Os matemáticos encontraram um padrão, entendendo como evitar sua aparência

Finalmente descobrimos o tamanho do conjunto de números para garantir que ele contenha um padrão chamado "progressão polinomial"

Alguns padrões em matemática são tão raros que podem ser pesquisados ​​por toda a sua vida e não encontrados. Outros são tão comuns que parecem impossíveis de evitar.

A nova evidência , apresentada por Sarah Pilius, da Universidade de Oxford, mostra que um padrão numérico de um tipo particularmente importante é de fato inevitável: é garantido que ele seja encontrado em qualquer coleção de números suficientemente grande, independentemente de como eles sejam escolhidos.

"Existe um tipo de indestrutibilidade inerente a esses padrões", disse Terence Tao, da Universidade da Califórnia, em Los Angeles.

A prova de Pilyus diz respeito a uma sequência de números chamada "progressões polinomiais". Eles são fáceis de criar - você pode criar o seu muito rapidamente - e se relacionam à conexão entre adição e multiplicação de números.

Por várias décadas, os matemáticos sabem que, com um tamanho pequeno de um conjunto (ou "conjunto") de números - ou seja, quando ele contém relativamente poucos números - ele pode não ter progressões polinomiais. Eles também sabiam que, à medida que o conjunto crescia, ele finalmente ultrapassava um certo limite, após o qual já contém tantos números que uma dessas seqüências deve se encontrar lá. Parece uma tigela de sopa com letras em massa - quanto mais letras você tiver, maior a probabilidade de adicionar palavras.

Mas antes de Pilius, os matemáticos não sabiam qual era esse limite. Sua prova fornece uma resposta para essa pergunta - uma fórmula exata que determina o tamanho do conjunto para garantir certas progressões polinomiais.

E antes disso, os matemáticos tinham apenas idéias vagas de que progressões polinomiais são encontradas entre números inteiros (1, 2, 3, etc.). Agora eles sabem exatamente onde procurá-los.

Em busca de padrões

Para imaginar esses padrões, considere um deles, um pouco mais simples do que aquele com o qual Pilius trabalhou. Vamos começar com o número 2 e adicionaremos um triplo: 2, 5, 8, 11, 14, etc. Esse padrão - começando de um número, adicionando outro - é chamado de "progressão aritmética". Essa é uma das progressões mais estudadas e frequentes em matemática.



Com relação à frequência de ocorrência da progressão aritmética entre números inteiros, duas coisas devem ser entendidas.

Endre Cemeredi provou um deles em 1975. Primeiro, ele disse, escolha a duração da sua progressão aritmética. Pode ser um padrão com quatro membros (2, 5, 8, 11) ou uma família (14, 17, 20, 23, 26, 29, 32) ou em geral com qualquer número. Depois disso, ele prova que, assim que o conjunto de números atingir um certo tamanho (que ele não pôde determinar), ele definitivamente encontrará uma progressão aritmética de tal tamanho. Assim, ele reforçou a ideia de que em conjuntos suficientemente grandes de números em algum lugar há necessariamente um padrão.

“Semeredi, de fato, disse que uma bagunça completa é impossível. Não importa quantas você consiga, alguma estrutura sempre conseguirá entrar nela ”, disse Ben Green, de Oxford.

No entanto, o teorema de Szemeredi não diz nada sobre o tamanho da coleção de números para que esses padrões se tornem inevitáveis. Ele simplesmente disse que, para uma progressão aritmética de qualquer comprimento escolhido, deve haver uma infinidade de números de tamanho desconhecido que o contém.

Mais de duas décadas depois, os matemáticos determinaram esse tamanho - provando assim o segundo fato básico sobre as leis aritméticas.

Em 2001, Timothy Gowers, da Universidade de Cambridge, provou que, se você quiser encontrar, por exemplo, uma progressão aritmética de cinco membros, precisará de muitos números de pelo menos um determinado tamanho - e determinar qual será o tamanho (é difícil descrever o tamanho exato, a fórmula inclui grandes números exponenciais).

Para entender o que Gowers fez, você precisa entender o que os matemáticos querem dizer falando sobre o "tamanho" de um conjunto de números e a idéia de um "tamanho bastante grande".

Primeiro, selecione um intervalo em uma linha numérica, por exemplo, de 1 a 1000, ou algo mais aleatório, como 17 a 1016. O início e o fim do intervalo não importam, apenas sua duração é importante. Em seguida, determine a fração de números desse intervalo que você deseja adicionar ao conjunto. Por exemplo, se você criar um conjunto de 100 números de 1 a 1000, o tamanho do seu conjunto será 10% do intervalo.

