Trajetórias quânticas e o que elas comem

Esta pequena nota é sobre como desenhar belas imagens, bem, um pouco sobre física, sobre a qual raramente se fala, sobre mecânica quântica de Bomov.

Pequena introdução

Como qualquer ficção científica e bobagem pseudocientífica gosta de nos contar, como o filme O Segredo, as leis do microworld são muito diferentes das clássicas com as quais estamos acostumados.
No mundo da mecânica quântica, a probabilidade dada pela função de onda governa tudo. $$$\ psi$ (os interessados ​​em detalhes podem olhar, por exemplo, no post "Catálise de Muon do ponto de vista da química quântica. Parte I: hidrogênio comum versus hidrogênio do múon" ).
As pernas de todo tipo de coisa engraçada, como os gatos de Schrödinger , os princípios da incerteza de Heisenberg e as desigualdades de Bell, crescem a partir das propriedades probabilísticas de um mecanismo quântico.

Mas todas essas imagens com todos os tipos de orbitais de elétrons não responderam à pergunta "como um elétron voa no espaço". Para esclarecer essa situação, os físicos passaram muito tempo, mas não conseguiram lidar com isso. Mas David Bohm (conhecido por muitos pelo efeito Aaronov-Bohm ) finalmente criou um dos formalismos da mecânica quântica (nome próprio) , em que ainda existem trajetórias pelas quais a partícula quântica se move. E, diferentemente das integrais do caminho de Feynman , esse caminho para cada partícula é exatamente um. Essa propriedade permite fundamentalmente rastrear o movimento de partículas e comparar o movimento de partículas clássicas e quânticas, com as quais trataremos neste artigo.

Trajetórias clássicas e quânticas

Vamos considerar um sistema bastante chato: um elétron no campo de vários prótons. Você pode ler sobre esse sistema, bem como sobre a mecânica clássica e quântica na primeira e na segunda parte dos posts "Catálise Muon do ponto de vista da química quântica".

O problema clássico do movimento de partículas em um certo potencial é dado pela segunda lei de Newton:

$$

$$m \ ddot {x} = F$$

onde m é a massa da partícula, x é a coordenada, F é a força que atua sobre a partícula e $$$\ ddot {x} = \ frac {d ^ 2 x} {dt ^ 2}$ - a segunda derivada da coordenada da partícula no tempo ou aceleração. Se apenas forças potenciais atuam no sistema, a força pode ser expressa através de uma nova entidade, a energia potencial V como

$$

$$F = - \ frac {dV} {dx}$$

No nosso caso, um elétron no campo de vários prótons,

onde o elétron interage com cada um dos prótons de acordo com a lei de Coulomb

$$

$$V (R) = - k e ^ 2 / R$$

, onde k é um coeficiente igual a 1 em unidades atômicas, e é a carga do elétron e R é a distância do elétron ao próton.
Nesse caso, o potencial total de ação no elétron será igual a

$$

$$V = \ sum_ {n = 1} ^ N V_n (R_n) = - \ sum_ {n = 1} ^ N \ frac {k e ^ 2} {R_n} \,$$

onde o índice n numera os prótons (total de prótons N pedaços) e R _n é a distância do elétron ao nono próton.

Resolver numericamente o diffur, que é a segunda lei de Newton, é uma tarefa simples, o principal é definir a posição e a velocidade iniciais. Se o elétron voa muito rápido, ele rompe a atração do (s) próton (s) e voa para o infinito, e se houver apenas um pouco de energia, ele vibrará para sempre no campo de um dos núcleos, nunca visitando os outros.

Então, o que acontece nos clássicos, nós sabemos.

Mas o que acontecerá na dinâmica de Bomov?
Nesse caso, a partícula também se moverá de acordo com a segunda lei de Newton com potencial $$$V = V_ \ mathrm {C} + V_ \ mathrm {Q}$ onde $$$V_ \ mathrm {C}$ - o potencial clássico da lei de Newton usual, que no nosso caso tem a forma dada acima.
I.e. além do potencial clássico, outra entidade atuará sobre ele: o potencial quântico $$$V_ \ mathrm {Q}$ tendo (no caso 1D) a forma

$$

$$V_ \ mathrm {Q} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2mA} \ frac {d ^ 2A} {dx ^ 2}$$

onde A é a amplitude (módulo) da função de onda $$$A = | \ psi |$ ( $$$\ psi = A \ exp (i \ varphi)$ onde $$$\ varphi$ - fase da função de onda).
Portanto, para obter a equação de movimento de uma partícula quântica, ainda precisamos saber algo sobre a função de onda.


No caso de um próton, sabemos (veja, por exemplo, aqui ) a expressão exata da função da onda de elétrons no estado do solo (1s) [ em unidades atômicas ]:

$$

$$\ psi (R) = \ exp (-R)$$

No caso de vários prótons, na estrutura do método dos orbitais moleculares como combinações de orbitais atômicos ( MO LKAO , veja aqui ), o estado fundamental com um grau de precisão suficiente será dado pela soma dos orbitais 1s de cada um dos átomos:

$$

$$\ psi \ approx \ sum_ {n = 1} ^ N \ psi_n (R_n) = \ sum_ {n = 1} ^ N \ exp (-R_n)$$

Agora, para descobrir o potencial quântico, você só precisa usar essa expressão.

Como resultado, podemos escrever nosso potencial quântico como

$$

$$V_ \ mathrm {Q} \ approx \ frac {\ hbar ^ 2} {m} \ sum_ {n = 1} ^ N \ frac {\ exp (-R_n)} {R_n}$$

e com essa expressão já podemos dirigir a dinâmica de um elétron de Bohm no campo de muitos prótons.

Implementação

Por toda essa desgraça, o código foi escrito em python, está disponível aqui:

Vamos discutir apenas alguns pontos.
A segunda lei de Newton é integrada usando o algoritmo Verlet :

$$

$$x (t + \ Delta t) = 2 x (t) - x (t - \ Delta t) + \ frac {F (t)} {m} \ Delta t ^ 2$$

A posição inicial é gerada pela seleção aleatória de um dos prótons, uma direção é selecionada aleatoriamente em torno dele (usando coordenadas esféricas). Para definir a velocidade inicial, você precisa definir outra posição anterior. É selecionado usando outro pequeno vetor aleatório.

Ativando / desativando o potencial quântico, passamos para os modos de movimento quântico / clássico.

Bem, então, você pode criar belas imagens usando o Gnuplot para o átomo de hidrogênio

e para a molécula H2 ⁺


Como você pode ver, as trajetórias clássicas (superior, azul) são muito localizadas ou, se o elétron for forçado a se mover muito rapidamente, fogem dos núcleos. No caso quântico (inferior, rosa), o potencial quântico permite que os elétrons caminhem significativamente mais longe do núcleo e, no caso da molécula H2 ⁺ , permite executar de um próton para outro, que é uma visualização indireta de ligações químicas.

Algumas palavras sobre a criação de figuras: para criar um efeito de néon, cada caminho é desenhado várias vezes, do branco fino ao preto grosso, através das sombras da cor de seu interesse. Para a conveniência de escolher essa paleta, você pode, por exemplo, usar o site https://www.color-hex.com/
Um script de exemplo é fornecido abaixo.

Conclusão

As trajetórias de Bomov, apesar de difíceis de entender e calcular, permitem desenhar belas imagens que mostram como é mais divertido e rico que a mecânica clássica.

Se você tiver comentários, perguntas, sugestões: escreva. :)