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证明标志着三维形式研究时代的终结。

30年前，数学家威廉·瑟斯顿（William Thurston）谈到了他的愿景：系统化所有可能的有限三维形式。

瑟斯顿是菲尔兹奖的获得者，他在普林斯顿大学和康奈尔大学度过了他的职业生涯的大部分时间，他具有超自然的能力来表现难以想象的事物：不仅存在于通常的三维空间中的形式，而且还有具有如此复杂特性以至于它们只能适应的更大形式的形式有很多尺寸的空间。在其他数学家看到形式的起点的地方，瑟斯顿看到了结构：对称性，表面，不同图形之间的关系。

威廉·瑟斯顿（William Thurston）于1991年在伯克利大学读书。

他在2009年写道：“经过多年的研究，许多人给人印象，数学是一门严格而正式的学科，涉及复杂而晦涩的规则。” “好的数学恰恰相反。”数学是人类理解的艺术……当我们整个大脑都感受到数学的时候就会唱歌。”

瑟斯顿的愿景是基于两种看似完全不同的三维图形研究方法之间的结合：几何，熟悉的角度，长度，区域和体积王国，以及一种拓扑结构，这种拓扑结构独立于精确的几何尺寸而对形状的特性进行了研究-改变形状是拉伸还是扭曲，例如“ 手柄 ”。

对于拓扑学家而言，锅的表面等同于桌子，铅笔或球的表面。杯子的表面相当于甜甜圈或圆环。从拓扑学家的角度来看，各种二维形式（表面）归纳为简单的类别列表：球形，环形和带有大量孔的环形。（我们大多数人将球体和花托呈现为三维，但由于数学家将它们视为中空表面，因此他们将这些表面视为二维对象，以表面积而非体积来衡量）。

瑟斯顿的主要思想是理解三流形通过几何和拓扑的结合成为可能。 Thurston提出，以2个流形的拓扑类别（包含煎锅和铅笔的表面）也包含一个理想球体的方式相同，Thurston建议许多类别的3个流形包含一个实例，这3个流形的几何形状如此均匀，完美，如此美丽正如哥伦比亚大学的沃尔特·诺伊曼（Walter Neumann）所说，她“像钟一样响”。此外，瑟斯顿建议将不具有这种实例的表单切成已经存在的形式。

瑟斯顿（Thurston）在1982年的一篇论文中提出了他的“几何化假设”，涉及23个关于3个流形的问题，这些问题为数学家提供了三维形式知识的方向。（清单上有24个问题，但其中一个尚未解决的问题更像是一条引人入胜的小巷，而不是主要道路）。

加州理工学院的数学家弗拉基米尔·马尔科维奇（Vladimir Markovich）说：“瑟斯顿（Thurston）在提出正确的问题方面很有才华。” “每个人都可以提出问题，但很少有问题会像瑟斯顿的问题成功一样导致洞察力和美丽。”

这些问题激发了新一代的数学家，其中许多人决定在瑟斯顿的指导下开展他们的工作。正如理查德·布朗（Richard Brown）所写，他的数学“孩子”表达了他的风格。来自大学。约翰·霍普金斯。 “他们像孩子们在集市上一样看数学：每个新发现都着迷于喜悦和惊奇，他们很高兴能参与其中。”

在瑟斯顿的著作出现几十年后，数学家们遵循了他的“研究图”，他们的动机并没有因为他们的发现的可能应用而受到满足，而是因为3流形在形式研究中占据了幸运的位置。二维形式非常普遍，它们易于描绘并分为几类。四维，五维以及更多的多维形式实际上是根本不可能训练的：可能性的多样性是如此之大，以至于数学家将自己局限于仅了解其特殊的子类。在三维结构形式的情况下，一方面，它们是神秘且困难的，但另一方面，它们在根本上是可以识别的。

瑟斯顿的研究已经过去了30年，除四个问题外，所有问题都已得到解决，其中包括几何化假设，这是俄罗斯数学家格里高里·佩雷尔曼（Grigory Perelman）在2002年证明的，这是现代数学的一个里程碑式的成就。但是剩下的四个任务顽固地抵抗了。

