Matemáticos cortam formas em busca de partes de equações

Um novo trabalho sobre o problema do “alinhamento igual” explica quando é possível cortar uma figura e montar outra a partir dela

Se você tiver duas folhas planas de papel e tesoura, pode cortar uma peça e reorganizá-las para obter a outra? Se você puder, essas duas figuras são “congruentes em tesoura” [ iguais ].

No entanto, os matemáticos estão interessados ​​em saber se é possível detectar essa relação nas figuras sem usar uma tesoura? Em outras palavras, esses números têm características que podem ser medidas com antecedência e determinam se são congruentes?

Para figuras bidimensionais, a resposta é simples. Você só precisa medir a área deles; se eles coincidirem, as figuras são tesouras congruentes.

Mas para figuras em dimensões mais altas - por exemplo, para uma bola tridimensional ou uma rosquinha de onze dimensões que é impossível imaginar - a questão de cortar e remontar de uma forma diferente se torna muito mais complicada. E, apesar de séculos de esforço, os matemáticos não conseguiram determinar as características que confirmam a composição igual para a maioria das figuras de maior dimensão.

No entanto, neste outono, dois matemáticos fizeram a descoberta mais significativa na solução desse problema em várias décadas. Em um artigo apresentado na Universidade de Chicago em 6 de outubro, Jonathan Campbell, da Duke University, e Inna Zakharevich, da Cornell University, deram um passo significativo para provar a congruência da tesoura para formas de qualquer dimensão.

Mas não é só isso. Como os problemas matemáticos mais importantes, a equanimidade é uma toca de coelho: uma afirmação humilde que atrai matemáticos para o buraco profundo da matemática complexa. Na tentativa de entender a congruência da tesoura, Campbell e Zakharevich podem ter mostrado uma nova maneira de falar sobre uma área completamente diferente dessa ciência: equações algébricas.

Primeiro corte

O alinhamento igual pode parecer uma tarefa simples. Mais de 2000 anos atrás, Euclid percebeu que duas figuras bidimensionais da mesma área podem ser reorganizadas de uma para outra. É razoável supor que figuras de dimensões mais altas do mesmo volume possam ser refeitas de maneira semelhante.

Mas em 1900, David Hilbert sugeriu que essa tarefa não é realmente tão simples.

Naquele ano, falando no Congresso Internacional de Matemática em Paris, ele identificou 23 problemas em aberto que, em sua opinião, guiarão o pensamento matemático no próximo século. O terceiro deles estava relacionado à congruência da tesoura [composição igual de poliedros iguais]. Hilbert sugeriu que nem todas as figuras tridimensionais do mesmo volume são congruentes - e desafiou os matemáticos ao propor encontrar um par de figuras que comprove isso.

Um ano após o discurso, o aluno de Hilbert, Max Dan , fez exatamente isso. Tal termo pareceu aos matemáticos suspeito. "Algumas pessoas acreditam que Hilbert incluiu essa tarefa na lista apenas porque seu aluno já a havia resolvido", disse Zakharevich.

Seja uma conspiração ou não, o resultado de Dan virou a idéia dos matemáticos de representação igual de cabeça para baixo. Ele provou que um tetraedro de um único volume não é igual a um cubo do mesmo volume. Não importa como você corta o primeiro, você nunca pode montar as peças a partir do segundo.

Além de demonstrar que a igualdade de volume não é suficiente para determinar a composição igual, Den propôs uma nova maneira de medir formas. Ele provou que quaisquer figuras tridimensionais, iguais umas às outras, devem ter o mesmo volume e também coincidir em uma nova extensão.

Dan concentrou-se nos cantos internos entre as duas faces da figura tridimensional. Por exemplo, dentro de um cubo, todas as faces se encontram em ângulos retos. Mas em formas mais complexas, os ângulos são diferentes e têm importância diferente. Os ângulos entre as arestas mais longas influenciam mais a forma da figura do que os ângulos entre as arestas mais curtas, então Den atribuiu aos cantos um peso com base nos comprimentos das arestas que os formam. Ele combinou essas informações em uma fórmula complexa que produziu um único número - o "Den invariável" - para uma determinada figura.


Os matemáticos querem saber quando uma figura pode ser cortada e montar outra a partir dela.
Figuras bidimensionais são igualmente espaçadas se tiverem a mesma área.
Figuras tridimensionais são compostas igualmente se tiverem o mesmo volume e Dehn invariável.
O cubo e o tetraedro não são igualmente compostos - eles têm o mesmo volume, mas diferentes invariantes de Den.
As formas podem ser cortadas em pedaços e os gráficos de equações podem ser cortados em subgráficos. Os matemáticos estão procurando um análogo da invariante de Dehn, que mostra que duas equações consistem em peças idênticas.

