A arte sutil da hipótese matemática

Isso não é prova, mas uma conjectura apoiada pelo conhecimento. Mas uma boa hipótese leva a matemática adiante, apontando o caminho para a obscuridade matemática.

O autor do artigo é Robert Dijkgraaf , físico teórico, especialista em teoria das cordas, diretor do Instituto de Estudos Avançados de Princeton e professor da Universidade de Amsterdã.

O alpinismo é uma metáfora popular da pesquisa matemática. É quase impossível evitar essa comparação: um mundo congelado, ar frio rarefeito, a rigidez severa do alpinismo se assemelha a uma paisagem inexorável de números, fórmulas e teoremas. Assim como um alpinista contrasta suas capacidades com um objeto inflexível - no seu caso, um muro de pedra -, um matemático muitas vezes luta na batalha da mente humana contra uma lógica rígida.

Em matemática, o papel dos picos das montanhas é desempenhado pelas grandes hipóteses - afirmações nitidamente formuladas, provavelmente verdadeiras, mas sem evidências convincentes. Essas hipóteses têm raízes profundas e amplas consequências. A busca por suas soluções é uma grande parte da matemática. A glória eterna aguarda seu primeiro conquistador.

Curiosamente, os matemáticos elevaram a formulação de hipóteses ao nível da alta arte. A ciência mais rigorosa ama as formas mais brandas. Uma declaração bem escolhida, mas não comprovada, pode tornar seu autor famoso em todo o mundo, talvez até mais do que a pessoa que oferece a prova final. A conjectura de Poincaré permanece a conjectura de Poincaré, mesmo depois de ter sido comprovada por Grigory Yakovlevich Perelman . E, afinal, o britânico George Everest, inspetor-chefe da Índia na primeira metade do século 19, nunca escalou a montanha que leva seu nome.

Como em qualquer forma de arte, uma grande hipótese deve atender a vários critérios obrigatórios. Primeiro de tudo, deve ser não trivial - difícil de provar. Os matemáticos às vezes dizem: "A tarefa só vale o trabalho se ela resistir" ou "Se a tarefa não o incomodar, provavelmente será muito fácil para você". Se uma hipótese for comprovada dentro de alguns meses, seu criador pode ter pensado um pouco mais antes de abri-la ao mundo.

A primeira tentativa de montar uma coleção abrangente dos maiores problemas matemáticos foi feita no início do século passado por David Hilbert , que é chamado o último matemático universal. Embora sua lista de 23 questões tenha sido bastante influente, olhando para trás, ele nos parece bastante confuso.

Inclui favoritos universais de longa data, como a hipótese de Riemann - geralmente considerada o maior dos grandes, permanecendo o Everest para os matemáticos por mais de cem anos. Quando perguntado a Hilbert o que ele gostaria de saber primeiro, acordando depois de um sonho de 500 anos, ele imediatamente se lembrou dessa hipótese. Ele descreve a noção intuitiva básica da distribuição de números primos - átomos de aritmética - e sua prova terá vastas implicações para muitos ramos da matemática.

Hilbert, porém, listou objetivos muito mais vagos e não rigorosos, como "um estudo matemático dos axiomas da física" ou "o desenvolvimento de métodos de cálculo de variações ". Uma das hipóteses sobre a composição igual de poliedros de tamanho igual foi decidida por seu aluno Max Dan no mesmo ano em que a lista foi publicada. Muitos dos picos descritos por Hilbert acabaram parecendo mais um sopé.

Os picos mais altos não são enviados com uma tentativa. As expedições montam cuidadosamente acampamentos básicos e esticam cordas e depois subem lentamente até o pico. Em matemática, atacar um problema sério também requer a construção de estruturas complexas. Um ataque direto é considerado estúpido e ingênuo. A construção dessas construções matemáticas auxiliares às vezes leva séculos e, como resultado, às vezes se revelam mais valiosas do que o teorema conquistado. Então essas florestas se tornam uma adição permanente à arquitetura da matemática.

Um exemplo perfeito desse fenômeno será a prova do grande teorema de Fermat , obtido em 1994 por Andrew John Wiles. Sabe-se que Fermat escreveu sua hipótese à margem da "Aritmética" de Diofanto em 1639. Mas sua prova exigiu mais de trezentos anos para desenvolver ferramentas matemáticas. Em particular, os matemáticos tiveram que criar uma combinação muito avançada de teoria dos números e geometria. Essa nova área, geometria aritmética , é agora uma das teorias matemáticas mais profundas e de maior alcance. Vai muito além da hipótese de Fermat e tem sido usada para resolver muitos problemas pendentes.

A grande hipótese também deve ser profunda e estar no meio da matemática. De fato, a metáfora da conquista do pico não reflete todas as conseqüências da obtenção de evidências. Conseguir isso não é o objetivo final de uma jornada difícil, mas o ponto de partida de uma aventura ainda maior. Uma maneira mais adequada seria uma passagem na montanha, uma sela, permitindo que o viajante se deslocasse de um vale para outro. É isso que torna a hipótese de Riemann tão poderosa e popular. Ele revela muitos outros teoremas e idéias, e generalizações extensas seguem a partir dele. Os matemáticos estudam o vale rico a que ele dá acesso, apesar de permanecer puramente hipotético.