耶鲁大学的耶尔·明斯基（Yair Minsky）表示：“我们这么长时间无法解决问题，这意味着很深的东西藏在那里。”

最终，在2012年3月，加利福尼亚大学伯克利分校的伊恩·艾格尔（Ian Aigol）宣布了Wise假设的证明，此举涵盖了瑟斯顿的最后四个问题，从而激起了数学界的关注。

数学家将此结果称为时代的终结。

加州理工学院的丹尼·卡莱加里（Danny Calegari）说：“瑟斯顿当时在他的作品中描述的3个歧管的愿景可能看起来很棒，但现在已经完全实现了。” “他的想法令人惊讶地得到证实-每个细节都是正确的。”

瑟斯顿写道：“在我看来，只有我一个人就有特殊的知识和特殊的思考方法，”瑟斯顿在2012年8月去世时才65岁，获得了斯蒂尔数学奖。 “而且我很高兴我能达到这样的水平，很多人都认同我的想法，许多人证明了我未能成功进行的定理。”

艾戈尔（Aigol）的成就表明，存在一种用于构造所有紧致双曲3流形的简单方案-这是唯一一种尚未完全解释的三维形式。

伦敦大学学院的亨利·威尔顿说：“我们现在已经完全了解所有3流形的模样。” “这是一个巨大的数学成功故事的顶点。”

表面研究

瑟斯顿（Thurston）的程序尝试使用3流形，这是数学家100年前使用二维流形成功完成的。为了在理解三维流形之前伸展自己，让我们看一下“紧凑的可定向”曲面（有限的曲面，没有穿孔和具有恒定方向的切口）的分类内部。

为了解决分类问题，数学家已经表明，对于任何表面，都可以通过沿曲线切割直到将其打开为平面多边形来进行顺序简化。

图1个

对于圆环来说，这很容易显示：首先我们沿着环A切割它，如图1所示，我们得到一个圆柱体。然后我们沿着循环B切割，将圆柱体拉直成正方形。图2有点难以理解，但是即使在那儿，沿着四个曲线切割也会将一个双圆环（一个有两个孔的圆环）变成一个八边形。同样，对于具有n个孔的任何圆环，我们可以在循环中形成2n个缺口并将其扩展为4n个多边形。

图2

您可以尝试以类似的方式切割任意不确定的曲面（并对其进行识别）。如果这不是一个球体，则拓扑学家已显示该球体应包含无法拉入一个点的内部回路（彼此不相交的回路），例如圆环上的A和B。沿着这些循环之一切割表面会删除表面的一些有趣的拓扑特性。数学家已经表明，要将曲面缩小为平坦的多边形，必须将其切割有限次。

将表面简化为多边形的水平后，不难发现，如果我们粘合其边缘以恢复原始表面，我们将必须制作一个圆环，或者是两个圆环，或者是三个圆环，等等。毕竟，第一次粘合会将多边形变成隧道视图的表面，随后的每一个都将添加新的隧道，或者简单地缝制开口部分。当我们完成该过程时，我们会得到一个带有一些孔的圆环。

这种方法不仅证明了曲面与球体或某些圆环的拓扑等效性，而且还提供了一种赋予曲面简单，统一的几何结构的方法。

显然，球体已经具有统一的几何结构：其几何形状在球体中的任何位置看起来都相同。相反，甜甜圈表面根本不均匀：甜甜圈的外边缘区域以类似于球形的方式弯曲，而内圈上的区域则像鞍形一样弯曲。

而且，无论如何将圆环放置在空间中（无论如何拉伸和扭曲它），都无法使圆环在任何位置都相同。有些零件会像球形一样变圆，有些像鞍形，有些则是扁平的。

但是，可以为圆环配备一个在任何点都相同的抽象几何结构-只需声明，在圆环的每个小部分上，距离和角度都是通过测量平方来确定的，正如我们已经看到的那样，可以制作圆环。不能构造其长度和角度与该抽象规则相对应的普通空间中的物理圆环，但是长度和角度的这种定义在内部是一致的。由于正方形具有通常的平面（欧几里得）几何形状，因此我们可以说圆环可以配备欧几里得结构。具有这种几何形状的圆环类似于视频游戏，其中角色从屏幕左侧消失并重新出现在右侧，而角色从顶部消失，出现在底部。

