O mais belo teorema da matemática: a identidade de Euler

Depois de assistir a uma palestra do professor Robin Wilson sobre a identidade de Euler, finalmente pude entender por que a identidade de Euler é a equação mais bonita. Para compartilhar minha admiração por esse tópico e fortalecer meu próprio conhecimento, descreverei as anotações feitas durante a palestra. E aqui você pode comprar seu livro maravilhoso.

O que poderia ser mais misterioso do que a interação de números imaginários com números reais, resultando em nada? Esta pergunta foi feita por um leitor do Physics World em 2004 para enfatizar a beleza da equação de Euler "e em graus i vezes pi é igual a menos um" .


Figura 1.0 : Identidade de Euler - e em graus i vezes pi, mais um é zero.

Antes, em 1988, o matemático David Wells, que escreveu artigos para o jornal matemático americano The Mathematical Intelligencer , compilou uma lista de 24 teoremas matemáticos e conduziu uma pesquisa pedindo aos leitores de seu artigo que escolhessem o teorema mais bonito. E depois que a equação de Euler venceu por uma ampla margem, recebeu o título de "a equação mais bonita da matemática".


Figura 2.0 : A capa da revista Mathematical Intelligencer


Figura 3.0 : Pesquisa de David Wells em uma revista

Leonhard Euler é chamado de matemático mais produtivo da história. Outros matemáticos destacados foram inspirados por seu trabalho. Um dos melhores físicos do mundo, Richard Feynman, em suas famosas palestras sobre física, chamou a equação de Euler de "a fórmula mais notável da matemática" . Outro matemático fantástico, Michael Atiyah, chamou essa fórmula de "... a contrapartida matemática da frase de Hamlet" de ser ou não ser "- muito curta, muito concisa e ao mesmo tempo muito profunda" .

Há muitos fatos interessantes sobre a equação de Euler. Por exemplo, foi encontrado em alguns episódios de Os Simpsons.


Figura 4.0 : Nesta cena, a equação de Euler pode ser vista no segundo livro na pilha mais à direita.


Figura 5.0 : Nesta cena, a equação de Euler está escrita em uma camiseta de caráter secundário.

Além disso, a equação de Euler se tornou um ponto-chave no processo criminal . Em 2003, um estudante de graduação do Instituto de Tecnologia da Califórnia, Billy Cottrell, pintou a equação de Euler em carros esportivos de outras pessoas. No julgamento, ele disse: " Conheço o teorema de Euler desde os cinco anos e todos devem conhecê-lo ".


Figura 6.0 : Um selo emitido em 1983 na Alemanha em comemoração ao bicentenário da morte de Euler.


Figura 7.0 : Um selo emitido pela Suíça em 1957 em homenagem ao 250º aniversário de Euler.

Por que a equação de Euler é tão importante?

Você tem todo o direito de se perguntar: por que Billy Cottrell achava que todos deveriam saber sobre a equação de Euler? E tinha tanta certeza disso que ele começou a escrever nas máquinas de outras pessoas? A resposta é simples: Euler usou as três constantes fundamentais da matemática e aplicou as operações matemáticas de multiplicação e exponenciação para escrever uma fórmula bonita, resultando em zero ou menos uma.

• A constante e está relacionada às funções de potência.
• A constante i não é real, mas um número imaginário igual à raiz quadrada de menos um.
• A famosa constante π (pi) está conectada com círculos.

A identidade de Euler apareceu pela primeira vez em 1748 em seu livro Introductio in analysin infinitorum . Mais tarde, outras pessoas viram que essa fórmula está associada às funções trigonométricas do seno e do cosseno, e essa conexão é incrível, porque a função de poder tende ao infinito e as funções trigonométricas variam de -1 a -1.

e ao poder de i vezes ϕ (phi) = cos ϕ + i * sin ϕ

Figura 8.0 : função exponencial y = e ^x .


Figura 8.1 : Gráfico de identidade de Euler.


Figura 8.2 : Frequências emitidas pelo circuito LC.

As equações e gráficos mostrados acima podem parecer abstratos, mas são importantes para os cálculos da física quântica e do processamento de imagens e, ao mesmo tempo, dependem da identidade de Euler.

