Introdução à Teoria dos Conjuntos

O conceito de infinito está ideologicamente longe da terminologia matemática comum - nenhum outro tópico vai além da matemática de tal maneira que passa de uma ferramenta prática e analítica para um fenômeno de ordem mítica. O conceito de infinito em poucos passos com temas culturais como religião e filosofia, e está envolto em uma aura misteriosa de divindade.

Era uma vez, uma crença fundamental foi estabelecida em todas as disciplinas acadêmicas - existe apenas um infinito .

Mas em 1874, um matemático bastante pouco conhecido fez uma série de observações revolucionárias que lançavam dúvidas sobre essa crença universalmente aceita e profundamente enraizada. Georg Cantor, em sua publicação (agora lendária) Sobre uma propriedade da coleção de todos os números algébricos reais, provou que muitos números reais são "mais numerosos" do que muitos números algébricos. Então ele mostrou pela primeira vez que existem conjuntos infinitos de tamanhos diferentes (não se preocupe - para esclarecer isso, em breve estudaremos o artigo em detalhes).


“Muita coisa permite que você se perceba como um” - Georg Cantor

De 1874 a 1897, Cantor publicou veementemente artigo após artigo, expandindo sua teoria dos conjuntos abstratos para uma disciplina florescente. No entanto, ela foi recebida com resistência e críticas obstinadas; muitos pedantes acreditavam que suas teorias entraram no campo da filosofia e violaram o princípio da religião.

No entanto, quando começaram a ser encontradas aplicações práticas da análise matemática , a atitude em relação à teoria mudou, e as idéias e os resultados de Cantor começaram a ganhar reconhecimento. Na primeira década do século XX, suas observações, teorias e publicações atingiram seu ponto culminante - o reconhecimento da moderna teoria dos conjuntos como um novo campo completamente único da matemática:

A teoria dos conjuntos é uma teoria matemática sobre conjuntos (conjuntos) precisamente definidos de objetos individuais chamados membros ou elementos de um conjunto.

Quantos números estão entre 0 e 1?

A primeira publicação de quatro páginas e meia da Cantor é um excelente exemplo de brevidade. É dividido em duas evidências separadas, levando conjuntamente à conclusão de que existem pelo menos dois tipos únicos de conjuntos.

Na primeira parte da teoria, estudamos o conjunto de números algébricos reais e provamos que é um conjunto contável infinito . Não deve ser confundido - "contar" não significa necessariamente que a conta seja mantida estritamente em números inteiros; no contexto da teoria dos conjuntos, “contável” significa que um conjunto, mesmo que consistindo em um número infinito de elementos, pode ser descrito por uma série repetida, por exemplo, uma função polinomial ordenada . Cantor chamou essa propriedade de um conjunto infinito de números de correspondência um por um com uma série, a presença de uma correspondência um por um .

Em resumo, o conjunto ou conjunto de todos os números algébricos reais pode ser derivado usando algumas séries teóricas de polinômios com vários graus e coeficientes; portanto, o conjunto de todos os números algébricos reais é um conjunto contável infinito .

Na segunda parte do trabalho de Cantor , é analisado o papel de números complexos reais, também chamados de números transcendentais . Os números transcendentais (cujos melhores exemplos são pi e e) têm uma propriedade curiosa: é matematicamente impossível derivá-los usando uma função polinomial - eles não são algébricos. Independentemente da magnitude, número de partes, graus ou coeficientes, nenhuma série pode contar pi em sua coleção de um conjunto contável infinito.

Kantor indica que em qualquer intervalo fechado [ a , b ] existe pelo menos um número transcendental que nunca pode ser contado em um conjunto contável infinito. Como existe um desses números, supõe-se que na família de números reais exista um número infinito de números transcendentais.

Assim, ele provou uma diferença muito clara entre o conjunto de números incontáveis ​​e contínuos e contínuos e o conjunto de números contáveis, que podem ser representados como uma série, por exemplo, de todos os números algébricos reais.

Próximo: gravação e operações

A primeira publicação de Cantor culminou nessa confirmação impressionante da existência de pelo menos dois tipos diferentes de infinito. Após seu primeiro artigo, uma enxurrada de acréscimos apareceu, lenta mas seguramente, abrindo o caminho para a moderna teoria dos conjuntos.


Também vale a pena compartilhar uma observação interessante: a maioria das pessoas que usa a teoria dos conjuntos na prática, em vez de valorizar esse teorema em particular, mas a linguagem generalizada que define. Devido à sua natureza abstrata, a teoria dos conjuntos afeta secretamente muitas áreas da matemática. Na análise matemática, que requer cálculo diferencial e integral, é necessário um entendimento dos limites e da continuidade das funções, finalmente fixados na teoria dos conjuntos. Na álgebra da lógica, as operações lógicas “e”, “ou” e “não” correspondem às operações de interseção, união e diferença na teoria dos conjuntos. E, por último, mas não menos importante, a teoria dos conjuntos estabelece as bases para a topologia - o estudo das propriedades geométricas e das relações espaciais.

