A importância dos números primos, tanto no uso cotidiano quanto em todos os ramos da matemática, não pode ser superestimada . Confiamos calmamente em suas propriedades especiais, usando-as como fundamento de inúmeros elementos de nossa sociedade, porque são uma parte indivisível do próprio tecido da natureza. Os números primos que são resistentes a qualquer fatoração são freqüentemente chamados de "átomos" do mundo da matemática. Carl Sagan disse sobre eles assim:

O status dos primos como blocos de construção fundamentais de todos os números, que são os blocos de construção da nossa compreensão do Universo, é muito importante.

Na natureza e em nossas vidas, os números primos são usados ​​em todos os lugares: as cigarras constroem seus ciclos de vida, os relojoeiros os usam para calcular os carrapatos e, nos motores de aeronaves, com sua ajuda, a frequência dos pulsos de ar é equilibrada. No entanto, todos esses campos de aplicação desaparecem no contexto de um fato familiar a todos os criptógrafos: os números primos estão no coração da segurança moderna dos computadores, ou seja, são diretamente responsáveis ​​por proteger tudo . Veja o cadeado na barra de endereço do navegador? Sim, isso significa que um "aperto de mão" de duas teclas é usado, com base em números primos. Como o seu cartão de crédito é protegido durante as compras? Também usando criptografia baseada em números primos.

No entanto, apesar de confiarmos constantemente em suas propriedades únicas, os números primos continuavam ilusórios para nós. Ao longo da história da matemática, as maiores mentes tentaram provar um teorema sobre a previsão de números primos ou a que distância devem estar um do outro. De fato, alguns problemas não resolvidos, como o problema dos números gêmeos , o problema de Goldbach , os primos palíndricos e a hipótese de Riemann , estão associados a essa imprevisibilidade e incerteza gerais dos primos quando tendem ao infinito. Obviamente, desde a época de Euclides, descobrimos algoritmos que nos permitem prever a localização de alguns números, mas os teoremas gerais ainda não foram provados, e as tentativas anteriores não tinham ferramentas para verificar grandes números. No entanto, a tecnologia do século XXI permite que os pesquisadores testem suposições em números extremamente grandes, mas somente essa técnica é controversa, porque a triagem grosseira não é considerada uma evidência confiável. Em outras palavras, os primos resistem a obedecer a qualquer fórmula ou equação universal, e seu arranjo na natureza parece aleatório.

No entanto, uma pessoa com rabiscos aleatórios conseguiu provar que eles são pelo menos não completamente aleatórios ...

De rabiscos a uma dica - toalha de mesa Ulam

Uma das maiores evidências de que o arranjo dos primos não é uma pura coincidência apareceu da maneira mais improvável: de rabiscos impensados ​​e aleatórios de um aluno entediado de palestras.


Toalha de mesa Ulam

Segundo a história, o matemático polonês Stanislav Ulam descobriu esse padrão gráfico durante um seminário em 1963. Desenhando uma grade de linhas, ele decidiu numerar as interseções em um padrão de espiral quadrada e começou a circular os números em espirais simples. Para sua surpresa, os primos em círculo caíram em linhas retas diagonais ou, como Ulam colocou um pouco mais severamente, "mostraram um comportamento fortemente não-aleatório". A toalha de mesa de Ulam, ou espiral de primos, é a exibição gráfica resultante do conjunto de primos marcados em uma espiral quadrada. A toalha de mesa foi publicada originalmente e tornou-se amplamente conhecida no título "Jogos Matemáticos" de Martin Gardner na Scientific American .


Toalha de mesa Ulam medindo 377x377 (números até 142 mil)

A visualização mostrada acima obviamente revela padrões notáveis, especialmente ao longo das diagonais. Mas talvez estejamos nos enganando? Costuma-se afirmar que a toalha de mesa de Ulam é apenas um truque do nosso cérebro tentando encontrar padrões aleatoriamente. Felizmente, podemos usar duas técnicas diferentes para garantir que esse não seja o caso. A comparação visual e a análise lógica definitivamente nos dizem que o padrão não é acidental. Primeiro, comparamos a toalha de mesa Ulam definida por uma matriz de tamanho NxN com uma matriz do mesmo tamanho contendo pontos definidos aleatoriamente. Em segundo lugar, podemos usar nosso conhecimento de polinômios para entender por que devemos esperar que algum padrão apareça ao exibir graficamente números primos.