Deng provou que quaisquer figuras tridimensionais equidistantes entre si devem ter o mesmo volume e o Deng invariante. Mas ele não conseguiu responder a uma pergunta mais complexa: se as figuras tridimensionais têm o mesmo volume e o Dan é invariável, isso significa que elas são necessariamente iguais? Jean-Pierre Sidler finalmente provou isso em 1965. Três anos depois, Björg Jessen mostrou que essas mesmas duas características determinam a equidimensionalidade em quatro dimensões.

Os resultados de Sidler e Jessen foram passos sérios, mas os matemáticos são um povo ganancioso: há volume suficiente e a invariância de Dan para determinar a composição igual de figuras em todas as dimensões? Essas medidas são suficientes em espaços geométricos diferentes de Euclidiano na geometria esférica (imagine a latitude e longitude na superfície da Terra) ou no universo em forma de sela da geometria hiperbólica?

No final do século XX, o matemático Alexander Borisovich Goncharov propôs uma abordagem que, em sua opinião, poderia resolver todo o problema de uma vez por todas - e ao mesmo tempo relacionar a igualdade com um campo completamente diferente da matemática.

Conexões estranhas

A matemática está cheia de conexões inesperadas. Zakharevich diz que fazer contas é como tropeçar em algo de natureza estranha e tentar entender por que é.

"Se você encontrar um anel de cogumelos em uma floresta e não souber como os cogumelos crescem, você pensará em como eles sabem como crescer por aí? Ela disse. "A razão é que os cogumelos têm um micélio crescendo no subsolo."

Em 1996, Goncharov formulou um conjunto de hipóteses sugerindo a existência de uma estrutura matemática, também oculta sob a superfície. Se essa estrutura existir, será capaz de explicar por que alguns fenômenos matemáticos - incluindo composição igual - funcionam dessa maneira.

Uma hipótese afirma que o volume da figura e seu invariante Dan são suficientes para determinar a composição igual de figuras de qualquer dimensão e espaço.

"Goncharov disse que os mesmos princípios que se aplicam em três dimensões se aplicam a todos", disse Charles Weibel, da Rutgers University.

Mas Goncharov, agora empregado em Yale, também previu que essa estrutura oculta explicaria muito mais do que isso. Ele disse que o alinhamento igual é um conceito mais universal e que é aplicável não apenas ao corte de formas geométricas, mas também ao corte de formas geradas por soluções de equações algébricas - por exemplo, o gráfico da equação x ² + y ² + z ² = 1. E as informações necessárias para classificar por igual composição refletem as informações necessárias para classificar equações algébricas - de modo que as equações da mesma classe sejam compostas de peças idênticas.

A conexão foi chocante, como se um princípio adequado para a sistematização de animais também permitisse sistematizar elementos químicos. Muitos matemáticos acham essa idéia tão estranha quanto parece à primeira vista.

“Isso é completamente misterioso. À primeira vista, essas coisas não devem estar absolutamente conectadas ”, disse Campbell.

Equações de corte

Para entender como as formas geométricas e as equações algébricas podem ser semelhantes, primeiro será útil entender como as soluções das equações podem ser divididas em partes. Para fazer isso, vamos voltar ao nosso exemplo anterior e desenhar um gráfico da equação x ² + y ² + z ² = 1.

Será uma esfera. No entanto, essa superfície não é apenas uma coleção de soluções para esta equação: é também uma coleção de muitos gráficos menores, ou subgráficos, de soluções para outras equações. Por exemplo, na superfície de uma esfera, você pode desenhar um círculo da maneira do equador da Terra. Este é um subgráfico que representa soluções da equação algébrica x ² + y2 = 1. Ou você pode isolar um único ponto no polo norte da esfera correspondente à equação z = 1. Estudando os vários subgráficos que podem ser desenhados em um gráfico maior - algo como suas partes constituintes - você pode descobrir algumas propriedades de um gráfico maior.

Por mais de 50 anos, matemáticos desenvolveram a teoria de subgráficos de equações algébricas. Assim como a matéria comum consiste em átomos, também, de acordo com matemáticos, as equações algébricas consistem em partes fundamentais chamadas "motivos". O termo vem do termo francês, que denota os elementos básicos da melodia.


Inna Zakharevich da Universidade de Cornell

“Motivos são componentes fundamentais. Eles vão falar sobre tudo o que as equações algébricas consistem, como uma melodia, consiste em vários componentes ”, disse Zakharevich. Uma esfera, por exemplo, consiste em círculos, pontos e planos. Cada um deles consiste em componentes (manifestados como resultado de ações matemáticas sobre eles), e assim por diante, mais e menos, até chegarmos aos motivos, a alegada base das equações algébricas.

