Entrada

Já aconteceu que você deseja somar algumas séries infinitas, mas não pode pegar uma soma parcial da série? Você ainda não usou o derivado discreto? Então vamos até você!

Definição de

Sequência Derivada Discreta $$$a_n$ chame essa sequência $$$\ Delta a_n$ que para qualquer natural $$$n> 1$ realizado por:

$$

$$\ Delta a_n = a_n - a_ {n-1}$$

Considere os seguintes exemplos:

• $$

  $$a_n = 1 \\ \ Delta a_n = a_n - a_ {n-1} = 1 - 1 = 0$$

• $$

  $$a_n = n \\ \ Delta a_n = a_n - a_ {n-1} = n - (n - 1) = 1$$

• $$

  $$a_n = n ^ 2 \\ a_n = n ^ 2 - (n - 1) ^ 2 = n ^ 2 - (n ^ 2 - 2n + 1) = 2n-1$$

• $$

  $$a_n = n ^ 3 \\ \ Delta {a_n} = n ^ 3 - (n - 1) ^ 3 = 3n ^ 2 - 3n + 1$$

• $$

  $$a_n = k ^ n \\ \ Delta {a_n} = k ^ n - k ^ {n-1} = k ^ {n-1} (k-1)$$

Bem, você entendeu. Algo como um derivado de uma função, certo? Entendemos como calcular derivadas discretas das seqüências "mais simples". Ah, mas e a soma, diferença, produto e quociente de seqüências? A derivada "comum" possui algumas regras de diferenciação. Vamos criar uma discreta!

Primeiro, considere a quantidade. É lógico que a soma das sequências também seja algum tipo de sequência. Vamos tentar encontrar a derivada por definição:

$$

$$\ Delta {(a_n + b_n)} = a_n + b_n - (a_ {n - 1} + b_ {n - 1}) = \\ = a_n - a_ {n - 1} + b_n - b_ {n - 1 } = \ Delta {a_n} + \ Delta {b_n}$$

Fenomenalmente! Obtivemos que a derivada da soma das seqüências é a soma dos derivados dessas seqüências! obrigado boné
Vamos tentar provar o mesmo com a diferença

$$

$$\ Delta {(a_n - b_n)} = a_n - b_n - (a_ {n - 1} - b_ {n - 1}) = \\ = a_n - a_ {n - 1} - (b_n - b_ {n - 1}) = \ Delta {a_n} - \ Delta {b_n}$$

E passamos ao trabalho!
Da mesma forma, encontramos por definição:

$$

$$\ Delta {(a_nb_n)} = a_nb_n - a_ {n-1} b_ {n-1} = \\ = a_nb_n-a_ {n} b_ {n-1} + a_nb_ {n-1} - a_ {n -1} b_ {n-1} = \\ = a_n (b_n - b_ {n-1}) + b_ {n-1} (a_n - a_ {n-1}) = \\ = a_n \ Delta {b_n } + b_ {n-1} \ Delta {a_n}$$

Legal, né? Considere o quociente:

$$

$$\ Delta (\ frac {a_n} {b_n}) = \ frac {a_n} {b_n} - \ frac {a_ {n - 1}} {b_ {n-1}} = \ frac {a_nb_ {n-1 } -a_ {n-1} b_n} {b_nb_ {n-1}} = \\ = \ frac {a_nb_ {n-1} -a_nb_n + a_nb_n-a_ {n-1} b_n} {b_nb_ {n-1 }} = \\ = \ frac {b_n \ Delta {a_n} -a_n \ Delta {b_n}} {b_nb_ {n-1}}$$

Legal ...

Mas tudo isso é derivado. Talvez exista uma antiderivada discreta ? Acontece que existe!

Mais definições

Sequência primitiva discreta $$$a_n$ chame essa sequência $$$A_n$ que para qualquer natural $$$n> 1$ realizado por:

$$

$$a_n = \ Delta A_n$$

• $$

  $$a_n = 1 \\ \ Delta A_n = a_n \ se A_n = n$$

• $$

  $$a_n = n \\ n = \ frac {2n-1} {2} + \ frac {1} {2} = \ frac {\ Delta n ^ 2 + \ Delta n} {2} = \ frac {\ Delta (n ^ 2 + n)} {2} \\ \ Delta A_n = a_n \ sef A_n = \ frac {n ^ 2 + n} {2}$$

Isso é compreensível. Guo veio com um análogo de Newton-Leibniz!