Além disso, evidências suficientemente fortes devem apoiar a hipótese. Dito conhecido por Niels Bohr: “O oposto de uma afirmação correta é uma afirmação falsa. Mas o oposto da verdade profunda pode ser outra verdade profunda ". No entanto, para a grande hipótese, esse claramente não é o caso. Como evidências indiretas extensas geralmente falam a seu favor, sua negação parece improvável. Por exemplo, os primeiros 10 trilhões de casos da hipótese de Riemann foram verificados numericamente em um computador. Quem ainda pode duvidar de sua lealdade? No entanto, esse material de apoio não satisfaz os matemáticos. Eles exigem certeza absoluta e querem saber por que a hipótese é verdadeira. Somente evidências convincentes podem dar essa resposta. A experiência mostra que é fácil enganar uma pessoa. Os contra-exemplos podem esconder-se bem distantes, como o que Noam Elkis encontrou, um matemático de Harvard que refutou a hipótese de Euler, uma variação da hipótese de Fermat, que dizia que um número de quarto grau não pode ser escrito na forma de outros três números no quarto grau. Quem imaginaria que no primeiro contra-exemplo haveria um número de 30 dígitos?

20 615 673 ⁴ = 2 682 440 ⁴ + 15 365 639 ⁴ + 18 796 760 ⁴

As melhores hipóteses geralmente têm raízes bastante modestas, como o comentário fugaz de Fermot nas margens de um livro, mas suas consequências crescem ao longo dos anos. Também é útil se a hipótese puder ser expressa brevemente, preferencialmente através de uma fórmula com um pequeno número de caracteres. Uma boa hipótese deve caber em uma camiseta. Por exemplo, a hipótese de Goldbach diz: "Qualquer número par, começando com 2, pode ser representado como a soma de dois números primos". Essa hipótese, formulada em 1742, ainda não foi comprovada. Ela ficou famosa graças ao romance "Tio Petros e o Problema de Goldbach", do autor grego Apostolos Doksiadis, até porque a editora ofereceu um truque publicitário de US $ 1 milhão a qualquer um que pudesse provar isso dentro de dois anos após a publicação do livro. A concisão da hipótese se desenvolve com sua beleza externa. Você pode até definir a estética matemática como "a quantidade de influência por personagem". No entanto, uma beleza tão elegante pode enganar. As formulações mais concisas podem exigir a evidência mais longa, o que novamente demonstra a observação enganosamente simples de Fermat.

A essa lista de critérios, talvez se possa acrescentar a resposta do famoso matemático John Conway à pergunta sobre o que torna a hipótese ótima: "Ela deve ser flagrante". Uma hipótese atraente também é um tanto ridícula ou fantástica, com uma área imprevista de influência e consequências. Idealmente, combina componentes de áreas distantes umas das outras, que não foram encontradas anteriormente em uma declaração, como ingredientes inesperados em um prato expressivo.

Por fim, será útil entender que a aventura nem sempre é bem-sucedida. Assim como uma fenda intransponível pode surgir na frente de um alpinista, os matemáticos podem ser derrotados. E se eles perdem, então eles perdem completamente. Não existe prova de 99%. Por dois milênios, as pessoas tentaram provar a hipótese de que o quinto axioma euclidiano - o infame axioma do paralelismo , que diz que as linhas paralelas não se cruzam - pode ser deduzido dos quatro axiomas anteriores da planimetria. E então, no início do século XIX, os matemáticos criaram exemplos concretos de geometria não-euclidiana, refutando essa hipótese.

Mas a geometria não terminou aí. Em um sentido pervertido, a refutação da grande hipótese pode se tornar uma notícia ainda melhor do que sua prova, uma vez que o fracasso indica que nossa compreensão do mundo matemático é muito diferente da realidade. Perder pode ser produtivo, em oposição a uma vitória pirrica. A geometria não euclidiana acabou sendo um importante predecessor do espaço-tempo curvo de Einstein, que desempenha um papel tão importante na compreensão moderna da gravidade e do espaço.

Da mesma forma, quando Kurt Gödel publicou seu famoso teorema da incompletude em 1931, que mostrou que em qualquer sistema matemático formal existem afirmações verdadeiras que não podem ser provadas, ele, de fato, respondeu negativamente a um dos problemas de Hilbert em relação à consistência dos axiomas da aritmética. No entanto, o teorema da incompletude - que é freqüentemente considerado a maior conquista da lógica desde Aristóteles - não proclamou o fim da lógica matemática. Em vez disso, levou a um auge que levou ao desenvolvimento de computadores modernos.

Assim, no final, a busca de uma solução para as grandes hipóteses apresenta similaridades ligeiramente diferentes das expedições nas montanhas aos picos mais altos. Somente quando todos voltam para casa, em segurança - não importa se o objetivo foi alcançado ou não - é que a verdadeira amplitude da aventura se torna clara. E então chega a hora de histórias heróicas de ascensão.