1: número da conta

O número 1 (unidade) é a base do nosso sistema de cálculo. Com ela, começamos a contar. Mas o que pensamos? Para contar, usamos os dígitos de 0 a 9 e um sistema de dígitos que determina o valor do dígito.

Por exemplo, o número 323 significa 3 centenas, 2 dezenas e 3 unidades. Aqui, o número 3 desempenha dois papéis diferentes, que dependem de sua localização.

323 = (3 * 100) + (2 * 10) + (3 * 1)

Existe outro sistema de cálculo chamado binário. Nesse sistema, a base 2 é usada em vez de 10. É amplamente usada em computadores e programação. Por exemplo, em um sistema binário:

1001 = (2 ³ ) + (0 ² ) + (0 ¹ ) + (2 ⁰ ) = [9 em um sistema com base 10]

Quem criou o sistema de cálculo? Como as primeiras pessoas contaram objetos ou animais?

Como nossos sistemas de cálculo surgiram? O que as primeiras civilizações pensaram? Temos certeza de que eles não usaram nosso sistema de bits. Por exemplo, há 4000 anos, os antigos egípcios usavam um sistema numérico com símbolos diferentes. No entanto, eles combinaram os caracteres para criar um novo caractere para números.


Figura 11 : os hieróglifos mostrados aqui formam o número 4622; este é um dos números gravados na parede do templo em Karnak (Egito).


Figura 12 : Hieróglifos são imagens que representam palavras e, neste caso, números.

Ao mesmo tempo, mas em outro lugar, outra sociedade descobriu um método de contagem, mas também foram utilizados símbolos. Além disso, a base de seu cálculo era 60, e não 10. Usamos o método de contagem para determinar o tempo; portanto, 60 minutos em um minuto e 60 minutos em uma hora.


Figura 13 : Números babilônicos de um sistema numérico hexadecimal (com base 60).

Mil anos depois, os romanos antigos inventaram os números romanos. Eles usaram letras para indicar números. A notação romana não é considerada um sistema de bits, porque, para muitos valores do nosso sistema numérico, foram usadas letras diferentes. É por esse motivo que eles usaram um ábaco para contar.


Figura 14 : Ábaco romano no sistema numérico hexadecimal (com base 16)


Figura 15 : Tabela de conversão de árabe para romano

Os gregos antigos também não usavam o sistema de dígitos. Os matemáticos gregos denotavam números por letras. Eles tinham letras especiais para números de 100 a 900. Muitas pessoas na época consideravam os números gregos confusos.


Figura 15 : Tabela de letras em grego antigo.

Ao mesmo tempo, matemáticos chineses começaram a usar pequenas varas de bambu para cálculos. Esse método de contagem chinês é chamado de sistema da primeira casa decimal.


Figura 16 : Forma chinesa de contar com números de bastão. Usado pelo menos desde 400 aC. O tabuleiro quadrado de contagem foi utilizado até cerca de 1500, quando foi substituído por um ábaco.

No entanto, o sistema de contas mais exclusivo foi usado pelos índios maias. O sistema numérico deles tinha uma base de 20. Para indicar números de 1 a 19, eles usavam pontos e linhas. Qual foi a diferença entre o sistema numérico? Para cada número, usavam imagens de cabeça e um símbolo zero separado 0.


Figura 17: O sistema numérico maia com base 20, em que os números são indicados por cabeças


Figura 18 : Outra maneira de escrever números maias.

0: número para indicar nada

Algumas civilizações usavam espaços para, por exemplo, distinguir o número 101 de 11. Depois de algum tempo, um número especial começou a aparecer - zero. Por exemplo, em uma caverna na cidade indiana de Gwalior, os arqueólogos encontraram no muro o número 270, no qual havia zero. O primeiro uso registrado de zero pode ser visto na biblioteca Bodleian.


Figura 19 : O círculo esculpido na parede do templo em Gwalior indica zero. Ele tem cerca de 1.500 anos.


Figura 20 : pontos pretos no manuscrito de Bakhshali indicam zeros; este é o exemplo escrito mais antigo do uso de números, tem cerca de 1800 anos.

