Resolvendo problemas de um artigo sobre aleatoriedade perfeita

Existe uma chance objetiva, ideal, ou é o resultado de nossa ignorância?

Em setembro, vários problemas foram publicados , com a ajuda dos quais estudamos processos aleatórios em objetos do cotidiano - fechaduras para bicicletas ou quebra-cabeças. Vamos agora olhar para soluções para esses problemas.

Enigma 1: combinações aleatórias

A tarefa foi a seguinte:

Considere um bloqueio de código simples para uma bicicleta, semelhante à imagem abaixo. Possui três discos rotativos, cada um dos quais mostra 10 dígitos em ordem. Quando esses três discos são girados de modo a proporcionar a combinação desejada - 924 -, a trava se abre. Quando você deseja fechá-lo, é necessário misturar os números para que fiquem longe da combinação especificada. Mas o que significa "longe" nesse contexto? Se você mover o disco o máximo possível em 5 posições, definirá o número 479. No entanto, será fácil para um invasor tropeçar acidentalmente nessa posição se ele simplesmente girar todos os cinco discos ao mesmo tempo e ver se a trava é aberta. Imagine que um cracker tenha tempo para testar cinco combinações diferentes. Em cada caso, nosso ladrão em potencial tenta nosso castelo após uma das seguintes ações (e, em caso de falha, retorna o castelo à sua configuração original):

1. Gire uma unidade em um número aleatório de posições.
2. Gire dois discos simultaneamente em um número aleatório de posições.
3. Gire os três discos ao mesmo tempo por um número aleatório de posições.
4. Gire dois discos em ângulos diferentes.
5. Gire os três discos de maneira diferente.

Nosso enigma é o seguinte: se o código de desbloqueio da trava for 924, qual conjunto de números mistos será o mais estável para tentativas aleatórias de abrir a trava e quantos conjuntos existem? Qual é a probabilidade de detectar código?

A primeira formulação do problema mostrou-se um tanto ambígua, porque a princípio não indiquei que após cada passo o ladrão volta a trava para sua posição original. Um dos leitores analisou esse problema, desde que o "número aleatório" nos três primeiros casos não seja igual a zero e os ângulos de rotação "diferentes" nas opções 4 e 5 não sejam necessariamente iguais. No entanto, outro leitor apontou que, se você aceitar a última suposição, e girar os discos de bloqueio para que dois discos sejam girados em um ângulo e o terceiro pelo outro - como, por exemplo, na combinação 036 -, o ladrão não poderá abrir a fechadura, pois nenhum de opções não funciona dessa combinação.

A solução para o problema leva em consideração que nas etapas 4 e 5, os discos podem ser girados em diferentes ângulos. Também assumimos que nas três primeiras variantes o ladrão pode girar os discos selecionados uma volta completa, ou seja, por 10 (ou 0) dígitos e retorne-os ao estado original. Tendo especificado isso, calculamos a probabilidade de cada uma das ações do ladrão. Observe que qualquer ação tomada por um ladrão para obter uma certa combinação é potencialmente reversível - para isso, é necessário executar uma rotação reversa que complemente a primeira e tenha a mesma probabilidade. Portanto, a probabilidade de uma rotação aleatória do disco esquerdo nos levar da combinação 924 a 624 é de 1 em 10 chances - assim como a probabilidade de uma rotação aleatória nos levar de volta de 624 a 924. E isso é verdade independentemente de girarmos acidentalmente temos uma unidade, duas ou três. Portanto, para calcular quantas combinações um ladrão precisará escolher para selecionar a desejada, se ele executar uma determinada ação, podemos começar com a combinação 924 e calcular quantas combinações de três dígitos podemos obter dela.

