Teoria da probabilidade. Fórmula de Bayes

Deixe algum experimento ser conduzido.

$$$w_1, ..., w_N$ - eventos elementares (resultados elementares de um experimento).
$$$\ Omega = \ {w_i \} _ {i = 1} ^ N$ - o espaço dos eventos elementares (o conjunto de todos os possíveis resultados elementares do experimento).

Definição 1:

Definir sistema $$$\ Sigma$ é chamado álgebra sigma se as seguintes propriedades forem atendidas:

1. $$$\ Omega \ in \ Sigma;$
2. $$$A \ in \ Sigma \ Rightarrow \ overline {A} \ in \ Sigma;$
3. $$$A_1, A_2, ... \ in \ Sigma \ Rightarrow \ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ Sigma.$

Das propriedades 1 e 2 da Definição 1 , segue-se que $$$\ emptyset \ in \ Sigma$ . Das propriedades 2 e 3 da Definição 1 , segue-se que $$$\ bigcap \ limits_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ Sigma \ space ($ porque $$$A_i \ in \ Sigma \ Rightarrow_ {St. 3} \ overline {A_i} \ in \ Sigma \ Rightarrow_ {St. 3} \ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ \ infty \ overline {A_i} \ in \ Sigma \ Rightarrow_ {sv.2} \\ \ Rightarrow_ {sv.2} \ overline {\ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ \ infty \ overline {A_i}} \ in \ Sigma \ Rightarrow \ bigcap \ limits_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ Sigma).$

Definição 2:

• $$$A$ - evento $$$\ forall A \ in \ Sigma;$
• $$$P \ colon \ Sigma \ to \ mathbb R$ - medida probabilística (probabilidade) se:
  
  1. $$$P (\ Sigma) = 1;$
  2. $$$\ forall A \ in \ Sigma \ space \ space P (A) \ geqslant 0;$
  3. $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ \ infty, \ space A_i \ in \ Sigma, \ space A_i \ cap A_j = \ emptyset$ às $$$i \ not = j \ Rightarrow P (\ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ \ infty A_i) = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ \ infty P (A_i).$

Propriedades de probabilidade:

1. $$$P (A) \ leqslant 1;$
2. $$$P (A) = 1-P (\ overline {A});$
3. $$$P (\ emptyset) = 0;$
4. $$$A \ subseteq B \ Rightarrow P (A) \ leqslant P (B);$
5. $$$P (A \ xícara B) = P (A) + P (B) -P (A \ cap B);$
6. $$$\ forall \ {A_i \} _ {i = 1} ^ N \\ \ space \ space P (\ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ N A_i) = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ NP ( A_i) - \ sum \ limits_ {i <j} P (A_i \ cap A_j) + \ sum \ limits_ {i <j <k} P (A_i \ cap A_j \ cap A_k) -... + \\ + ( -1) ^ {n-1} P (A_1 \ cap A_2 \ cap ... \ cap A_n);$
7. $$$\ forall \ {A_i \} _ {i = 1} ^ \ infty \ colon (A_ {i + 1} \ subseteq A_i, \ space \ bigcap \ limits_ {i = 1} ^ \ infty A_i = \ emptyset) \ espaço \ espaço \ espaço \ lim \ limites_ {i \ to \ infty} P (A_i) = 0.$

Definição 3:

$$$(\ Omega, \ Sigma, P)$ - espaço de probabilidade .

Definição 4:

$$$\ forall A, B \ in \ Sigma: P (B)> 0$
$$$\ qquad P (A | B) = \ frac {P (AB)} {P (B)}$ - probabilidade condicional de um evento $$$A$ sujeito ao evento $$$B$ .

Definição 5:

Deixe para $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ onde $$$\ forall i \ in \ overline {1, N} A_i \ in \ Sigma$ é executado $$$\ forall i, j \ in \ overline {1, N} \ espaço A_i \ cap A_j = \ emptyset$ e $$$\ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ N A_i = \ Omega$ . Então $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ chamado de partição do espaço de eventos elementares.

Teorema 1 (fórmula de probabilidade total):

$$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ - partição do espaço de eventos elementares, $$$\ forall i \ in \ overline {1, N} \ espaço P (A_i)> 0$ .
Então $$$\ forall B \ in \ Sigma \ quad P (B) = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ NP (B | A_i) P (A_i)$ .

Teorema 2 (fórmula de Bayes):

$$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ - partição do espaço de eventos elementares, $$$\ forall i \ in \ overline {1, N} \ espaço P (A_i)> 0$ .

Então $$$\ forall B \ in \ Sigma \ colon P (B)> 0 \ quad P (A_i | B) = \ frac {P (B | A_i) P (A_i)} {\ soma \ limites_ {i = 1} ^ NP (B | A_i) P (A_i)} = \ frac {P (B | A_i) P (A_i)} {P (B)}$ .

Usando a fórmula de Bayes, podemos superestimar as probabilidades a priori ( $$$P (A_i)$ ) com base em observações ( $$$P (B | A_i)$ ) e obtenha uma nova compreensão da realidade.

Um exemplo :

Suponha que exista um teste aplicado a uma pessoa individualmente e determine: ele está infectado com o vírus "X" ou não? Assumimos que o teste foi bem-sucedido se forneceu o veredicto correto para uma pessoa em particular. Sabe-se que esse teste tem uma probabilidade de sucesso de 0,95 e 0,05 é a probabilidade de ambos os erros do primeiro tipo (falso positivo, ou seja, o teste passou por um veredicto positivo e a pessoa é saudável) e erros do segundo tipo (falso negativo, ou seja, o teste passou por um veredicto negativo e a pessoa está doente). Para maior clareza, um veredicto positivo = teste "disse" que uma pessoa está infectada com um vírus. Sabe-se também que 1% da população está infectada com esse vírus. Deixe uma pessoa obter um veredicto positivo do teste. Qual a probabilidade de ele estar realmente doente?

Denotar: $$$t$ - resultado do teste $$$d$ - a presença do vírus. Então, de acordo com a fórmula para probabilidade total:

$$

$$P (t = 1) = P (t = 1 | d = 1) P (d = 1) + P (t = 1 | d = 0) P (d = 0).$$

Pelo teorema de Bayes:

$$

$$P (d = 1 | t = 1) = \ frac {P (t = 1 | d = 1) P (d = 1)} {P (t = 1 | d = 1) P (d = 1) + P (t = 1 | d = 0) P (d = 0)} = \\ = \ frac {0,95 \ times0,01} {0,95 \ times0,01 + 0,05 \ times0,99} = 0,16$$

Acontece que a probabilidade de estar infectado com o vírus “X” sob a condição de um veredicto de teste positivo é de 0,16. Por que tal resultado? Inicialmente, uma pessoa com uma probabilidade de 0,01 está infectada com o vírus “X” e mesmo com uma probabilidade de 0,05, o teste falhará. Ou seja, no caso em que apenas 1% da população está infectada com esse vírus, a probabilidade de um erro de teste de 0,05 tem um impacto significativo na probabilidade de uma pessoa estar realmente doente, desde que o teste dê um resultado positivo.

Lista de literatura usada:

• “Fundamentos da teoria das probabilidades. Textbook ", M.E. Zhukovsky, I.V. Rodionov, Instituto de Física e Tecnologia de Moscou, Moscou, 2015;
• “Aprendizagem profunda. Imersão no mundo das redes neurais ”, S. Nikulenko, A. Kadurin, E. Arkhangelskaya, PETER, 2018.