Cerca de 1400 anos atrás, as regras para computação com zero foram escritas. Por exemplo, adicionar um número negativo e zero produz o mesmo número negativo. A divisão por zero não é permitida, porque, se dividida por zero, obtemos um número que pode ser igual a qualquer número necessário, o que deve ser proibido.

Logo depois, muitas pessoas publicaram livros sobre aritmética que espalharam o uso da notação indo-árabe de números. Abaixo está a evolução dos números indo-árabes. A maioria dos países usa o sistema numérico indo-árabe, mas os países árabes ainda usam números arábicos.


Figura 21 : Este diagrama mostra a evolução dos números, originários dos números de Brahmi e terminando com os números que usamos hoje.


Figura 22 : Uma gravura clássica "Aritmética" da Margarita Philosophica de Gregor Reish, que mostra uma competição entre Boécio, sorrindo após a descoberta de números indo-árabes e cálculos escritos, e o franzido de Pitágoras, ainda tentando usar um quadro numérico.

Pi (π): o número irracional mais famoso

Pi é o número irracional mais popular conhecido por nós. O Pi pode ser encontrado de duas maneiras: calculando a razão da circunferência de um círculo em relação ao seu diâmetro ou a razão da área de um círculo em relação ao quadrado do raio. Euclides provou que essas relações são constantes para todos os círculos, mesmo para a lua, centavo, pneu, etc.

π = círculo / diâmetro OR π = área / raio do círculo²

Figura 22 : Relação animada entre círculo e diâmetro em relação ao pi.

Como números irracionais como pi são infinitos e não têm repetição, nunca terminaremos de escrever pi. Isso continua para sempre. Há pessoas que se lembram de muitas casas decimais pi (o registro atual é de 70.000 dígitos! Fonte: Guinness Book of Records ).


Figura 23 : Dados da pesquisa de 941 participantes para determinar a porcentagem de pessoas que conseguem se lembrar dos caracteres pi após o ponto decimal.


Figura 24 : Centenas de descargas de pi são registradas na parede da estação de metrô Karlsplatz, em Viena.

Atualmente, os computadores conseguiram calcular um total de 2,7 trilhões de bits pi. Pode parecer muito, mas na verdade esse caminho é interminável.

Como eu disse acima, o número pi encontrou Euclides. Mas o que as pessoas fizeram antes de Euclides quando precisaram encontrar a área de um círculo? Os historiadores descobriram uma tábua de argila da Babilônia, na qual foi registrada a proporção entre o perímetro do hexágono e o diâmetro do círculo descrito ao seu redor. Após os cálculos, o número resultante acabou sendo 3,125. É muito perto de pi.


Figura 24 : Tabuleta de argila babilônica com a razão entre o perímetro do hexágono e o comprimento do círculo circunscrito.


Figura 25 : Guerreiro numérico

Os antigos egípcios também chegaram perto do significado de pi. Historiadores descobriram um documento mostrando como os antigos egípcios encontraram o número pi. Quando os historiadores traduziram o documento, encontraram a seguinte tarefa:

Por exemplo, para encontrar a área de um campo com um diâmetro de 9 chapéus (1 chapéu = 52,35 metros), é necessário executar o seguinte cálculo:

Subtraia 1/9 do diâmetro, ou seja, 1. O restante é 8. Multiplique por 8, o que nos dá 64. Portanto, a área será 64 setjat (unidade de área).

Em outras palavras, o diâmetro é 2r e 1/9 do raio é (1/9 • 2r). Então, se subtraímos isso do diâmetro inicial, obtemos 2r - (1/9 • 2r) = 8/9 (2r). Então a área do círculo é 256/81 r². Ou seja, pi é quase 3,16. Eles descobriram esse valor pi cerca de 4.000 anos atrás.

Figura 26 : Papiro matemático de Achmes .