1. A partir do número 924 e girando um dial, você pode obter combinações de três dígitos no formato x24, 9x4 e 92x, em que x é um dos 10 dígitos. Existem 10 dessas combinações cada. No entanto, seria desnecessário incluir a mesma combinação 924 na segunda e terceira variantes, portanto, na realidade, temos 10 + 9 + 9 = 28 combinações diferentes. E se acidentalmente viramos os números do castelo para fechá-lo, temos uma dessas 28 combinações, então o ladrão terá 1/28 de chance de abrir o castelo.
2. A união de dois discos nos fornece combinações possíveis dos formatos 9 ##, # 2 # e ## 4, onde os sinais # indicam a diferença entre os dígitos da combinação resultante e os dígitos iniciais (e essa diferença será a mesma para os dois discos). Também existem 10 peças cada, e excluindo 924 da segunda e terceira formas, também temos 28 combinações e 1/28 de chance de sucesso.
3. A rotação dos três discos permite obter 10 combinações - 035.146, 257, 368, 479, 580, 691, 702, 813 e 924 - e uma chance de 1/10 de sucesso.
4. A rotação aleatória de dois discos, não necessariamente nos mesmos ângulos, dá acesso a todas as combinações começando com 9 (de 900 e acima), todas as combinações com 2 no meio e todas as combinações que terminam com 4. Cada um dos tipos pode ter 100 peças. No entanto, nas combinações 9xx, 10 combinações já foram contadas, terminando em 4 e 10 variantes da combinação x2x; além disso, nove outras combinações que terminam em 4. já são contadas em combinações x2x.Portanto, o número total de combinações será 300 - 10 - 19 = 271 para esta etapa e terá 1/271 de chance de sucesso.
5. Girar os três discos em um ângulo aleatório nos dá todas as combinações de três dígitos e uma chance de 1/1000 de sucesso.

Temos dois conjuntos de números "seguros", os mais resistentes a tentativas de invasão. Eles não podem ser obtidos pelos quatro primeiros métodos, mas você pode tropeçar apenas no quinto método, onde a probabilidade de sucesso é de 1/1000. A primeira combinação persistente pode ser obtida girando cada um dos três discos em um ângulo diferente, para que nenhum deles permaneça em sua posição original. Tais posições serão 9 × 8 × 7 = 504. Outro conjunto de combinações estáveis ​​pode ser obtido girando dois discos por um ângulo diferente de zero e o terceiro por outro ângulo diferente de zero. São 3 x 9 x 8 = 216 combinações e é obtido um total de 720. Portanto, 720 combinações são mais seguras que outras.

Enigma 2: da aleatoriedade à ordem em enigmas

A tarefa foi a seguinte:

Suponha que resolvamos um quebra-cabeça composto de peças hexagonais - como favos de mel. A imagem do quebra-cabeça é uma videira sinuosa. Como o padrão é repetitivo e auto-semelhante, não é possível garantir que duas peças adjacentes se encaixem fisicamente uma na outra, mesmo que elas se encaixem na imagem. Suponha que três outras pessoas possam ir a cada extremidade de uma determinada peça. Portanto, quando duas peças se encaixam na imagem, a probabilidade de elas se encaixarem fisicamente será de 33,33%. No entanto, se você puder encontrar outra peça que se encaixe em ambas, ou seja, uma que tenha uma vantagem em comum com cada uma delas, sua confiança no sucesso aumentará. Vamos tentar avaliar quanto cresce.

1. Você encontrou três peças que parecem se encaixar à primeira vista, sem o deslocamento óbvio do padrão de liana nas bordas adjacentes. Qual é a medida de sua confiança na seleção correta de peças?
2. Você encontrou uma peça hexagonal central e seis ao seu redor, e na figura elas parecem coincidir. Qual é a medida de sua confiança na seleção correta de peças?

Quanto maiores os grupos de peças, maior a sua confiança na montagem correta. É razoável supor que três grupos isolados, nos quais há um total de sete peças conectadas, não sejam comparáveis ​​ao único hexágono cercado descrito acima.

A terceira parte deste enigma tem correções e é uma tentativa de quantificar a diferença acima. É possível chegar a uma medida do grau de conclusão de um quebra-cabeça parcialmente resolvido? Este método deve permitir que você atribua um número de 0 a 100 a qualquer quebra-cabeça parcialmente montado de hexágonos 10x10. Esse número deve indicar o grau de conclusão, correlacionando-se aproximadamente com a proporção do estado atual do quebra-cabeça em relação à versão final.

