Por que a prova do Grande Teorema de Fermat não precisa de aprimoramento

Ao longo das décadas desde a prova histórica do grande teorema de Fermat, surgiram várias idéias sobre como torná-lo ainda mais confiável. No entanto, essas tentativas refletem um profundo mal-entendido do que torna as evidências importantes.

23 de junho marca o 25º aniversário do anúncio de Andrew Wiles , que empolgou a todos, no qual ele anunciou o recebimento de uma prova do grande teorema de Fermat , o problema mais famoso da matemática aos 350 anos de idade. A história em torno das evidências de Wiles - ele trabalhou secretamente nesse projeto por sete anos, a lacuna de evidências que surgiu após o anúncio de junho, uma solução elegante publicada um ano depois em um trabalho conjunto escrito por Wiles com seu ex-aluno Richard Taylor , recebendo uma cavalaria em 2000 - entrou nos anais de lendas matemáticas.

Após o avanço de Wiles, pode-se ouvir especulações sobre o advento de uma nova "era de ouro" na matemática, especialmente na teoria dos números - o campo ao qual o teorema de Fermat pertence. Os métodos apresentados por Wiles e Taylor hoje fazem parte da caixa de ferramentas de especialistas em teoria dos números que consideram fechada a história do Grande Teorema. Mas essa história tocou não apenas os especialistas em teoria dos números.

De repente, fui lembrado disso pelos eventos de 2017, quando, no intervalo de vários dias, dois lógicos que fizeram relatórios em dois continentes diferentes apontaram maneiras de melhorar a prova do Teorema - e disseram como seus colegas ficaram surpresos quando os especialistas em teoria dos números não mostraram. suas idéias não são de interesse.

Os lógicos expressaram essas idéias nas línguas de suas respectivas especialidades - teoria dos conjuntos e ciência da computação teórica. As propostas que eles faziam eram inerentemente verdadeiras, e talvez algum dia levantassem novas questões, não menos interessantes do que as de Fermat. No entanto, imediatamente ficou claro para mim que essas questões não estão relacionadas a especialistas em teoria dos números, e quaisquer outras suposições refletem um profundo mal-entendido da natureza da prova de Wiles e dos objetivos da teoria dos números em geral.

As raízes desse mal-entendido podem ser encontradas na simplicidade da afirmação do Teorema, responsável pela maior parte de sua atratividade: se n é um número inteiro positivo maior que 2, é impossível encontrar três números positivos, a, bec, que:

$$

$$a ^ n + b ^ n = c ^ n$$

Isso contrasta vividamente com o caso em que n é 2: qualquer pessoa que tenha estudado geometria euclidiana lembrará que 3 ² + 4 ² = 5 ² , que 5 ² + 12 ² = 13 ² e assim por diante (essa lista é interminável). Nos últimos séculos, os matemáticos tentaram explicar a existência de tal contraste, e cada vez que fracassavam, no entanto, deixando para trás novos ramos da matemática. Entre esses ramos estão grandes áreas da moderna teoria dos números, atraídas por Wiles por sua solução bem-sucedida, bem como muitas idéias fundamentais em todas as partes da ciência tocadas pelos matemáticos. E, no entanto, ninguém antes de Wiles poderia provar a afirmação de Fermat.

Recentemente, cientistas da computação se empolgaram em aprender sobre o progresso obtido na confirmação automática de evidências - uma tentativa ambiciosa de colocar em prática a abordagem formalista da matemática. Para formalistas, a prova matemática é uma lista de declarações que atendem a restrições estritas:

1. As declarações no topo da lista devem incluir idéias geralmente aceitas. Em uma interpretação rigorosa, isso inclui apenas os axiomas da teoria formal dos conjuntos, geralmente do sistema formal conhecido como ZFC (sistema Zermelo-Frenkel com o axioma da escolha). Isso é completamente impraticável, portanto, também permitimos a inclusão de teoremas já comprovados - por exemplo, o Grande Teorema para o caso n = 4, que o próprio Fermat provou no século XVII.
2. Cada declaração subsequente deve ser obtida aplicando as regras de dedução lógica às declarações anteriores.
3. Finalmente, o teorema comprovado deve estar em último lugar na lista.