No entanto, matemáticos gregos encontraram uma maneira melhor de calcular pi. Por exemplo, Arquimedes preferiu trabalhar com perímetros. Ele começou a desenhar círculos descrevendo polígonos de tamanhos diferentes. Quando ele desenhou o hexágono, ele desenhou um círculo com um diâmetro de 1. Então ele viu que cada lado do hexágono é 1/2 e o perímetro do hexágono é 1/2 x 6 = 3. Então, ele aumentou o número de lados do polígono até que parecesse um círculo . Trabalhando com um polígono de 96 lados e aplicando o mesmo método, ele recebeu 2 casas decimais pi após o ponto decimal: 3 e 10/71 = 3,14084. Muitos anos depois, o matemático chinês Liu Hu usou um polígono de 3072 lados e obteve o número 3,14159 (5 dígitos decimais válidos de pi após o ponto decimal). Depois disso, outro matemático chinês Zu Chunzhi fez um trabalho ainda mais impressionante. Ele trabalhou com um polígono de 24000 lados e obteve 3,1415926 - sete dígitos decimais válidos pi após o ponto decimal.

Mil anos depois, o matemático alemão Ludolf Zeilen trabalhou com 2 polígonos de 62 faces e recebeu 35 dígitos decimais pi. Esse número, chamado Lyudolfov, estava gravado em sua lápide.




Em 1706, o inglês John Machin, que havia sido professor de astronomia há muito tempo, usou a fórmula de adição para provar que pi é igual a


Não preocupado com a origem dessa fórmula, Macin começou a usá-la constantemente e depois anotou a série mostrada abaixo. Esse foi o maior passo da época no número de dígitos pi.


Figura 29 : Fórmula de Machin para pi

No entanto, a primeira menção de pi apareceu em 1706. O professor de matemática William Jones escreveu um livro e primeiro propôs pi para medir círculos. Então, pi apareceu pela primeira vez nos livros!




Figura 30 : Juliabloggers

Em 1873, William Shanks usou a fórmula de John Machin e recebeu 707 dígitos decimais pi. Esses números estão escritos na sala do Palácio das Descobertas de Paris. No entanto, matemáticos posteriores descobriram que apenas 527 dígitos eram verdadeiros.


Figura 31 : sala pi

Por outro lado, Buffon descobriu uma maneira mais interessante de encontrar pi. Seu experimento foi baseado em agulhas de espalhamento aleatório para avaliar pi. Ele desenhou várias linhas paralelas no quadro a uma distância D e pegou agulhas de comprimento L. Então, aleatoriamente, começou a jogar agulhas no quadro e anotou a proporção de agulhas cruzando a linha.


Figura 32.0 : Sexta-feira científica

E depois disso, outro matemático chamado Lazzarini jogou a agulha 3408 vezes e recebeu seis dígitos decimais pi com uma proporção de 355/113. No entanto, se uma agulha não cruzasse a linha, ele receberia apenas 2 dígitos pi.


Figura 32.1 : Arremessando 1000 agulhas para estimar o pi aproximado

e: histórico de crescimento exponencial

e é outro número irracional famoso. A parte fracionária e também é infinita, como pi. Usamos o número e para calcular o crescimento de potência (exponencial). Em outras palavras, usamos e quando vemos um crescimento muito rápido ou diminuímos.

Um dos maiores, e talvez o melhor matemático, Leonard Euler descobriu o número e em 1736 e mencionou pela primeira vez esse número especial em seu livro Mechanica .



Figura 33 : fonte

Para entender o crescimento exponencial, podemos usar a história de um inventor de xadrez. Quando ele criou esse jogo, ele o mostrou ao governante do norte. O rei gostou do jogo e prometeu que daria ao autor qualquer recompensa. Então, o inventor pediu algo muito simples: 2 ⁰ grãos por primeira célula de um tabuleiro de xadrez, 2 ¹ grãos por segunda célula de um tabuleiro, 2 ² grãos por terceiro e assim por diante. Cada vez, a quantidade de grãos dobrava. O rei do Norte achou que o pedido seria fácil, mas ele estava enganado, porque seria necessário colocar 2 ⁶³ grãos na última célula, que é 9 223 372 036 854 775 808 . Este é um crescimento exponencial. Começou em 1, dobrou constantemente e, após 64 etapas, tornou-se um grande número!

Se um inventor de xadrez escolhesse uma equação linear, por exemplo, 2n, ele obteria 2, 4, 6, 8, ... 128 ... Portanto, a longo prazo, o crescimento exponencial geralmente excede em muito o polinômio.

A propósito, 9.223.372.036.854.775.808-1 é o valor máximo de um número inteiro assinado de 64 bits .