O leitor respondeu às duas primeiras perguntas da seguinte maneira:

1. Para três peças dispostas em um triângulo, a resposta será p = (2/3) ³ , pois existem três faces que podem ser removidas e a probabilidade de excluir cada uma delas é 2/3. Isso nos dá 1 - p = 0,7037, ou seja, confiança em 70,37%.
2. Seis peças podem não coincidir 6 + 6 = 12 faces, o que nos dá 1 - p = 1 - (2/3) ¹² = 0,9923 ou uma confiança de 99,23%.

Usando esses dados de confiança, podemos escolher uma métrica simples com base na soma dos valores de confiança para as peças acabadas do quebra-cabeça, para que um quebra-cabeça totalmente concluído dê 100% de confiança. É feito assim. Pegue todos os grupos concluídos de duas ou mais peças conectadas. Adicione a quantidade de confiança para cada uma das peças individuais. Ou seja, para um grupo de três peças com um vértice comum, obtemos 3 × 0,7037 = 2,11%, e para um hexágono completo obtemos 7 × 0,9923 = 6,95%. Um quebra-cabeça parcialmente concluído de três grupos de três peças e um hexágono dará a você 6,95 + 2,11 + 2,11 + 2,11, ou 13,3%. Por outro lado, se você tiver dois hexágonos completos, seu total será de 6,95 + 6,95 = 13,9%, embora neste caso você tenha usado duas peças a menos.

O leitor desenvolveu mais essa idéia e propôs uma medida que usa logaritmos e está associada ao conceito de entropia - uma medida natural de desordem e aleatoriedade. Sua medida para uma grade 10 × 10 é n - 100 × (log m) / (log 100), onde m é o número de layouts alternativos en é o número total de peças colocadas no campo.

Enigma 3: é possível uma perfeita coincidência?

Hoje, a opinião predominante é que a física quântica se baseia na natureza intrínseca, na aleatoriedade objetiva e ideal. Incentivei os leitores a compartilharem suas opiniões sobre esse enigma filosófico, juntando-se à equipe de Einstein (E) ou à equipe de Bohr (B). A equipe B aceita a aleatoriedade objetiva do mundo quântico, e a equipe E considera a aleatoriedade física uma impossibilidade lógica, revelando nossa ignorância dos fenômenos casuais determinísticos que ocorrem em escalas de subplacas. As vozes dos leitores foram divididas aproximadamente igualmente [como no nosso voto / aprox. transl.].

Um leitor com o apelido RRG descreveu minha motivação para oferecer essa discussão:

Na mecânica quântica, se considerarmos o experimento padrão de duas fendas , não podemos prever exatamente onde uma determinada partícula aparecerá na tela, mas podemos prever a probabilidade de ela entrar em um determinado local. E essas probabilidades podem ser extremamente precisas e confiáveis. Essa confiabilidade e precisão das probabilidades são um sinal claro da presença de algum tipo de processo oculto.

O que está acontecendo é semelhante à termodinâmica. Podemos medir com precisão a temperatura em uma sala, sem saber o que exatamente cada uma das moléculas de ar faz. Como as probabilidades da física quântica, a temperatura se manifesta com base em um nível físico mais profundo.

É assim que eu raciocinei! Por que uma determinada partícula que passa por uma fenda dupla atinge, digamos, a parte superior esquerda da tela e não a parte inferior direita? Uma certa cadeia causal (possivelmente flutuações de energia em massa no nível da gravidade quântica) deveria ter levado à escolha de um determinado local em um determinado caso. Nesse caso, a aleatoriedade quântica não é uma parte ideal, objetiva e mágica do Universo, mas uma consequência de nossa ignorância dos princípios da física subjacente a ela - exatamente como uma aleatoriedade clássica.