尝试使用双圆环进行此操作时，我们将遇到障碍。请记住，我们可以通过粘贴八边形的边缘来制作双圆环。如果我们声明双圆环的几何形状是要复制八边形的几何形状，我们将遇到其角度问题。将八边形粘合成双圆环后，拐角点将被粘在一起，成为双圆环的一个点。此时将有八个角度，每个角度将增加135度，这将是1080度而不是360度。

如果我们尝试将八边形的几何结构赋予双圆环，那么事实证明我们的双圆环将在各处具有通常的欧几里得几何形状，除了其表面像尖顶帽子一样突出的点（如果将正方形粘贴到圆环中，角点就不成问题：四个直角并获得完美的360度）。

为了在双圆环的拐角处获得平滑的几何结构，有必要使八个角度中的每个仅贡献45度而不是135度。有趣的是，存在这样一个八边形，但它不存在于通常的欧几里得平面中，而是存在于另一种称为双曲圆盘的结构上：一种均匀且内部一致的几何形状，例如球形或欧几里得。但是由于很难想象，因此数学家只是在19世纪初才发现它。

图3

粗略地说，如果我们声明图3中的所有鱼都具有相同的大小，则可获得双曲几何（或Lobachevsky几何）。可以想象到，图3实际上是通过变形透镜获得的圆盘图像，它使鱼的边缘更靠近中间的鱼更小。在晶状体前面的真双曲圆盘上，所有鱼的大小均相同。

在普通空间中，不可能制作出规则且平滑的双曲圆盘，从而使所有鱼都真正地相同。但是从抽象的角度来看，鱼的大小规则所提供的几何形状在内部是一致的，并且在任何点上看起来都是相同的-并非对于具有变形透镜的观察者而言，而是从双曲线圆盘居民的角度出发。

在双曲线几何中，两点之间的最短路径或“测地线”是通过尽可能少的鱼的路径。这样的路径始终是垂直于磁盘边界的半圆。例子是沿着鱼刺的半圆。从我们扭曲的角度来看，这些路径是弯曲的，但是对于磁盘上的居民来说，它们是直线。正如瑟斯顿所说，沿着它行驶，您无需转动方向盘。与欧几里德平面（平行线始终保持相同的距离）不同，在双曲线圆盘上，两条不相交的线可以非常快速地彼此分开。

从双曲线几何的观点来看，图4中的数字是具有直边的普通八边形。在这些八角形之一中，所有45度角正是我们为双圆环所需要的。如果我们正确地粘合该八边形的侧面，我们将获得一个具有理想且均匀双曲结构的双圆环。

图4

同样，我们可以为三重环面配备双曲结构。可以从12角胶粘贴三重圆环，因此，如果我们制作内角为30度的双曲12角，则其双曲几何可以平滑地传递到三重圆环。继续这个主题，我们可以提供一个带有4个孔的圆环，以及第5个等双曲线几何。我们对紧致表面的分类如下：一个具有球形几何形状（球体）的表面，一个具有欧几里得几何形状（托勒斯）的表面，以及无限多个具有双曲几何形状的表面（所有托里都有一个以上的孔）。

在过去的一百年中，这种分类为数学家提供了一种非常有效的方法，可以将有关表面的拓扑问题转移到几何域中，反之亦然。表面分类是二维形式研究的主要思想，所有其他研究均以此为出发点。

下次测量

3流形比2流形要多样化得多，并且它们的问题也更复杂。即使是一个简单的问题，例如著名的庞加莱猜想（Poincaréconjecture），它问的是球体的三维形式是否是唯一的紧凑的三维形式，在这种形式上，每个环都可以拉成一个点而不会卡在孔上-自1904年亨利·庞加莱（HenriPoincaré）提出后，至今仍未解决一百年年。