Os matemáticos precisam classificar as equações algébricas de acordo com seus motivos, a fim de obter uma imagem completa e sistemática das equações pertencentes aos objetos matemáticos mais importantes. Esta é uma tarefa difícil e inacabada. Mas em 1996, Goncharov sugeriu que classificar figuras por composição igual e classificar equações algébricas por motivo são dois lados de uma tarefa - ou seja, a classificação de uma fornecerá um princípio pelo qual a outra pode ser classificada.

Ele sugeriu que essa conexão se baseia no análogo da invariante Dehn. Somente em vez de aparecer nos cálculos geométricos mais simples, esse análogo deve surgir de um cálculo semelhante dos motivos das equações algébricas (" coproduto dos motivos").

"A idéia é que o problema invariável de Dan seja paralelo a outro problema relacionado aos motivos", disse Weibel.

Mas, para descobrir tal conexão, os matemáticos precisam primeiro provar que o invariável Dehn classifica os números por grupos iguais. O próprio Den mostrou que quaisquer figuras tridimensionais equidistantes têm volumes iguais e o Den invariante. No entanto, Den, e todos os outros depois dele, não refutaram a possibilidade de que existem certas figuras de dimensões mais altas do mesmo volume e com o mesmo Dan invariável, que não são igualmente iguais. Em seu novo trabalho, Campbell e Zakharevich tentaram fechar permanentemente essa oportunidade.

Dois pelo preço de um

Em junho de 2018, Campbell e Zakharevich trabalharam juntos por três semanas no Instituto de Pesquisa Avançada em Princeton, Nova Jersey. Há muito se interessavam por tratamento igual, mas Zakharevich acreditava que as hipóteses de Goncharov eram complexas demais para serem tratadas em tão pouco tempo. Mas Campbell ainda queria tentar, e Zakharevich não precisou persuadir por um longo tempo.

"Jonathan disse: 'Temos três semanas, vamos tentar abordar isso e ver o que aconteceu, até o final da primeira", disse Zakharevich. Duas semanas depois, eles desenvolveram muitas ideias-chave subjacentes ao seu novo trabalho.

No trabalho, eles conduzem um experimento de pensamento contra-intuitivo. Para entender, imagine que você tenha um hotel com muitos quartos. Você precisa organizar todas as figuras iguais na mesma sala. Não sabemos como determinar se os números estão igualmente espaçados - essa é a raiz do problema. No entanto, para o nosso experimento mental, vamos imaginar que isso é possível. Ou, como diz Zakharevich, "fingiremos que há uma pessoa onisciente que sabe se duas figuras são iguais ou não".

Depois de ordenar os números por salas, verificamos que todos os números na mesma sala têm o mesmo volume e o mesmo Den invariável. Também é importante verificar se todas as figuras do mesmo volume e com o mesmo Den invariável estavam na sala certa - que as figuras que caíram do coletivo não estavam no bar do hotel. O objetivo de um experimento mental é provar a existência de uma correspondência individual ideal entre grupos de figuras iguais e grupos de figuras com o mesmo volume e o mesmo Dan invariável. A existência de tal correspondência provará que apenas o volume e o invariante Dan serão realmente suficientes para você determinar a composição igual das figuras.

Goncharov previu a existência dessa correspondência e Campbell e Zakharevich provaram sua presença - sob uma condição. Existe correspondência se outro resultado não comprovado relacionado às hipóteses de Beilinson for verdadeiro.

As duas hipóteses de Goncharov - a classificação de figuras iguais em volume e o invariante de Dehn, bem como a classificação de equações algébricas pelo análogo do invariante de Dehn - não são totalmente provadas por Campbell e Zakharevich. No entanto, o trabalho deles fornece aos matemáticos uma idéia mais clara de como provar todos eles: se você pode provar as hipóteses de Beilinson, graças ao trabalho de Campbell e Zakharevich, você também receberá igualdade gratuita.

"O trabalho deles realmente repensa essa tarefa", disse Weibel. "Quando você conecta duas hipóteses dessa maneira, ela lança luz sobre a estrutura do objeto que está sendo estudado."

Campbell e Zakharevich estão agora trabalhando com outro matemático, Daniil Rudenko, da Universidade de Chicago, tentando determinar a relação entre o corte de figuras e a análise em partes das equações propostas por Goncharov. Rudenko já havia feito alguns progressos nessa direção. Agora, junto com Campbell e Zakharevich, ele espera avançar muito mais.

“Acho que temos todas as chances de alcançar um progresso significativo. Talvez dessa forma prove as hipóteses de Goncharov ”, disse Rudenko.