Armado com uma compreensão básica da história dos conjuntos e tendo feito um pequeno mergulho nas profundezas de sua influência, podemos começar a nos familiarizar com o básico do sistema de notação da teoria dos conjuntos.

Parte Dois Uma breve visão geral das operações, notação e diagramas de Venn.

Como afirmado na parte anterior, uma das vantagens fundamentais da teoria dos conjuntos não surge de nenhuma teoria em particular, mas da linguagem que ela criou. É por isso que a parte principal desta seção será dedicada à notação, operações e representação visual da teoria dos conjuntos. Vamos começar explicando os símbolos básicos da notação de um conjunto - os elementos correspondentes a ele. A tabela abaixo mostra um exemplo de um conjunto A com três elementos:


A é um conjunto com os elementos "1", "2" e "3"

"1" é um elemento do conjunto A

A primeira linha mostra o conjunto A com três elementos separados ( A = {1,2,3} ); a segunda linha mostra a maneira correta de designar um elemento concreto individual 1 pertencente ao conjunto A. Até agora, tudo é bastante simples, mas a teoria dos conjuntos se torna significativamente mais interessante quando adicionamos o segundo conjunto - a jornada pelas operações padrão começa.

Para a tabela acima, vamos apresentar dois conjuntos adicionais B e C contendo os seguintes elementos: B = {3, A, B, C, D, E} , C = {1,2} . Embora tenhamos criado três conjuntos (A, B e C), nos exemplos abaixo, as operações são executadas simultaneamente com apenas dois conjuntos, portanto, tenha cuidado com os conjuntos indicados na coluna mais à esquerda . A tabela abaixo mostra os cinco operandos mais comuns de conjuntos:


Operações: interseção - o conjunto de elementos pertencentes ao conjunto A e ao conjunto B;

união - um conjunto de elementos pertencentes a um conjunto A ou B;

subconjunto - C é um subconjunto de A, o conjunto C está incluído no conjunto A;

próprio subconjunto (verdadeiro) - C é um subconjunto de A, mas C não é igual a A;

complemento relativo - um conjunto de elementos pertencentes a A e não a B.

Aqui estão elas, as operações mais comuns na teoria dos conjuntos; eles são bastante populares em áreas fora da matemática pura. De fato, é altamente provável que você já tenha visto tipos semelhantes de operações no passado, embora não exatamente com essa terminologia, e até as tenha usado. Boa ilustração: peça a qualquer aluno que descreva um diagrama de Venn de dois grupos que se cruzam e ele chegará intuitivamente ao resultado correto.

Dê uma olhada na última linha, adição relativa - que combinação incomum de palavras é essa? Em relação a quê? Se o complemento relativo A - B é definido como A e não B , como podemos denotar tudo o que não é B?

Conjunto universal - conjunto vazio

Acontece que, se queremos obter uma resposta significativa, primeiro precisamos fornecer o contexto de todo o problema do conjunto de conjuntos. Muitas vezes, é definido explicitamente no início de uma tarefa quando os elementos admissíveis do conjunto são limitados a alguma classe fixa de objetos na qual existe um conjunto universal , que é um conjunto comum que contém todos os elementos dessa tarefa em particular. Por exemplo, se gostaríamos de trabalhar com conjuntos apenas das letras do alfabeto inglês, nosso conjunto universal U consistiria em 26 letras do alfabeto.

Para qualquer subconjunto A do conjunto U, o complemento do conjunto A (indicado por A ou U - A ) é definido como o conjunto de todos os elementos na população geral U que não está em A. Se voltarmos à questão colocada acima, o complemento do conjunto B é tudo dentro do conjunto universal que não pertence a B , incluindo A.

Antes de prosseguirmos, precisamos mencionar mais um conjunto de princípios, o que é importante o suficiente para um entendimento básico: conjunto zero ou vazio . Lembre-se de que existe um único conjunto vazio e, portanto, eles nunca dizem "conjuntos vazios". Embora não consideremos a equivalência neste artigo, a teoria básica é que dois conjuntos são equivalentes se tiverem os mesmos elementos; portanto, só pode haver um conjunto sem elementos. Portanto, há um único conjunto vazio.