A prova de Gowers funciona independentemente de como você escolhe os números desse conjunto. Você pode pegar os 100 primeiros números ímpares do intervalo de 1 a 1000, os 100 primeiros números terminando em 6 ou até 100 números aleatórios. E Gowers provou que, independentemente do método, assim que o conjunto ocupar um espaço suficientemente grande (não necessariamente 10%) em um intervalo suficientemente longo, uma progressão aritmética de cinco membros aparecerá inevitavelmente nele. Ele provou o mesmo para a progressão aritmética de qualquer duração.

"Depois de Gowers, sabemos que se eles me derem uma progressão aritmética de qualquer tamanho, qualquer subconjunto de" números de um determinado tamanho conterá necessariamente essa progressão, disse Pilius.

O trabalho de Pilius é semelhante ao feito de Gowers, apenas ela se concentrou nas progressões polinomiais.

Na progressão aritmética, selecionamos um número inicial e adicionamos outro. Na forma da progressão polinomial que Pilius estudou, você seleciona o valor inicial e adiciona os poderes de outro número a ele. Por exemplo: 2, 2 + 3 ¹ , 2 + 3 ² , 2 + 3 ³ , 2 + 3 ⁴ . Ou seja, 2, 5, 11, 29, 83. Em sua progressão, havia também apenas um membro para cada grau - esse requisito simplifica o trabalho com eles.

Essas progressões polinomiais estão intimamente relacionadas a uma regularidade tão importante como a progressão geométrica, que é formada pelo aumento do número em um grau crescente: 3 ¹ , 3 ² , 3 ³ , 3 ⁴ , ... Elas aparecem naturalmente em muitas áreas da matemática e da física e encantam os matemáticos por vários milênios. Progressões geométricas são menos comuns, mesmo em grandes conjuntos de números, no entanto, se você a corrigir um pouco - por exemplo, adicionando uma constante a cada termo - você obtém uma progressão polinomial. Mas eles parecem aparecer em todos os lugares.



“Você pode criar grandes conjuntos de números que não contêm progressões geométricas. Mas se você se der um pouco de liberdade e mover a progressão geométrica ", criando uma progressão multi-polinomial, grandes conjuntos parecem ser forçados a contê-los", disse Sean Prendeville, da Universidade de Lancaster, que trabalhou com Pilius em progressões polinomiais.

Em 1996, Vitaly Bergelson e Alexander Leibman provaram que, quando atingem um tamanho suficientemente grande por uma multidão, deve necessariamente aparecer progressões polinomiais - esse era o equivalente polinomial do trabalho de Cemeredi. No entanto, os matemáticos não tinham idéia de quão grande deveria ser um conjunto "suficientemente grande".

Pilius respondeu a essa pergunta de uma maneira contra-intuitiva - pensando em quais propriedades muitos números deveriam ter para que não existissem tais padrões.

Combatendo padrões com padrões

Pilius queria determinar o tamanho do conjunto - qual a porcentagem dos números no intervalo que deveria estar contido nele - para garantir que ele contivesse a progressão polinomial fornecida. Para fazer isso, ela apresentou todas as maneiras pelas quais muitos números podem evitar a aparência de progressão - e depois provou que mesmo exceder um certo tamanho não funciona nem a mais engenhosa dessas estratégias.

Esta tarefa pode ser considerada como uma competição. Suponha que alguém lhe peça para criar um conjunto contendo metade dos números de 1 a 1000. Você vence se o conjunto não tiver os quatro primeiros membros da progressão polinomial. Como você escolheria os números?


Sarah Pilius, da Universidade de Oxford

Você pode tentar instintivamente selecionar números aleatoriamente. Mas esse instinto será errôneo.

“A maioria dos aparelhos está no meio de uma distribuição normal . Eles contêm o número médio de progressões polinomiais ”, disse Prendeville. E esse valor médio é muito mais que zero exigido de você.

É como se você escolhesse uma pessoa aleatória de toda a população do planeta e conseguisse uma cujo crescimento seja próximo da média. Se seu objetivo é encontrar uma amostra mais rara com mais de 2 m de altura, é necessário realizar pesquisas de maneira mais direcional.

Portanto, para ganhar o concurso de seleção de números, você precisa de uma maneira mais organizada de decidir quais números incluir no seu conjunto de 500 peças. Por exemplo, você pode observar que, se selecionar apenas números pares, poderá eliminar a probabilidade de que o conjunto contenha progressões polinomiais contendo números ímpares. Progresso! Naturalmente, dessa maneira, você aumenta a probabilidade de o seu conjunto conter progressões polinomiais que consistem em números pares.

No entanto, a conclusão é que, tendo apresentado uma maneira estruturada de selecionar 500 números, você pode eliminar a probabilidade de estar em um conjunto de certas progressões polinomiais. Em outras palavras, é necessário observar um padrão para evitar um padrão.