但是瑟斯顿大胆建议，可以创建类似于现有二维分类的三维形式分类。

二维欧几里得，球面和双曲线几何在三个维度上具有对。但是在三个维度上，“美丽”几何的列表不限于它们。有些混合几何体在某些方向上是双曲线或球形的，而在其他方向上是欧几里得的。通常，在三个维度上有八种不同类型的几何形状，从某种意义上说，几何形状在空间的任何一点上看起来都是相同的，这是统一的。

瑟斯顿建议，与曲面一样，可以将3个流形与自然的几何结构进行比较。他特别建议，如果您以特殊的方式将任何紧凑的3型歧管切成块，则每个块都可以与8个几何图形之一相关联。

Minsky说：“目标是在三个维度上完全统一拓扑和几何。”

这种“几何化假设”的自然方法是尝试类似于我们沿曲线切割的曲面所做的操作，直到它们揭示出所有有趣的拓扑特性，并简化为平坦的多边形为止。对于3个歧管，类似的方法是沿曲面切割它们，直到希望将它们简化为多面体，可以将其相对侧胶合在一起以获得原始形状。而且，如果我们可以使用正确的几何形状来构建此多面体，则可以将该几何形状转换为其原始形状，就像曲面一样。

请记住，在曲面的情况下，每条曲线必须满足两个要求：曲线不与自身相交（数学家说它应该“嵌入”），并且，正如我们所说的那样，它在拓扑上应该是有趣的，即围绕一些表面的拓扑细节，以便不能将其拉到某个点（此要求可确保沿着此曲线进行切割可简化表面拓扑）。

1962年，数学家沃尔夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）证明，如果3个流形包含一个切面满足两个条件的曲面，则该3个流形可以简化为多边形：必须是嵌入式的并且是“不可压缩的”，也就是说，任何拓扑有趣的在周围的3流形的更一般的上下文中，表面上的曲线在拓扑上也将是有趣的。

例如，圆环在普通的三维空间中将是不可压缩的，因为从圆环表面的角度来看，穿过圆环开口的环在拓扑上是有趣的，但是在三维空间中可以将其压缩到一个点。相反，圆环在3个流形内部是不可压缩的，这可以通过加厚圆环的表面使其不再变得无限薄而获得。为了不可压缩，表面的每个拓扑特征都必须反映3歧管的某些内部拓扑。现在，具有内置不可压缩表面的3流形称为Haken流形。

如果我们的3流形具有内置的不可压缩表面，那么沿其切割将揭示一些有趣的拓扑，并为我们提供简化的流形。此外，Haken显示，如果歧管包含一个这样的表面，则沿其切割而获得的新歧管也将是Haken歧管：它还将具有内置的不可压缩的切割表面。正如哈肯（Haken）展示的那样，在经过有限数量的此类步骤之后，原始流形的所有有趣的拓扑特征都将被切除，而简单的多面体将保留下来。

1970年代后期，瑟斯顿（Thurston）表明，可以为所得的多面体配备八个八维几何形状之一，以使其平滑地过渡到新粘合的多边形，从而在多面体的角和边缘处完美匹配。换句话说，瑟斯顿（Thurston）证明了他的几何化假设，适用于那些其标准分解导致为Haken流形块的流形。

不幸的是，对于任意紧凑的3流形，不能保证它具有这样的表面。在1970年代末和1980年代初，瑟斯顿说服了社区，包含嵌入式不可压缩表面的3个流形（Haken流形）是例外，而不是规则。

寻找除Haken流形以外的流形的几何化假设的证据已经使数学家们停滞了二十多年。最终，在2002年，佩雷尔曼（Perelman）提出了他的证明，其依据是与Thurston的大多数追随者研究的数学领域相去甚远的数学领域。（看起来Perelman的证明也触及了Poincare的百年假说，这促使Clay的数学研究所在2010年向他提供了100万美元的奖金，但由于复杂的原因他拒绝了）。