Diagramas de Venn e o resto

Os diagramas de Venn, oficialmente inventados em 1880 por John Venn, são exatamente o que você imagina, embora sua definição científica pareça algo assim:

Representação esquemática de todos os relacionamentos possíveis de vários conjuntos

Abaixo está uma imagem dos seis diagramas de Venn mais comuns, e quase todos eles mostram operandos recentemente estudados:


União, interseção, complemento relativo, diferença simétrica, subconjunto adequado, complemento absoluto.

Começando com uma notação muito simples para um conjunto e seus elementos, aprendemos sobre as operações básicas que nos permitiram desenhar essa dica visual. Examinamos todas as operações, exceto a diferença simétrica (canto inferior esquerdo). Para não deixar lacunas no conhecimento, dizemos que uma diferença simétrica, também chamada de união disjuntiva , é simplesmente um conjunto de elementos que estão em qualquer um dos conjuntos, mas não entram em sua interseção .

Concluímos esta seção introduzindo o conceito de poder (número cardinal) . O poder de um conjunto, denotado por um símbolo de valor absoluto, é simplesmente o número de elementos únicos contidos em um conjunto específico. Para o exemplo mostrado acima, a potência de três conjuntos é igual a: | A | = 3, | B | = 6, | C | = 2.

Antes de prosseguir, darei a você um pensamento - qual é a relação entre poder e o número de possíveis subconjuntos?

Parte 3. Conjuntos de potência e exponencial

Nas duas partes anteriores, descobrimos o básico da teoria dos conjuntos. Na terceira parte, fortaleceremos nosso entendimento, concentrando-nos na propriedade mais importante de qualquer conjunto: o número total de elementos únicos nele contidos .

O número de elementos únicos em um conjunto, também conhecido como poder , fornece um ponto de referência fundamental para uma análise mais aprofundada desse conjunto. Em primeiro lugar, poder é a primeira das propriedades únicas que estamos considerando que nos permite comparar objetivamente diferentes tipos de conjuntos, verificando se uma bijeção (isso, com algumas ressalvas, é apenas um termo mais refinado para a função ) existe de um conjunto para outro. Outra maneira de usar o poder, bem como o tópico desta parte do artigo, o poder nos permite avaliar todos os subconjuntos possíveis existentes neste conjunto . O que pode ser literalmente aplicado nos problemas cotidianos de distribuição de decisões, seja no planejamento orçamentário de uma ida a um supermercado ou na otimização de um portfólio de ações.


Exemplos de cardinalidade

Por exemplo, a tabela acima mostra cinco conjuntos separados com a força indicada à direita. Como já dissemos, o símbolo do poder se assemelha ao símbolo do valor absoluto - o valor entre duas linhas verticais. Todos os exemplos são compreensíveis, com a possível exceção da última linha, que enfatiza o fato de que apenas elementos únicos do conjunto influenciam o poder.

Lembra dos subconjuntos da parte anterior do artigo? Acontece que a cardinalidade de algum conjunto A e o número de possíveis subconjuntos de A têm uma conexão incrível. É mostrado abaixo que o número de subconjuntos que podem ser compostos de um determinado subconjunto aumenta com a ordem do poder por um valor previsível:

O número de subconjuntos possíveis em C = 2 ^{| C |}

Vamos dar uma olhada no exemplo abaixo. No entanto, para começar, vamos ponderar a fórmula. Imagine o poder como o número total de "posições", que é um conjunto. Ao criar um subconjunto para cada posição possível, é tomada uma decisão booleana (sim / não) . Isso significa que cada elemento exclusivo adicionado ao conjunto (ou seja, aumentando a potência em um) aumenta o número de subconjuntos possíveis em um fator de dois. Se você é um programador ou cientista, pode entender essa lógica um pouco mais profundamente se entender que todos os subconjuntos do conjunto podem ser calculados usando uma tabela de números binários.

Conjunto exponencial (bulean)

Antes de calcularmos todos os subconjuntos para um exemplo do conjunto C , eu gostaria de apresentar o último conceito - o Booleano .

Um bulean é indicado pela letra maiúscula S , seguida pelo conjunto inicial S (C) entre parênteses. Um booleano é o conjunto de todos os subconjuntos de C, incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto C. A tabela abaixo mostra o Booleano S (C) com todas as permutações dos possíveis subconjuntos para o conjunto C contidos em um conjunto grande.


Por conveniência de formatação, removi vírgulas entre os conjuntos ***

Como um boulean pode ser útil? De fato, você provavelmente usou booleanos intuitivamente muitas vezes sem nem perceber. Cada vez que você seleciona um subconjunto de elementos de um conjunto maior, seleciona um elemento booleano. Por exemplo, uma criança estuda cuidadosamente uma pastelaria com uma nota de US $ 5 - qual elemento do boulean do conjunto de todos os doces disponíveis ele escolherá? Ou, se você usar um exemplo mais técnico: você, como desenvolvedor de software, poderá precisar solicitar todos os possíveis usuários do banco de dados que também possuam as propriedades X e Y - outro caso em que um subconjunto é selecionado entre todos os subconjuntos possíveis.