Pilius decidiu provar que, ao atingir um determinado tamanho, mesmo conjuntos muito bem compostos ainda terão que incluir progressões polinomiais. Na verdade, ela queria determinar o ponto crítico no qual você, sempre evitando a inclusão de progressões polinomiais de um tipo, chega à presença de progressões polinomiais de outro tipo - como é o caso de números pares e ímpares.

Para fazer isso, ela precisava encontrar uma maneira de quantificar a estruturação do conjunto.

Medição da estrutura

Antes do trabalho de Pilius, muitos matemáticos tentavam entender exatamente quando as progressões polinomiais aparecem em muitos números. Muitos dos matemáticos de muito sucesso se envolveram nisso, mas nenhum deles foi capaz de fazer progressos significativos no sentido de descobrir o tamanho do conjunto que ele deve atingir para conter progressões polinomiais de vários comprimentos.

O principal obstáculo para eles era que os matemáticos não tinham idéia de como caracterizar estruturas que evitam o aparecimento de progressões polinomiais. Havia uma técnica em potencial para isso, mas quando o Pilius começou a trabalhar nessa área, ela não pôde ser aplicada a perguntas relacionadas às progressões polinomiais.

Essa técnica apareceu no artigo de Gowers em 2001 sobre progressões aritméticas. Gowers criou o teste, chamando-o de "norma de Gauers", que detecta estruturas de um certo tipo em uma infinidade de números. O teste produz um número único que determina a quantidade de estruturalidade no conjunto - ou seja, mostra numericamente a distância que o conjunto mudou de um simples conjunto de números aleatórios.

"O conceito de 'conjunto parece aleatório' não está claramente definido matematicamente", disse Green. Gowers encontrou uma maneira de quantificar esse conceito.

Muitos podem ser mais ou menos estruturados. Os conjuntos contendo números aleatórios não têm estrutura, portanto, com alta probabilidade, contêm padrões numéricos. Tais conjuntos têm uma norma baixa de Gowers. Conjuntos contendo apenas números ímpares, ou apenas números divisíveis por 10, têm uma estrutura rudimentar. É fácil provar que, se um determinado tamanho for excedido, várias regularidades também aparecerão em conjuntos de uma estrutura tão simples.

O mais difícil é trabalhar com muitas estruturas muito complexas. Eles podem parecer aleatórios, mas ao mesmo tempo serem construídos de acordo com uma regra muito complicada. A norma de Gowers é alta e eles oferecem a melhor chance de evitar sistematicamente padrões quando o tamanho do conjunto aumenta.

Como Gowers usou essas técnicas para procurar respostas para perguntas relacionadas a progressões aritméticas, elas não puderam ser aplicadas a perguntas relacionadas a progressões polinomiais. Progressões aritméticas têm intervalos iguais, e os números nas progressões polinomiais saltam muito ativamente. As normas de Gowers foram úteis no estudo de progressões polinomiais, além de um aparador de grama para limpar a tinta velha de uma casa: a idéia é semelhante, embora não seja totalmente adequada para este trabalho.

Nas novas evidências, Pilius usou a idéia básica da norma de Gowers para criar uma nova maneira de analisar estruturas associadas a progressões polinomiais. Ela usou a técnica de "diminuir o grau" para provar que em procedimentos com progressões polinomiais de interesse para ela, você deve se preocupar apenas com estruturas simples com uma baixa norma de Gowers. O fato é que as progressões polinomiais mudam tanto durante a transição de um termo para outro que inevitavelmente rompem obstáculos numéricos menos duráveis ​​- como um elefante empurrando vitrines de uma loja de porcelana.

A fórmula de Pilius é difícil de descrever em termos simples. Envolve o logaritmo duplo da duração do intervalo original a partir do qual você seleciona números para o seu conjunto. O tamanho mínimo obtido por ela não será necessariamente o menor de todos os possíveis - em trabalhos futuros, pode-se descobrir que o verdadeiro limite é ainda mais baixo. Mas até que sua prova aparecesse, os matemáticos geralmente não tinham uma compreensão quantitativa da aparência de uma garantia da existência de progressões polinomiais.

"Ela foi a primeira pessoa a mostrar o tamanho do cenário", disse Prendivil.

A prova Pilius responde quantitativamente a uma pergunta relacionada às progressões polinomiais. Agora os matemáticos o usam na esperança de obter uma resposta para outra pergunta - a respeito de quando as progressões polinomiais aparecem em conjuntos inteiramente de números primos, os números mais importantes em matemática, resistindo teimosamente a qualquer tipo de sequência. Antes que essa prova aparecesse, os matemáticos não tinham idéia de como abordar essa questão.

"Há esperança de que alguns dos argumentos do meu trabalho possam ser aplicados no campo dos números primos", disse Pilius.