A lógica matemática foi desenvolvida na esperança de estabelecer uma base sólida para a matemática - como um sistema axiomático livre de contradições, capaz de raciocinar sem cair na inconsistência. Embora o trabalho de Kurt Gödel tenha mostrado a impossibilidade de realização desse sonho, muitos filósofos da matemática, bem como alguns lógicos (uma minoria pequena, porém ativa, de acordo com especialistas em teoria dos conjuntos) ainda se referem ao ZFC e aos requisitos mencionados como algum tipo de constituição da matemática.

No entanto, os matemáticos nunca escrevem evidências dessa maneira. Uma análise lógica das evidências de Wiles aponta para muitos passos que não levam em consideração o ZFC, com potencial para escândalo: se os matemáticos criam regras sem verificar a constitucionalidade, como eles sabem que todos significam a mesma coisa?

A verificação automática de evidências parece oferecer uma solução para esse problema. Envolve reformular as evidências por meio de um conjunto de declarações separadas, cada uma escrita em uma linguagem consistente que o computador possa ler e, em seguida, confirmar a fidelidade constitucional de cada etapa. Esse método demorado foi aplicado com sucesso a muitas provas longas e complexas, a mais famosa delas é a prova da hipótese de Kepler no empacotamento mais denso de esferas feito por Thomas Hales. Testar as evidências de Wiles há muito é considerado um dos principais objetivos. Portanto, meu amigo, especialista em ciência da computação, ficou genuinamente desapontado que a busca por "matemáticos puros que apoiam categoricamente o uso de ferramentas automáticas na construção de seus argumentos", como ele formulou, não produz resultados.


" Aritmética " da edição de Diophantus de 1670, na qual a notória nota de Fermat também está incluída no texto principal. Na tradução, lê-se da seguinte forma: “É impossível que um cubo seja a soma de dois cubos; para o quarto grau, é impossível a soma de dois quartos graus, ou, em geral, para qualquer número que represente um grau maior que o segundo, é impossível ser a soma de dois dos mesmos graus. Eu descobri evidências realmente maravilhosas dessa suposição, para as quais esses campos são muito estreitos para acomodar ".

A primeira coisa que não leva em conta esse desapontamento é que as evidências de Wiles, embora complexas, têm uma base simples que é fácil de explicar para uma audiência média. Suponha que, ao contrário da afirmação de Fermat, existam três números inteiros positivos a, b, c de modo que

(A) a ^p + b ^p = c ^p

para alguns primos ímpares p (e é suficiente considerar apenas números primos). Em 1985, Gerhard Frey mostrou que a, bec foram reorganizados em

(B) uma nova equação chamada "curva elíptica"

com propriedades que todos pensavam serem impossíveis. Mais precisamente, há muito se sabe como expressar essa curva elíptica em termos de

(C) representação de Galois

que é um conjunto infinito de equações relacionadas tanto à curva elíptica quanto entre si por regras claras.

A conexão entre essas etapas era bem conhecida em 1985. Naquela época, a maioria dos especialistas em teoria dos números estava convencida - embora não houvesse evidências até agora - de que cada representação de Galois pudesse ser atribuída novamente, de acordo com regras claras,

(D) uma função modular,

algo como uma generalização bidimensional de funções familiares de seno e cosseno a partir da trigonometria.

O elo final foi obtido quando Ken Ribet confirmou a suposição de Jean-Pierre Seur de que as propriedades de uma função modular dada pela forma da curva elíptica de Frey implicam a existência de

(E) outra função modular de peso 2 e nível 2.

No entanto, essas funções não podem existir. Portanto, não existe uma função modular (D), nem uma representação de Galois (C), nem a equação (B), nem uma solução (A).

Resta apenas encontrar o elo que faltava entre (C) e (D), que os matemáticos chamavam de hipótese da modularidade.