Como mencionado acima, provavelmente, a confirmação mais intuitiva da não aleatoriedade do padrão será uma comparação direta com a toalha de mesa de Ulam. Para fazer isso, crie uma toalha de mesa Ulam e uma espiral quadrada com locais aleatórios do mesmo tamanho. Duas matrizes diferentes de 200x200 representando espirais numéricas são mostradas abaixo:


Uma comparação visual torna bastante óbvio que a toalha de mesa de Ulam contém padrões impressionantes, especialmente ao longo dos eixos diagonais; além disso, quase não há grupos de pontos nele. Por outro lado, o arranjo aleatório de pontos não cria imediatamente padrões perceptíveis e leva ao acúmulo de pontos em diferentes direções. Sem dúvida, essa técnica carece do rigor das evidências tradicionais; no entanto, há algo de impecável na visualização de espirais de números primos: essa é uma técnica descoberta aleatoriamente que permite criar um gráfico que estimula a lógica e é atraente esteticamente.

Se abordarmos a natureza dos números primos de maneira mais lógica e tradicional, é bastante razoável esperar o aparecimento de padrões nessas visualizações. Como dito acima, as linhas nas direções diagonal, horizontal e vertical parecem conter uma dica. Algumas dessas linhas, que não são números primos, podem ser explicadas por polinômios quadrados comuns, que excluem a possibilidade de aparecimento de números primos - por exemplo, uma das linhas diagonais correspondentes à equação y = x² obviamente exclui números primos. Por outro lado, sabe-se que alguns polinômios quadrados, chamados fórmulas primas (falaremos sobre eles a seguir), criam uma alta densidade de primos, por exemplo, o polinômio primordial de Euler: x² - x - 41; essa é outra linha refletida como um padrão em espiral (embora seja difícil encontrar lacunas no diagrama acima).

Uma comparação visual indica padrões e uma análise lógica confirma a existência de padrões esperados. É claro que ainda estamos longe de ser uma fórmula universal para encontrar todos os números primos, mas a toalha de mesa de Ulam é sem dúvida linda, tanto como um símbolo de nosso conhecimento quanto como uma obra-prima da arte natural.

Sachs espiral

Como em muitas áreas da matemática, após o advento da idéia original, o exército de colegas matemáticos seguindo os passos começou a fazer tentativas de contribuir para o novo tópico. É lógico que a toalha de mesa de Ulam inspirou gerações de matemáticos que procuraram desenvolver sua incrível descoberta. Em 1994, o engenheiro de software Robert Sachs decidiu usar suas habilidades de programação para visualizar números primos de várias maneiras.

Quase como no caso da toalha de mesa de Ulam, Sachs decidiu estruturar seu esquema usando outro plano espiral. Semelhante à espiral quadrada mostrada acima, os planos espirais se recusam a dar pontos ao sistema numérico cartesiano tradicional, porque são um sistema de posicionamento unipolar . Apenas conhecendo o número, você pode descobrir sua localização na espiral, sua posição em relação a todos os outros números na espiral, bem como a distância entre ele e o quadrado anterior e próximo do número. No entanto, em vez de uma espiral quadrada, Sax tentou encontrar padrões usando números inteiros sobrepostos em uma espiral arquimediana com as seguintes coordenadas polares:


Coordenadas polares da espiral de Arquimedes / Sachs

Com esta técnica, a espiral arquimediana é centrada em torno de zero, e os quadrados de todos os números naturais (1,4,9,16,25) estão localizados nas interseções da espiral e do eixo polar (localizado a leste da origem).


Estrutura espiral de Arquimedes / Sax

Depois de preparar este diagrama, preencheremos os pontos entre os quadrados ao longo da espiral (sentido anti-horário), aplicando-os a uma distância igual um do outro. E no final, como no exemplo da toalha de mesa de Ulam, destacaremos os números primos contidos na espiral resultante.