佩雷尔曼的证明是一个转折点，正如瑟斯顿梦dream以求的那样，将拓扑和几何形状结合在一起。现在，与3个流形相关的每个拓扑问题都有一个几何对，反之亦然。但是佩雷尔曼定理未解决许多重要的问题，这些问题可以存在哪些类型的3个流形。

通过对紧致的2个流形（曲面）进行分类，数学家不仅可以证明每个曲面都可以配备几何结构，而且还可以列出所有可能的2个流形的完整列表。在三个方面，都非常缺乏这样的清单。

八个三维几何中的七个（除双曲线型外）都是众所周知的，甚至在Perelman开展工作之前，拓扑学家就允许这七个几何之一的品种类型进行了完整的描述。这些形式相对简单并且很少。

但是，与表面的情况一样，在三个维度上，事实证明大多数歧管都是双曲线的。而且，与其他七个几何相比，数学家对双曲3流形的大量可能性的覆盖范围要差得多。

“在八种几何中，双曲流形是最神秘和最丰富的，”巴黎皮埃尔大学和玛丽居里大学的尼古拉斯·贝杰隆说。

佩雷尔曼（Perelman）的结果告诉数学家，双曲流形是最后一个领域-唯一尚待理解的3流形。但是他没有告诉他们这些双曲线形式是什么样的。

封面故事

再一次，数学家得以求助于瑟斯顿的工作。他著名的问题清单包含有关双曲3流形性质的许多假设，其中包括与它们的出现直接相关的两个假设：“ Haken虚拟假设”和“ virtual bundle”假设。

Haken虚拟假设（HHC）指出，从某种意义上讲，每个紧致双曲3型流形几乎都是Haken流形：可以通过以某种方式扩展其有限次数将流形转换为Haken流形。这种新的展开式歧管被称为原始歧管的“有限盖”。

数学家说，一个品种N覆盖另一个品种M，如果粗略地说，可以将N围绕M包裹一定的次数（可能是无限的），以便M的每个部分被覆盖的次数与其他M一样多。要作为封面，此包装必须具有许多其他属性-例如，N不得弯曲自身或在包装过程中撕裂。每片M都被N.覆盖着一堆相同的副本所覆盖，

如图5

所示，例如，图5中的六瓣花覆盖了三瓣花：只需将六瓣花围绕三瓣缠绕两次即可。三瓣彩色的每个点都覆盖有两个六瓣彩色的点。数学家将其称为两层涂层。

同样，一个无限的圆柱体覆盖圆环：只需将圆柱体绕圆环缠绕无限次（图6）。圆柱体的每个点都被覆盖：回路A被均匀分布在圆柱体上的一组无限循环所覆盖，回路B沿圆柱体沿一条直线分布。

图6

多样性的拓扑及其覆盖范围密切相关。要从n层涂层重新生成歧管，您只需要将涂层自身折叠n次即可。反之亦然，为了根据品种重新创建涂层，您需要将其切割，制作n份副本并沿着边界将其胶合在一起（您收到的混凝土涂层取决于胶合顺序的选择）。

覆盖层保留了流形的某些拓扑特性，并揭示了其他拓扑特性。例如，一个无限圆柱体记住圆环上的回路A是闭合的，但忘记回路B也闭合。

部署过程使Thurston希望，对于3个歧管，可以覆盖有限数量的层，这就是Haken流形。我们已经指出，不应该期望任意紧凑的双曲型3流形将是Haken流形（它将具有内置的不可压缩表面）。但是在1968年，德国数学家弗里德海姆·瓦尔德豪森（Friedhelm Waldhausen）提出，这样的歧管至少应包含不可压缩的表面，尽管它可以穿过自身而不被嵌入。

