Brincando com números complexos

Oi

Outro ensaio. Desta vez, vamos brincar com números complexos, com fórmulas e sua visualização.

Idéia

Um número complexo é uma certa extensão de um número real, de fato um vetor para o qual um conjunto inteiro de axiomas é definido. Qualquer número complexo (e, portanto, real) pode ser escrito como $$$z = a + bi$onde a é a parte real, b é a parte imaginária, i é a raiz da equação $$$x ^ {2} = - 1$. Muitas operações são definidas para ele, definidas para um número real, por exemplo, $$$z_1 + z_2 = a_1 + a_2 + (b_1 + b_2) i$. Curiosamente, se você fizer várias operações com eles, aumente a potência, multiplique etc. e depois $$$Re (z)$(parte real) para o eixo Ox, e $$$Im (z)$(parte imaginária) para o eixo Oy, você pode obter imagens engraçadas.

A propósito, eu mesmo criei todas as seguintes fórmulas.

Função de visualização

Rotina. A função, que de acordo com esta função iterativa, desenha tudo no campo:

import random import numpy as np def vis(A, f, step=1.0, c=None): x = [] y = [] for B in np.arange(0, A, step): v = f(A, B) x.append(v.real) y.append(v.imag) plt.figure(figsize=[8, 8]) mxabs = max([i[0] ** 2 + i[1] ** 2 for i in zip(x, y)]) ** 0.5 x = np.array(x) / mxabs y = np.array(y) / mxabs if c is None: plt.scatter(x, y) else: plt.scatter(x, y, color=[c(x[i], y[i]) for i in range(len(x))]) plt.show() 

Todas as nossas funções dependem de dois parâmetros A e B. Além disso, iteramos sobre B dentro de vis (), e A é o parâmetro global da função.

A função Curl

$$

$$f (A, B) = Bsin (B) * e ^ {iBcos (A)}$$

Sua declaração em python:

 def func_1(A, B): return math.sin(B) * B * math.e ** (1j * (B * math.cos(A))) 

E corra

 A = 121.5 vis(A, func_1, step=0.1) 

E o resultado para A = 121,5:



E para A = 221,5:



Observe que esses números não decorrem do cálculo de nenhuma integral definida em uma variedade suave e de outras palavras inteligentes que não têm sentido nesse contexto. Estes são números realmente aleatórios, e ainda existe exatamente o infinito de A diferentes, como resultado da qual a beleza é obtida.

Precisa pintar

Declaramos uma função de cor (tal função que retorna uma tupla de três números em coordenadas):

 def sigm(x): #         0  1 return (1 / (1 + 1.2 ** (-x*50)) - 0.5) * 2 color_1 = lambda x, y: (0.2, sigm(x ** 2 + y ** 2) / 1.4, 1 - sigm(x ** 2 + y ** 2)) color_2 = lambda x, y: (sigm(x ** 2 + y ** 2), 0.5, 0.5) 

Escolha o parâmetro aleatório A, seja 149:

 vis(149, func_1, step=0.1, c=color_1) 

Função Gansos

Os gansos são descritos da seguinte forma:

$$

$$f (A, B) = cos (B) sen (B) * B * e ^ {iBcos (A)}$$

Declaração Python:

 def func_2(A, B): return math.cos(B) * math.sin(B) * B * math.e ** (1j * (B * math.cos(A))) 

Seu resultado para A = 106:

Função fococcia

$$

$$f (A, B) = cos (B (A + 1)) * e ^ {iBcos (A)}$$

 def func_3(A, B): return math.cos((A + 1) * B) * math.e ** (1j * (B * math.cos(A))) 

 vis(246, func_3, step=0.1, c=color_2) 

 vis(246, func_3, step=0.1, c=color_2) 

Função sem título

$$

$$f (A, B) = Bsin (A + B) * e ^ {iBsin (A)}$$

 color_3 = lambda x, y: (0.5, 0.5, sigm(x ** 2 + y ** 2)) vis(162, func_4, step=0.1, c=color_3) 

 vis(179, func_4, step=0.1, c=color_3) 

Fórmula de beleza

$$

$$f (A, B) = cos (B (A + 1)) ^ {\ frac {3} {2}} * e ^ {iBcos (A)}$$

 def func_5(A, B): return math.cos((A + 1) * B) ** 1.5 * math.e ** (1j * (B * math.cos(A))) 

 color_4 = lambda x, y: (sigm(x ** 2 + y ** 2) / 2, 0.5, 1 - sigm(x ** 2 + y ** 2)) vis(345, func_5, step=0.1, c=color_4) 

 vis(350, func_5, step=0.1, c=color_4) 

Por enquanto é tudo.