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = \\ = A_1 - A_0 + A_2 - A_1 + ... + A_n - A_ {n-1} = \ \ = A_ {n} - A_0$$

Vamos lá! Essa piada é uma coincidência! E agora o mesmo mais bonito:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ n a_ = \ sum_ {i = 1} ^ n \ Delta A_i = A_i \ bigg | _ {1} ^ {n}$$

E generalize para o conjunto de números naturais de $$$a$ antes $$$b$ :

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} f (i) = F_i \ bigg | _a ^ b$$

Aplicação

Quem se lembra da própria fórmula para a soma de uma série de quadrados de números naturais de $$$1$ antes $$$n$ ? E aqui eu não me lembro. Vamos tirá-la daqui!
Mas primeiro você precisa encontrar a antiderivada para a sequência $$$a_i = i ^ 2$ :

$$

$$i ^ 2 = (3i ^ 2-3i + 1) \ frac {1} {3} + i - \ frac {1} {3} = (3i ^ 2-3i + 1) \ frac {1} {3 } + i - \ frac {1} {3} = \\ = \ frac {1} {3} \ Delta i ^ 3 + \ frac {1} {2} \ Delta (i ^ 2 + i) - \ frac {1} {3} \ Delta i = \\ = \ Delta \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + 3i-2i} {6} = \ Delta \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} { 6}$$

E agora, de fato, a soma em si:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ 2 = \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} {6} \ bigg | _0 ^ n = \ frac {2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n} {6}$$

E a soma dos cubos?

Primeiro calculamos

$$

Antiderivativo para $$$i ^ 3$ :

$$

$$i ^ 3 = \ frac {1} {4} (4i ^ 3-6i ^ 2 + 4i-1) + \ frac {3} {2} i ^ 2-i + \ frac {1} {4} = \ \ = \ frac {\ Delta i ^ 4} {4} + \ frac {3} {2} \ Delta {\ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} {6}} - \ Delta {\ frac { i ^ 2 + i} {2}} + \ frac {\ Delta {i}} {4} = \\ = \ Delta {\ frac {i ^ 4 + 2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i-2i ^ 2 -2i + i} {4}} = \ Delta {\ frac {i ^ 4 + 2i ^ 3 + i ^ 2} {4}} = \\ = \ Delta {\ bigg (\ frac {i (i + 1 )} {2} \ bigg) ^ 2} \\ \ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ 3 = \ bigg (\ frac {i (i + 1)} {2} \ bigg) ^ 2 \ bigg | _0 ^ n = \ bigg (\ frac {n (n + 1)} {2} \ bigg) ^ 2$$

Parece, nada complicado ...

Para avançados

Encontrar a integral nem sempre é tão fácil, certo? O que fazemos em casos difíceis? É isso mesmo, integre-se em partes. Talvez haja um análogo? Não vou atormentá-lo, ele é, e agora vamos tirá-lo de lá.

Suponha que precisamos calcular a soma de uma série

$$

$$p = const \\\ sum_ {i = 1} ^ {n} ip ^ {i} =?$$

O que fazer É improvável que você consiga captar tão facilmente a antiderivada discreta da sequência. Vamos assistir.

Nós já sabemos que:

$$

$$\ Delta {(f (n) g (n))} = f (n) \ Delta {g (n)} + g (n-1) \ Delta f (n)$$

Então

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) = \ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) + \ sum_ {i = a } ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i) \ iff \\ \ iff \ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) = \ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) - \ sum_ {i = a} ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i)$$

E agora um passo não trivial:

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) = f (a) g (a) -f (a-1) g (a-1) + f (a (A + b) (a + b) + (a + b) + b + a + b + b + a + b + a + b + a + b + a + b + a + b + a + b + a + b + a + b b) g (b) -f (a-1) g (a-1)$$

Substitua a igualdade obtida antes:

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) = f (b) g (b) -f (a-1) g (a-1) - \ sum_ {i = a} ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i)$$

Finita a comédia.

Encontre a mesma quantidade:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ n {ip ^ {i}} = S_n \\ p ^ i = \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \\ S_n = \ sum_ {i = 1} ^ ni \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \\ $$

Pode parecer para alguém que a fórmula se tornou ainda mais complicada, e nós apenas complicamos nosso trabalho. Mas isso não é verdade. Vamos $$$f (i) = i, g (i) = \ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}$ então:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nf (i) \ Delta g (i) = f (n) g (n) -f (0) g (0) - \ sum_ {i = 1} ^ {n} g (i-1) \ Delta f (i) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - 0 - \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {p ^ {i}} {p-1} = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {1} {p-1} \ sum_ {i = 1} ^ {n} p ^ i \ bigg) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {1} {p-1} \ sum_ {i = 1 } ^ {n} \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \ bigg) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {p ^ {n + 1} -p} {(p-1) ^ 2} \ bigg) = \ frac {np ^ {n + 2} - (n + 1) p ^ {n + 1} + p} {(p-1) ^ 2}$$

Cool puzzle

Proponho praticar isso com o exemplo de uma tarefa, desde a seleção nos cursos Geração Tinkoff até Machine Learning . Aqui está o problema em si:

Você está cansado de resolver problemas das seleções aos cursos da Geração Tinkoff e decidiu fazer uma pausa assistindo a vários episódios da nova série sobre os quais todos estão falando.