瑟斯顿认为，如果是这样，最终的涂层可能会消除表面上的所有自相交部分，从而使表面展开。成品涂层通常以这种方式简化。例如，由于图7中的三瓣花的曲线绕中心孔旋转了两次，因此没有拉伸和移动会导致其不相交。但是，如果我们从某个点P上将这条曲线变成六瓣花，则所得的红色曲线（数学家将其称为原始曲线的“上升”）将仅绕中心孔一次，并且不会与其自身相交。（还有第二个上升，蓝色曲线在两个点处与红色相交，从而关闭了三瓣花中的交点）。

图7

瑟斯顿（Thurston）在1982年的一篇论文中建议，如果我们有一个紧凑的双曲3型歧管，则必须有一种扩展它的方法，以便在有限覆盖层中嵌入曲面-也就是说，该3型歧管应该“实际上是Haken”。

正如我们已经看到的，可以通过以某种方式粘合多面体的面边界来构造Haken流形。 VGH暗示，可以通过首先正确地胶合多面体，然后将所得形式围绕其自身缠绕有限次，来构造任何紧凑的双曲型3流形。

瑟斯顿做出了一个更严格的假设：每个紧凑的双曲3型流形都可以被虚拟分层，即具有有限的分层覆盖率。通过稍微加厚表面（使其具有三维尺寸），并以任何方式将内边界和外边界粘合在一起，以确保每个点的表面平滑连接，可以构建“分层成圆形”（如数学家所说）的变体。（在普通空间中，如果不将所得歧管的各个部分彼此相交，则不可能进行这种粘合，但是抽象地，仍可以对其进行研究）。据说歧管是分层的，因为可以想象加厚的表面是如何拉伸的，以使边界表面彼此分开，然后将它们展开并拉向彼此，然后再进行胶合，所得到的品种类似于手镯，在手镯螺纹的每个点上都具有无限薄的珠状表面。这些珠子是层。

每个分层歧管都是Haken歧管，反之亦然。因此，虚拟捆绑的假设比VGH更强，Thurston不确定它是真的。 “这个可疑的问题显然有一定的机会得到肯定的答案，”这是他在1982年的著作中所能写的。

瑟斯顿最初表示VGH，是为了早日尝试他的几何化假设，他已经为Haken 3流形证明了这一点。如果VGH是正确的，并且每个紧凑的3个流形都是Haken有限覆盖，那么（Thurston希望）也许可以使用几何覆盖结构来构造原始流形的几何结构。

30年后，比佩雷尔曼（Perelman）通过完全不同的方法证明几何化假设的时间要晚得多，但VGH和虚拟束假说仍未得到证明。它们以及与之相关的另外两个假设，仍然是23个中唯一未回答的问题。计算机计算支持VGH的有效性-针对10,000台计算机选择的双曲3流形中的每一个，都发现了Haken的有限覆盖。这项工作是由伊利诺伊大学香槟分校的Thurston和Nathan Dunfield完成的。但是计算机破坏并不能证明。

“当瑟斯顿提出这个虚拟的哈肯假设时，这个问题似乎很容易。明斯基说，但他顽固地拒绝了这一决定，这揭示了我们对该领域的了解不多。“事实证明，我们对这个方向的无知是深刻的。”

建筑表面

2009年，储水箱周围的浑浊水开始被净化。那年，Markovich和当时在石溪大学工作的Jeremy Kahn宣布了证明VHC迈出关键一步的证据。该结果称为“不可压缩表面定理”，该结果假定每个紧致的双曲3型流形都包含一个不可压缩的表面（该表面可能与自身相交且未嵌入）。

Kan和Markovich的证明是三维拓扑和几何相互作用的主要例子之一：不可压缩表面上的定理是纯粹的拓扑陈述，但是Kan和Markovich积极地使用了另一种取自双曲几何的结构来证明这一点。

为了构造3流形内部的曲面，Kahn和Markovich使用了称为“指数混合”的双曲线形式的属性。这意味着，如果您在歧管内较小区域中的某处开始路径，选择一个方向，并想象您的区域开始沿沿选定方向流动的河流运动，那么您的区域将逐渐扩展并围绕3个歧管缠绕，它将得到从任何可能的方向到任何可能的地方。而且，它将在确切的“指数”意义上非常快地做到这一点。

