A soma de todos os números naturais: 1 + 2 + 3 + 4 + .... Parte 2

Muitas pessoas sabem que

$$

$$1 + 2 + 3 + \ dots = - \ dfrac {1} {12}.$$

Mas na realidade

$$

$$1 + 2 + 3 + \ dots = - \ dfrac {1} {8}.$$

Vamos considerar com mais detalhes o primeiro resultado. Certamente, uma série de números naturais diverge no sentido clássico (no sentido de convergência de uma sequência de somas parciais: é claro que não tem limite). Neste artigo, o autor menciona outros métodos de somatório, como o método Cesaro e o método Abel. Aqui estão alguns exemplos: a soma de uma série

$$

$$\ sum \ limits_ {n \ geqslant 0} (-1) ^ n = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 pontos$$

usando o método cesaro será igual $$$\ dfrac12$ .

Outro exemplo:

$$

$$1 - 2 + 3 - 4 + 5 + \ dots = \ dfrac14.$$

Na minha opinião, é errado dizer que a soma da primeira linha é igual a $$$\ dfrac12$ ; diga corretamente que a soma da primeira linha no sentido de Cesaro é igual a $$$\ dfrac12$ . Da mesma forma, para o segundo: sua soma no sentido de Abel é igual a $$$\ dfrac14$ .

Em vista disso, no primeiro resultado (que $$$- \ dfrac {1} {12}$ ), há uma substituição de conceitos, o que leva a uma contradição com o senso comum.

Agora consideramos com mais detalhes o segundo resultado. Primeiro, denotamos todo o valor para $$$X$ :

$$

$$1 + 2 + 3 + 4 + \ pontos = X.$$

Agora, realizamos as seguintes transformações:

$$

$$1 + 2 + 3 + 4 + \ dots = 1 + \ underbrace {2 + 3 + 4} _ {9} + \ underbrace {5 + 6 + 7} _ {18} + \ underbrace {8 + 9 + 10} _ {27} + \ pontos =$$

$$

$$1 + 9 + 18 + 27 + \ dots = 1 + 9 \ underbrace {\ left (1 + 2 + 3 + \ dots \ right)} _ X = X.$$

Daqui

$$

$$1 + 9X = X \ Rightarrow X = - \ dfrac {1} {8}.$$

Existe outra solução. Combine os termos de outra maneira:

$$

$$1 + 2 + \ underbrace {3 + 4 + 5 + 6 + 7} _ {25} + \ underbrace {8 + 9 + 10 + 11 + 12} _ {50} + \ dots =$$

$$

$$= 1 + 2 + 25 \ underbrace {\ left (1 + 2 + 3 + \ dots \ right)} _ X = X,$$

isso é

$$

$$1 + 2 + 25X = X \ Rightarrow X = - \ dfrac {3} {24} = - \ dfrac {1} {8}.$$

De fato, começando pelos três, podemos distinguir 7 termos, cuja soma será 49, e chegaremos à equação

$$

$$1 + 2 + 3 + 49X = X,$$

o que dará o mesmo resultado.

Em geral, você precisa agir assim: selecione o primeiro $$$n$ termos e, em seguida, entre parênteses $$$2n + 1$ termos:

$$

$$1 + \ pontos + n + \ subavaliação {\ left (n + 1 + \ dots + 3n + 1 \ right)} _ {(2n + 1) ^ 2} + \ subavaliação {\ left (3n + 2 + \ dots + 5n + 2 \ direita)} _ {2 (2n + 1) ^ 2} + \ pontos =$$

$$

$$1 + \ dots + n + (2n + 1) ^ 2 \ left (1 + 2 + 3 + \ dots \ right) = X.$$

Progressão aritmética $$$1 + \ pontos + n$ é igual a $$$\ dfrac {n (n + 1)} {2}$ , portanto, obtemos a equação

$$

$$\ dfrac {n (n + 1)} {2} + (2n + 1) ^ 2X = X,$$

onde acontece que

$$

$$X = - \ dfrac {1} {8}.$$