Solução fundamental de um sistema de equações lineares. Vista lateral

Boa tarde

Neste artigo, tentarei dar uma nova olhada no algoritmo para encontrar uma solução geral para um sistema de equações lineares.

A tarefa que faremos é a seguinte.
Encontre uma solução geral para o seguinte sistema de equações



Esse problema é resolvido reduzindo o sistema inicial para uma forma triangular, de acordo com o método de Gauss. Então, escolhendo variáveis ​​livres, a solução geral é calculada.

Quero mostrar como alguém pode resolver esses sistemas de outra maneira. Tanto quanto é conhecido e aplicado em outros lugares, não consegui descobrir. Em todos os materiais públicos / populares, o método Gauss é usado.

Devo dizer imediatamente que a solução certamente não é ótima (em termos de velocidade), pois ao calcular um produto vetorial, é necessário calcular o determinante da matriz, e este é de alguma forma o cálculo da matriz triangular.

Mas a solução é bonita e clara, além disso, é fácil ver o critério sob o qual o sistema não tem soluções.

Qual é a essência da técnica?



Resolvendo este sistema como produto de dois vetores, obtemos



Portanto, as raízes do sistema são iguais



Para quem não acredita, isso é facilmente verificado por substituição.

Usamos essa técnica e consideramos como esses sistemas são resolvidos usando produtos vetoriais.

Então nós temos o sistema de origem



Mova os termos gratuitos para o lado esquerdo


Temos 6 colunas.

Nesta fase, não apresentaremos novas entidades e não usaremos os conceitos de classificação matricial em nosso trabalho. (Por favor, trate-me com condescendência)
Vemos apenas que existem 3 equações e 5 variáveis. Portanto, a solução geral usará 5-3 = 2 variáveis ​​independentes.

Na mesma etapa, podemos determinar quais das variáveis ​​estarão livres. Pegamos duas variáveis ​​que estarão à direita de todos e as libertamos.
Nota: Para outras equações, nem sempre é necessário tomar apenas os últimos coeficientes corretos



E agora, em três etapas, determinamos a solução fundamental do sistema original

Etapa 1. Aqui a última coluna são os membros livres do sistema.



Etapa 2. Aqui a última coluna é os coeficientes para a variável



Etapa 3. Aqui a última coluna é os coeficientes para a variável



Não há necessidade de informar em detalhes de onde obtemos os dados. Eu acho que isso é óbvio para os leitores. (Quem resolveu o sistema de equações usando o método Cramer encontrará características comuns)

O que é mais interessante é o que faremos com esses "vetores".

Divida-os por -81

temos os seguintes três vetores







organizá-los verticalmente e, portanto, a decisão fundamental assume a forma



Ótimo! Não é ...

Para o critério de solvabilidade de um determinado sistema de equações, na maioria dos casos é usada a regra de Kronecker-Copelli, aqui o resultado do produto vetorial é simplesmente analisado.

Se o vetor resultante tiver a forma

onde , e entre todos os restantes, há pelo menos um diferente de zero, então esse sistema de soluções não tem

Se o vetor resultante tiver todos os coeficientes zero, isso indica que pelo menos uma das equações é uma representação linear da outra e / ou uma das variáveis ​​é proporcional à outra.

Este artigo é o primeiro, e eu gostaria de ouvir comentários, críticas, desejos em meu endereço.

O algoritmo e a calculadora foram criados em janeiro de 2019 e só hoje decidi publicar informações sobre Habré.

Se você aceitar em sua equipe / sociedade, o próximo tópico será
- Como encontrar uma solução geral para o sistema de equações diofantinas.