Equivalência e função bijetiva

Agora entendemos qual é o poder do conjunto, por que é importante e sua conexão com o booleano. Portanto, voltemos brevemente ao que foi mencionado no início: o que define especificamente a equivalência na teoria dos conjuntos?

Obviamente, dois conjuntos com o mesmo poder têm alguma propriedade em comum, mas as semelhanças terminam aí - e se houver um elemento múltiplo em um dos conjuntos? E se dois conjuntos tiverem o mesmo poder e número de elementos? Não se pode negar que eles são "equivalentes" até certo ponto, mas mesmo neste caso ainda há a possibilidade de diferenças, porque cada conjunto pode ter elementos diferentes que são repetidos no mesmo número de vezes. O ponto aqui é que o conceito de equivalência na teoria dos conjuntos é um pouco estranho para outras áreas da matemática. O estabelecimento da equivalência neste mundo requer familiaridade com esse conceito e uma nova linguagem. Na última parte deste artigo, apresentamos o conceito de equivalência, bem como propriedades básicas como funções injetivas, bijetivas e surjetivas.

Parte 4. Funções.

Nesta parte, falaremos mais sobre funções na teoria dos conjuntos. Como no caso dos conceitos anteriores, a terminologia das funções padrão na teoria dos conjuntos é um pouco diferente de outras áreas da matemática e, portanto, requer explicação. Há muita terminologia, então vamos aos negócios imediatamente! A primeira tabela abaixo reflete os conceitos de um domínio de definição, um domínio de valores e um valor de função:


Uma função no mundo da teoria dos conjuntos é simplesmente a correspondência de alguns (ou todos) elementos do conjunto A para alguns (ou todos) elementos do conjunto B. No exemplo acima, o conjunto de todos os elementos possíveis de A é chamado de domínio da definição ; os elementos de A usados ​​como valores de entrada são chamados argumentos em particular. À direita, o conjunto de todos os valores possíveis de saída (chamados em outras áreas da matemática de "domínio dos valores") é chamado de co-região ; o conjunto de elementos de saída reais B correspondentes a A é chamado de imagem .

Até agora, nada realmente complicado, apenas uma nova maneira de definir parâmetros de função. Em seguida, falaremos sobre como descrever o comportamento dessas funções correspondentes usando tipos de funções comuns.

Injeção, injeção e bijeção

Em teoria dos conjuntos para se ajustar a classificação de conjuntos de comumente usados três conceitos: injeção , surjection e bijeção . Infelizmente, esses conceitos têm vários nomes diferentes que aumentam a confusão; portanto, primeiro examinaremos cada definição e, em seguida, exemplos visuais. Todos os três termos descrevem a maneira como os argumentos são mapeados nas imagens:

• Uma função é injetiva ( ou "um para um" ) se cada elemento na co-região for mapeado para não mais que um elemento na área de definição.
• , . ( .)
• , .

A cereja do bolo para essas definições complexas foram os possíveis significados adicionais das palavras “injetivo”, “surjetivo” e “bijetivo”. Quando eles são usados ​​para descrever uma função (correspondência), o valor acima será verdadeiro; no entanto, também será verdade identificar funções (correspondências) apenas por essas características. Ou seja, uma função com comportamento injetivo é chamada de injeção , uma função com comportamento subjetivo é chamada surjection e uma função com comportamento bijetivo é chamada bijection .

Leia a lista de pontos acima novamente. Uma bijeção é simplesmente uma função que satisfaz os dois requisitos anteriores; isto é, a função é injetiva eadjetivo. A função injetiva não deve ser adjetiva, e a adjetiva não deve ser injetiva. A seguir, é apresentado um exemplo visual no qual essas três classificações levaram à criação de funções definidas definidas por quatro combinações possíveis de propriedades injetivas e adjetivas:


Bijeção (injeção + injeção), injeção (injeção + não injeção), injeção (não injeção + injeção), sem classificação (não injeção + injeção)

Isso é tudo! Agora, temos uma compreensão elementar dos relacionamentos mais comuns encontrados no mundo dos conjuntos. No entanto, este não é o fim de nossa jornada: pelo contrário, este é o começo.

Os fundamentos fundamentais da teoria dos conjuntos são a chave para entender as áreas de matemática de nível superior. Para continuar nosso movimento ascendente em direção a essas várias áreas, precisaremos usar nosso conhecimento da teoria dos conjuntos para esclarecer uma das teorias mais revolucionárias da história da matemática: o sistema de axiomas de Zermelo-Frenkel .