A aleatoriedade, ao que parece, complica a prova dos teoremas. Mas, de fato, muitas vezes seu efeito é o oposto
De todas as ferramentas disponíveis para os matemáticos, a aleatoriedade parece ter as menores vantagens. A matemática opera com lógica e conceitos estritos. Seus objetivos comuns são a busca de ordem e estrutura em um vasto mar de objetos. Toda a história matemática parece possível precisamente porque o mundo da matemática não é acidental.
No entanto, o artigo recente, "
Superfícies aleatórias ocultam uma ordem complexa "
, tratou de uma nova prova na qual a aleatoriedade decide tudo. O resultado inclui a aparência de padrões como células de xadrez que aparecem em espaços geométricos construídos aleatoriamente. Os autores da prova descobriram que a aleatoriedade no espaço geométrico simplifica a descrição desses padrões. "É bastante inesperado que adicionar aleatoriedade permita que você faça mais" do que sem ela, disse
Nicholas Curien , matemático da Universidade de Paris-Sul XI, coautor do trabalho.
E acontece que a aleatoriedade ajuda na matemática de várias maneiras.
Por exemplo, os matemáticos geralmente querem provar que há um objeto com certas propriedades, por exemplo, uma figura geométrica com certas simetrias. A maneira mais direta de resolver o problema da existência é encontrar um exemplo de um objeto que possua as propriedades necessárias. No entanto, tente fazê-lo. "Pode ser muito difícil imaginar um objeto específico com a propriedade desejada", disse
Martin Hairer , detentor da medalha Fields, cujo trabalho está associado a processos aleatórios.
Se um ataque frontal a um problema não for bem-sucedido, tente sair do flanco. Por exemplo, pode ser mostrado que, se examinarmos todos os objetos de um determinado tipo e depois selecionarmos aleatoriamente um deles, haverá uma chance diferente de zero de selecionar um objeto com as propriedades desejadas. Esse "método probabilístico" foi aplicado pela primeira vez pelo matemático
Pal Erdös .
A aleatoriedade também pode ser usada para encontrar soluções para problemas não aleatórios. Isso foi feito em evidências recentes sobre os padrões de xadrez na grelha. Os pesquisadores estão interessados em um processo chamado infiltração, quando você precisa entender sob quais condições é possível passar por pontos de apenas uma cor de uma parte da grade para outra.
Desenhar esse padrão de acordo com regras determinísticas - ao longo de linhas claramente definidas da rede correta - cada próximo passo no caminho dependerá de cada um dos passos anteriores. No caso de uma grade complexa, esse requisito se torna um fardo. É parecido com o quão fácil é colocar os primeiros elementos no jogo Tetris - você pode colocá-los em qualquer lugar - mas os últimos são mais difíceis de colocar, porque precisam satisfazer a situação de todos os anteriores.
E quando seu caminho é aleatório, você não precisa mais se preocupar com as etapas anteriores. Em cada sentido, cada novo passo se torna o primeiro: jogue uma moeda para decidir para onde ir a seguir.
Os matemáticos tentam usar esse fato. Existe uma
relação hipotética , conhecida como equação de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ), que permite aos matemáticos transformar um resultado obtido em uma rede aleatória em um resultado determinístico e vice-versa. "Em teoria, isso significa que você pode fazer as coisas lá e ali", de um lado aleatório ou determinístico, disse
Olivier Bernardi , matemático da Universidade Brandeis e co-autor de um trabalho recente. Este trabalho é consistente com os resultados anteriores (que são muito mais difíceis de provar) sobre vazamentos através de uma rede padrão, que confirma a validade da equação CSW.
Se a matemática fosse mais simples, os matemáticos talvez não precisassem recorrer ao acaso. No entanto, é muito difícil para os matemáticos encontrar respostas para as questões matemáticas mais importantes. "Isso pode parecer óbvio, mas é útil lembrar que, na maioria dos casos, ao definir um problema em matemática ou física teórica, isso não pode ser resolvido", disse
Paul Burgad , matemático da Universidade de Nova York. "Nós simplesmente não temos as ferramentas para resolvê-lo." Em algumas dessas situações, a aleatoriedade simplifica a situação apenas o suficiente para tornar possível uma solução.