Você começa a assistir todas as séries, começando pela primeira. Cada episódio dura uma hora. Depois de assistir a próxima série, você com probabilidade constante ppp começa a assistir a próxima, caso contrário, seu intervalo terminará e você voltará ao trabalho.

A fome, o sono e outras necessidades não o impedem, e a série tem um número infinito de episódios; em teoria, sua pausa pode durar para sempre.

Quanto tempo durará sua pausa média ?

A rigor, aqui precisamos encontrar a expectativa matemática. Vamos acertar.

Solução

A probabilidade de que o intervalo dure 1 hora é:

$$

$$P (1) = 1 - p$$

2 horas

$$

$$P (2) = p (1-p) \\ ...$$

n horas:

$$

$$P (n) = p ^ {n-1} (1-p)$$

Então a expectativa é:

$$

$$E [X] = \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} {\ sum_ {i = 1} ^ ni * P (i)} = \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} {\ sum_ {i = 1} ^ ni * (1-p) p ^ {i-1}} = \\ = (1-p) \ lim \ limits_ {n \ a \ infty} {\ sum_ {i = 1} ^ ni * p ^ {i-1}}$$

É familiar, certo?

Nós já descobrimos que

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i} = \ frac {np ^ {n + 2} - (n + 1) p ^ {n + 1} + p} {(p-1) ^ 2}$$

então a linha que precisamos é bastante óbvia:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i-1} = \ frac {1} {p} \ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i} = \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2}$$

E a tarefa se resume a encontrar o limite de sequência

$$

$$\ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2}$$

onde $$$p <1$ desde $$$p$ - probabilidade do evento.
Nós provamos agora que

$$

$$\ lim \ limits_ {n \ a \ infty} np ^ {n + 1} = 0, \ espaço \ lim \ limits_ {n \ a \ infty} p ^ n (n + 1) = 0$$

• $$

  $$f (x) = p ^ {x + 1} x, \ espaço x \ in \! R \\ p = \ frac {1} {q}, \ espaço 0 <p <1 \ iff q> 1 \\ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {f (x)} = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {p ^ {x + 1} x} = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty } {\ frac {x} {q ^ {x + 1}}} = \\ = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {\ frac {x '} {(q ^ {x + 1})' }} = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {\ frac {1} {q ^ {x + 1} \ ln q}} = 0 \\ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} f ( x) = 0 \ implica \ lim \ limites_ {n \ a \ infty} f (n) \ iff \ lim \ limita_ {n \ a \ infty} np ^ {n + 1} = 0$$
  
  

• $$

  $$f (x) = p ^ {x} (x + 1), \ espaço x \ in \! R \\ p = \ frac {1} {q}, \ espaço 0 <p <1 \ iff q> 1 \\ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {f (x)} = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {p ^ {x} (x + 1)} = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {\ frac {x + 1} {q ^ {x}}} = \\ = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {\ frac {(x + 1) '} {(q ^ {x}) '}} = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {\ frac {1} {q ^ {x} \ ln q}} = 0 \\ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} f (x) = 0 \ implica \ lim \ limites_ {n \ a \ infty} f (n) \ iff \ lim \ limites_ {n \ a \ infty} (n + 1) p ^ {n} = 0$$
  
  

Agora é fácil entender que

$$

$$\ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2} = \ frac {1} { (p-1) ^ 2}$$

E

$$

$$E [X] = (1-p) \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ n {ip ^ {i-1}} = (1-p) \ frac {1 } {(p-1) ^ 2} = \ frac {1} {1-p}$$

Alguns

Fuh ... Foi difícil, até para mim, queridos leitores. Lista de realizações para hoje:

1. Entendemos o que é uma derivada discreta.
2. Derivadas as regras inerentes à diferenciação
3. Entendemos o que é uma antiderivada discreta.
4. Derivamos um análogo da fórmula de Newton-Leibniz
5. Derivado de um análogo de integração por partes
6. Resolvemos a difícil tarefa de selecionar um curso de Machine Learning na geração Tinkoff

Nada mal para começar, o que você acha?

Comentários são bem-vindos!