Este link foi objeto de uma pesquisa de sete anos por Wiles. Do nosso ponto de vista atual, é difícil apreciar plenamente a coragem dessa empresa arriscada. Vinte anos depois que Yutaka Taniyama e Goro Shimura relataram pela primeira vez a relação entre (B) e (D) a (C) na década de 1950, os matemáticos chegaram gradualmente à conclusão de que deveria ser assim. Essa esperança foi expressa em um trabalho muito popular de Andre Weil, que se encaixa perfeitamente no programa extremamente influente de Langlands , nomeado em homenagem ao matemático canadense Robert Langlands. Essa conexão era boa demais para não ser verdadeira. No entanto, a hipótese da modularidade parecia completamente inatingível. Objetos dos tipos (C) e (D) eram muito diferentes.

O cientista da computação não explicou se sua decepção se devia ao fato de não ser importante para a teoria dos números que a prova fosse limitada a encontrar o elo crítico entre (C) e (D) ou que variava de (A) a (E) Não vou tentar descobrir. Mas se os lógicos precisassem apenas confirmar formalmente a prova publicada da conexão entre (C) e (D), suas expectativas eram muito altas. Primeiro, Wiles provou ser apenas um pouco mais do que suficiente para a hipótese da modularidade concluir a dedução “de (A) a (E)”. A hipótese completa da modularidade foi estabelecida vários anos depois por Christoph Broglie, Brian Conrad, Fred Diamond e Richard Taylor. Mas isso não lança sombra sobre o trabalho de Wiles! Pelo contrário, o fato de que um número tão grande de especialistas mundiais em teoria dos números seguiu os passos do trabalho de Wiles apenas alguns meses após o seu aparecimento fala de sua riqueza.

Por exemplo, um pouco mais tarde, no outono de 2016, 10 matemáticos se encontraram no Institute for Advanced Studies em Princeton, Nova Jersey, e puderam provar a existência de uma conexão entre curvas elípticas e funções modulares nas novas condições. Todos usaram caminhos diferentes para entender a estrutura das evidências de Wiles, que apareceram quando alguns deles ainda eram crianças. Se lhes pedissem que descrevessem essa prova na forma de uma sequência de conclusões lógicas, sem dúvida teriam emitido 10 versões diferentes. Cada um deles se pareceria com o caminho de (A) a (E) descrito acima, mas seria muito mais detalhado.

No entanto - e isso sempre é esquecido da visão filosófica da evidência - cada um desses dez atribuiria a autoria de sua evidência a Wiles. Eles se referiam a eles da mesma maneira que outras evidências estudadas por eles em artigos explicativos ou em cursos de treinamento que eles frequentavam ou ensinavam. E, embora cada um dos dez tivesse omitido alguns detalhes, em geral eles teriam razão.

O que é evidência de Wiles se ele pode ter tantas opções diferentes? Na filosofia matemática, é costume tratar uma prova publicada como uma aproximação a uma prova formalizada ideal, que em princípio pode ser verificada em um computador que aplica as regras de um sistema formal. A evidência ideal não é contaminada por nada que esteja fora do sistema formal - como se toda lei tivesse uma marca confirmando sua justificação constitucional.

Mas essa abordagem contradiz o que os matemáticos dizem sobre suas evidências. Os matemáticos não usam testes ideológicos ou filosóficos, mas estou convencido de que a maioria dos meus colegas concordará com Michael Francis Atiyah, que afirmou que a prova "é o teste final, mas não a base de nada". A evidência publicada claramente não é o fundamento de nada.

Wiles e especialistas em teoria dos números, refinando e expandindo suas idéias, certamente não esperavam receber ofertas de dois lógicos. Mas - diferentemente de muitas pessoas que observam a teoria dos números de longe - elas definitivamente entendiam que provas como as publicadas por Wiles não deveriam ser tratadas como um tipo de artefato em si. Pelo contrário, a prova de Wiles é o ponto de partida de um diálogo aberto que é muito evasivo e animado para ser limitado a limites sérios que são estranhos ao sujeito.