A espiral numérica de Sachs, publicada online pela primeira vez em 2003, é atraente tanto visual quanto intelectualmente. Além disso, como veremos em breve, ele nos dá uma compreensão mais profunda dos padrões principais do que a conhecida toalha de mesa Ulam , porque combina as linhas quebradas das pseudo- espirais de Ulam :


Espiral arquimediana com números primos marcados, é também a espiral sax.

O gráfico resultante novamente demonstra padrões visíveis. Quase imediatamente, fica claro que existe uma linha branca limpa saindo do centro e se estendendo horizontalmente para o leste. Voltando ao nosso esquema, podemos ter certeza de que essa é apenas uma linha que contém todos os quadrados de números inteiros (r = n ^ (. 5)). Segunda observação: o padrão de marcação, em contraste com as linhas retas da toalha de mesa Ulam, é mais como linhas curvas . Acontece que essas curvas, também conhecidas como curvas de produto , nos remetem aos polinômios que explicam os padrões que surgem na espiral anterior. Mas antes de nos voltarmos para eles, por uma questão de unidade, comparamos novamente a espiral de Sachs com a espiral de valores aleatórios:

Polinômios e curvas de produto

O trabalho de Robert Sachs após essa descoberta foi inteiramente focado nessas peças tortas , começando no centro ou perto do centro da espiral e cruzando-se em diferentes ângulos com as curvas da espiral. As curvas são quase retas, mas o mais típico para elas é que elas executam rotações parciais, completas ou múltiplas no sentido horário (contra o movimento da própria espiral) ao redor da origem, antes de serem endireitadas a um certo deslocamento do eixo leste-oeste. Um dos aspectos mais marcantes da espiral numérica de Sachs é a predominância de tais obras curvas no hemisfério ocidental (no lado oposto ao quadrado dos números).

Sachs descreveu as curvas de produto como representando "produtos de fatores com uma diferença constante entre eles". Em outras palavras, cada curva pode ser representada por uma equação quadrática (polinômio de segundo grau), que novamente não é uma simples coincidência, dada a prevalência do quadrado de um número natural na espiral de Sachs. Talvez essas curvas de produto possam nos levar à conclusão de que a espiral de Sachs é muito mais útil em nosso caminho para entender os números primos do que a toalha de mesa de Ulam. Embora a toalha de mesa de Ulam tenha nos mostrado os padrões e a possível existência de equações, a espiral de Sachs fornece pontos de apoio na busca de fórmulas primárias - sua curvatura e integridade são constantes, o que significa que serão muito mais fáceis de detectar. Por exemplo, a espiral de Sachs mostrada abaixo contém linhas rotuladas e sua fórmula principal correspondente, escrita na forma padrão. Como prometi, a famosa fórmula de Euler para gerar números primos novamente nos encontrou (última entrada: n² + n +41):


Graças a essa espiral numérica, Sax conseguiu fazer uma afirmação impressionante sobre o que é um número primo: um número inteiro positivo que fica em apenas uma curva do produto. Como a espiral pode girar sem parar, as próprias curvas também podem ser consideradas sem fim; teoricamente, essas curvas de produtos podem prever a localização de números suficientemente grandes - pelo menos esses números valem uma olhada mais de perto.

No geral, a espiral de Sachs sem dúvida nos levou a uma compreensão mais profunda dos números primos, propondo fórmulas mais convenientes para números primos.

Significado de tudo

Então, analisamos a toalha de mesa de Ulam e a espiral de sax. Por meio desses exemplos, nossa compreensão da natureza dos números primos se expandiu. Em particular, a espiral de Sachs nos apresentou curvas de produto, que são essencialmente um conjunto de equações quadráticas, conhecidas como fórmulas primárias. Ambos os gráficos, Ulama e Sax, revelaram-se inesperados e estéticos, estimulam nossa curiosidade e lançam luz sobre uma das tarefas mais difíceis para o mundo inteiro.

Que lição pode ser aprendida com tudo isso?

Você nunca pode se recusar a analisar problemas aparentemente insolúveis, mesmo se o fizer por pura curiosidade e tédio; todos podem fazer descobertas e freqüentemente surgem como resultado de processos completamente incomuns. Mudando o ponto de vista da famosa tarefa graças à visualização, Stanislav Ulam está um passo mais perto de entender os números primos: quem sabe que outras descobertas inesperadas encontraremos?