Figura 34 : fonte: Wikipedia

O número e foi descoberto por Euler. No entanto, Jacob Bernoulli também trabalhou com o número e quando calculou os juros compostos para ganhar mais dinheiro. Se você investir US $ 100 a 10% da renda, como esse valor aumentará? Em primeiro lugar, depende da frequência com que o banco calcula os juros. Por exemplo, se ele calcular uma vez, receberemos US $ 110 no final do ano. Se mudarmos de idéia e nos interessarmos a cada 6 meses, nesse caso, receberemos mais de 110 dólares. O fato é que o percentual recebido nos primeiros 6 meses também receberá seu percentual. O valor total será igual a 110,25 dólares. Você pode adivinhar que podemos obter mais dinheiro se recebermos dinheiro a cada trimestre do ano. E se reduzirmos o intervalo de tempo, os valores finais continuarão a crescer. Um interesse composto tão infinito nos tornará ricos! No entanto, nossa receita total tende ao valor limitado associado a e .

Bernoulli não ligou para o número 2.71828 com o nome e . Quando Euler trabalhou com 2.71828, ele elevou a função exponencial e à potência de x . Ele descreveu suas descobertas no livro The Analysis of Infinite .

Em 1798, Thomas Malthus usou a função exponencial em seu ensaio sobre a deficiência nutricional do futuro. Ele criou um gráfico de linhas mostrando a produção de alimentos e um gráfico exponencial mostrando a população mundial. Malthus concluiu que, a longo prazo, o crescimento exponencial triunfará e o mundo está enfrentando uma grave escassez de alimentos. Esse fenômeno foi chamado de "catástrofe malthusiana". Newton também usou esse modelo para mostrar como uma xícara de chá esfria.


Figura 35 : Lei de Newton-Richmann


Figura 36 : Desastre malthusiano

Número imaginário: i, raiz quadrada -1

Durante muito tempo, os matemáticos tinham números comuns suficientes para resolver seus problemas. No entanto, em algum momento de seu desenvolvimento, eles precisavam descobrir algo novo e misterioso.Por exemplo, o matemático italiano Cardano tentou dividir o número 10 em 2 partes, cujo produto seria 40. Para resolver esse problema, ele escreveu a equação: x (10-x) = 40. Quando resolveu essa equação quadrática, obteve duas soluções: 5 mais √-15 e 5 menos √-15, que na época não faziam sentido. Esse resultado não teve sentido, porque, pela definição da raiz quadrada, ele precisava encontrar um número cujo quadrado seria negativo. No entanto, os números positivo e negativo ao quadrado têm um valor positivo. Seja como for, ele encontrou seu número único. No entanto , Euler foi o primeiro matemático a chamar √-1 (a raiz quadrada de menos um) do número imaginário i .

Leibniz fez um comentário sobre o número imaginário √-1:

Números complexos são um refúgio maravilhoso e maravilhoso do espírito divino, quase um anfíbio do nada.

Podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números imaginários. Adição, subtração e multiplicação são simples e a divisão é um pouco mais complicada. As partes reais e imaginárias são dobradas separadamente. No caso de multiplicação, i ² será igual a -1.

Depois de Euler, o matemático Caspar Wessel introduziu números imaginários geometricamente e criou um plano complexo. Hoje, representamos cada número complexo a + bi como um ponto com coordenadas (a, b).



Figuras 37 e 38 : números complexos

Na era vitoriana, muitos suspeitavam de números imaginários. No entanto, o matemático e astrônomo irlandês William Rowan Hamilton acabou com essas dúvidas ao definir números complexos aplicados aos quaterniões .

A equação mais bonita: a identidade de Euler

A identidade de Euler conecta uma função exponencial às funções seno e cosseno cujos valores variam de menos um a um. Para encontrar uma conexão com funções trigonométricas, podemos representá-las como uma série infinita, verdadeira para todos os valores



Figura 39 : Descoberta da identidade de Euler


Figura 40 : Identidade de

Euler Euler nunca registrou essa identidade explicitamente, e não sabemos quem a registrou primeiro. No entanto, associamo-lo ao nome de Euler em deferência a esse grande pioneiro da matemática.