Como o leitor escreveu a Mark Thomas, o espaço de probabilidade definido pela energia de massa de Planck pode ser enorme. Pode ser grande o suficiente para alcançar indicadores próximos da aleatoriedade perfeita no sentido Kolmogorov (obrigado a outro leitor por um link com explicações sobre a complexidade e aleatoriedade de Kolmogorov). Mas, neste caso, a equação de Schrödinger será uma aproximação e não poderá ser interpretada como algo intocável e não pode ser usada como base para a agora popular "interpretação multi-mundo", baseada em considerações de simplicidade matemática. A última abordagem é defendida pelo físico Sean Carroll .

O leitor Rob McChern comentou sobre esta passagem minha: “Se você conhecesse todas as forças que atuam em uma moeda lançada ou em um dado, se tivesse poder computacional suficiente, poderia prever o resultado” da seguinte forma:

Esta afirmação está incorreta. Você também precisa conhecer todas as condições iniciais associadas a este experimento. E aqui reside o problema. Em qualquer situação difícil, o conteúdo informativo das condições iniciais é muito maior que o conteúdo informativo de todas as forças ou leis da natureza. Consequentemente, é muito mais difícil (e até mesmo impossível em princípio) obter todas as informações necessárias sobre as condições iniciais do que obter um conhecimento preciso de todas as leis.

Concordo que um conhecimento ideal das condições iniciais não pode ser obtido com precisão infinita. Mas acho que a maioria dos físicos concorda que é possível obter conhecimento sobre o lançamento de uma moeda em uma sala com precisão suficiente e prever o resultado na maioria dos casos. Obviamente, isso não será possível se um furacão voar de repente pela janela e organizar o caos. É possível que as flutuações de energia de massa acima mencionadas nas escalas de Planck sejam os furacões que causam estragos constantemente, que é a verdadeira causa da aleatoriedade quântica. Mas mesmo neste caso, em princípio, uma cadeia causal deve existir. A equipe E dirá simplesmente que não sabemos todos os detalhes.

O leitor Abhinav Deshpande fez uma descrição bonita, equilibrada, abrangente e baseada em evidências do estado atual das coisas nessa área, bem como links para artigos muito interessantes. Ele afirma corretamente: "Eu não acho que o fundador da teoria da relatividade estivesse bem disposto à não-localidade (mesmo que a não-localidade não permita a transmissão de informações mais rapidamente que a luz)". Mas devemos lembrar que o teorema de Bell foi provado dez anos após a morte de Einstein. E, diante das evidências experimentais convincentes das desigualdades de Bell, a Equipe E não teve escolha a não ser alterar a opinião inicial de Einstein e aceitar o fato de não localidade e “ação assustadora de longo prazo”. Isso significa que a existência de conexões superluminal ou superespaço entre os componentes de um objeto quântico emaranhado é possível, mesmo que a transmissão externa de informação seja limitada pela velocidade da luz de acordo com a teoria da relatividade, e a não localidade nunca dê vazamento visível.

De alguma forma, me deparei com uma imagem tão brilhante: imagine um lago com uma superfície opaca. Um enorme elefante de madeira de cabeça para baixo flutua nele, quase do tamanho de todo o lago, e suas pernas se estendem para fora nos quatro cantos do lago, como colunas, e seu corpo está escondido debaixo d'água e não é visível. Primeiro, você pode decidir que as quatro colunas são objetos independentes. No entanto, você vê que os movimentos deles estão perfeitamente correlacionados entre si - eles estão confusos. Da mesma forma, partículas emaranhadas formam uma única entidade que pode se estender a todo o Universo, e suas conexões internas podem ser superluz ou superespaço. Uma idéia interessante está relacionada a isso, conhecida como ER = EPR - uma hipótese misteriosa apresentada pelos brilhantes físicos teóricos Juan Maldasena e Leonard Sasskind . A idéia é que as partículas entrelaçadas (EPR) sejam conectadas por um buraco de minhoca, a Ponte Einstein-Rosen (ER). Inicialmente, foi proposto no contexto do estudo de buracos negros, mas talvez funcione para todas as partículas emaranhadas. Como a teoria de Bohm mostra, determinismo e mecânica quântica podem coexistir e negar localidade com conexões superluminais internas sem a necessidade de aleatoriedade objetiva.