de partículas quânticas emaranhadas, eles podem melhorar a correlação de respostas e vencer jogos com mais frequência do que o esperado.
Nos últimos anos, os pesquisadores desenvolveram o trabalho de Bell, sobre o qual já escrevemos no artigo "
Jogos quânticos simples revelam a complexidade primária do universo ". O trabalho de William Slofstra de 2016 e Andrea Coladangelo e Yaleks Stark de 2018 provou que em alguns jogos não locais o padrão é observado - quanto mais pares de partículas emaranhadas os jogadores têm, melhor eles jogam. E essa relação é mantida no infinito, ou seja, para o melhor jogo possível, os jogadores precisarão de um número infinito de pares de partículas (ou partículas com um número infinito de propriedades independentes).
Uma das conseqüências desses resultados é que é impossível calcular a probabilidade de uma porcentagem máxima de vitórias para alguns jogos não locais. Os computadores não funcionam com quantidades infinitas; portanto, se uma estratégia ideal exigir um número infinito de partículas emaranhadas, o computador não poderá calcular com que freqüência a estratégia se justifica.
"Não existe um algoritmo generalizado que você possa inserir uma descrição do jogo e obter uma resposta na forma da probabilidade de uma porcentagem máxima de ganhos", disse
Henry Yuyen , especialista em ciência da computação teórica da Universidade de Toronto.
Mas se não soubermos a probabilidade exata da porcentagem máxima de ganhos, não podemos calculá-la com pelo menos algum erro?
Os matemáticos estão trabalhando ativamente nessa questão. Curiosamente, o sucesso deles depende da compatibilidade de duas abordagens muito diferentes da física.
Lembre-se de que jogadores em um jogo não local não podem coordenar as respostas. Existem duas maneiras de conseguir isso. O primeiro é isolá-los fisicamente um do outro, colocando-os em salas diferentes ou em diferentes extremos do universo. O isolamento espacial garante nenhuma comunicação. Os pesquisadores analisam essa situação usando o modelo de
produto tensorial .
No entanto, existe outra maneira de impedir que os jogadores conspirem. Em vez de separá-las, outro requisito pode ser apresentado: a sequência na qual dois jogadores medem partículas emaranhadas e dão uma resposta não pode afetar suas respostas. "Se a ordem em que eles fazem as medições não importa, eles obviamente não podem se comunicar", disse Yuyen.
Quando a ordem das ações em matemática não afeta a resposta, eles dizem que a operação é comutativa: a × b = b × a. Essa abordagem para jogos não locais - baseada na independência da sequência, e não na separação espacial - é chamada de modelo de "operador pendular".
O produto dos tensores e o operador pendular são utilizados na física, especialmente quando se estuda interações de partículas subatômicas na teoria quântica de campos. Esses modelos são duas abordagens diferentes para o raciocínio sobre a independência causal dos fenômenos físicos. E embora o modelo do produto dos tensores seja mais intuitivo - geralmente imaginamos a causa como separação espacial - o modelo do operador pendular fornece uma plataforma matemática mais lógica. Isso ocorre porque a "independência espacial" é uma idéia vaga, e a relação de deslocamento pode ser claramente descrita.
"Para as pessoas que estudam a teoria quântica de campos, o conceito de separação espacial de objetos não é natural", disse Yuyen. "No nível matemático, nem sempre é possível colocar duas coisas independentes em dois lugares separados do Universo."
E aqui está como tudo se relaciona com jogos não locais.
Os cientistas da computação podem usar o modelo de produto tensorial para calcular a probabilidade mínima da porcentagem máxima de ganhos. O algoritmo que eles usam garante que essa probabilidade esteja acima de um determinado limite. Da mesma forma, os pesquisadores podem usar o modelo de operador de comutação para limitar a probabilidade de cima. Esse algoritmo garante que a probabilidade não exceda um determinado limite.
Com essas ferramentas, os pesquisadores querem aproximar essas limitações de dois pistões. Eles sabem que é impossível entrar em contato com esses limites e fornecer o valor único e exato da probabilidade da porcentagem máxima de ganhos - em um trabalho recente de Slofstra, Coladangelo e Stark provou que é impossível calcular a probabilidade exata - mas quanto mais próximos eles forem, mais precisamente eles poderão determinar essa probabilidade.
De fato, quanto mais esses algoritmos funcionarem, mais próximos os dois pistões se aproximam, dando uma aproximação cada vez mais precisa à média inexprimível que eles nunca alcançarão. No entanto, não está claro se essa aparente convergência será observada para sempre. “Esses algoritmos são completamente misteriosos. Esta não é uma melhoria gradual e suave dos valores. Nós simplesmente não entendemos o quão rápido eles se aproximam ”, disse Yuyen.
A estratégia do pistão é baseada na equivalência dos dois modelos. Ela sugere que os limites superior e inferior diminuem a média. Se esses dois modelos forem realmente equivalentes, os dois pistões se reunirão a uma distância arbitrariamente pequena. E vice-versa, se você provar que os dois pistões se reunirão a uma distância arbitrariamente pequena, isso provará a equivalência dos modelos.
No entanto, é possível que esses dois modelos não sejam formas diferentes de designar a mesma coisa. É possível que sejam incomensuráveis e, no final, o limite superior caia abaixo do limite inferior. Então, os cientistas da computação perderão sua melhor estratégia de aproximação de probabilidade. Infelizmente, ninguém sabe ao certo.
Nos últimos anos, o maior progresso é expresso por duas evidências, que demonstram apenas a complexidade de toda a tarefa.
Em 2018,
Thomas Vidik e
Anand Natarajan provaram que estimar as probabilidades da porcentagem máxima de vitórias em um jogo não local é pelo menos tão difícil quanto resolver tarefas insanamente complexas, como o problema do vendedor ambulante. No mesmo ano, Yuyen, Vidik, Joseph Fitsimons e
Zhengfeng Ji provaram que, no processo de reaproximação do pistão, os recursos de computação necessários para sua reaproximação aumentam exponencialmente.
Outra reviravolta na história - a questão da equivalência de modelos é uma analogia direta do importante e complexo problema aberto da matemática chamado de hipótese de incorporabilidade de Connes. Essa situação coloca matemáticos e cientistas da computação em uma posição em que você pode matar três coelhos com uma cajadada só. Tendo provado a equivalência dos modelos de produto tensorial e do operador pendular, eles receberão imediatamente um algoritmo para calcular as probabilidades da porcentagem máxima de ganhos e determinar a verdade da hipótese de Conn. Tal conquista merece reconhecimento em todas as áreas relacionadas a ela.
Seria apropriado dizer que todas essas questões estão profundamente enredadas entre si.