混合特性对于双曲3流形是唯一的，并且可以粗略地说，是由于与欧几里得空间不同，在双曲线空间中，“直线”或测地线彼此相对弯曲。如果选择双曲线磁盘的较小区域并允许其沿选定方向移动，则它将快速增长。在一个紧凑的3形歧管内，生长区域也将成倍增长，但是由于流形的大小是有限的，因此该区域最终将一次又一次地环绕它，自身会多次重叠。而且-这已经很难证明-该区域将均匀地包裹在歧管上，并以几乎相同的频率穿过所有点。

25年前，数学家处理了指数混合的这一特性，并仔细研究了这种“大地流”的统计数据，大致发现了给定区域在某点通过的时间和频率。但是，直到Kahn和Markovich正确地考虑了不可压缩的表面定理之前，数学家们才可以利用该特性在流形上构造拓扑结构（另一位数学家，得克萨斯州A＆M大学的Lewis Bowen试图将指数混合用于在3个流形上构造不可压缩的表面，但他的工作遇到了技术障碍。

为了了解指数混合的特性如何帮助构建拓扑和几何结构，我们将其应用于比构建曲面更简单的任务：构造一个闭合的短程线，其长度接近于我们喜欢的大数（用R表示）。

为了建立一个回路，我们选择歧管中的任何起点和任何初始方向，然后打开一个包含该起点的小区域中的假想浇水软管，并将其粗略地朝所选方向引导。水滴将沿着测地线飞行，只要R足够大，混合水流就意味着当水滴经过距离R时，它们将大致均匀地分布在整个品种上。特别地，至少一滴必须返回到起点区域。然后，我们仅需搭建一座小桥，将下降点的测地线连接到起点，即可得到一个长度约为R的几乎完美的测地线环。很容易证明，通过在歧管上拧紧该环，您可以获得完美的测地线环。

请注意，该方法为我们提供了多个接近R的测地线环路。在此过程中，您可以使用任何起点和任何方向，因此可以创建许多这样的环路。这是使用指数混合构造结构的基本原理。

指数混合法“声称无论您发现何种结构的多样性，都可以找到足够数量的结构，” Kalegari说。

图8

Kan和Markovich使用了一种与我们的练习类似的方法来制作“裤子对”，这些表面在拓扑上等效于具有三个孔的球形（可以说，一个用于腰带，两个用于腿）。这些裤子是构成除了球体和圆环之外所有紧凑表面的起始材料-例如，粘合（或缝合）两条裤子会使我们成为双圆环（图8）。

Kan和Markovich表明，对于足够大的R，可以在流形内构造多对这样的裤子，它们的三个“袖口”将接近R的长度，并且几乎是完全测地的，也就是说，裤子的每一块表面看上去几乎都是相同的。双曲几何视图。

他们还表明，对于任何袖口，裤子都有另一条裤子，从袖口向大约相反的方向延伸。 Kahn和Markovic将这些裤子在袖口处缝合在一起，得到了一系列紧实的表面，几乎完全是短途测地线，接缝处有小皱纹。几乎测地线表面在其3个流形内部是不可压缩的；因此，Kan和Markovich的构造证明了不可压缩表面的定理。

这种方法还表明，三歧管不仅具有一个不可压缩的表面，而且“在不同位置具有几乎是测地线的丰富结构”，Kalegari说。

卡恩（Kahn）和马科维奇（Markovich）的工作为他们带来了2012年克莱数学研究所奖，该奖因数学上的突破而获奖。

布朗大学的Jeffrey Brock在2011年的一篇文章中预测说：“卡恩（Kahn）和马尔科维奇（Markovich）的技术并不逊色于他们的结果，这项工作无疑会激发与之相关的许多其他研究领域。”

隐藏结构

Kan和Markovich为试图证明VHC的数学家创造了起点。

他们表明，保证每个歧管都包含不可压缩的表面。但是，该表面可能会在许多地方穿过自身，并且不会被嵌入。为了在Kan和Markovich的工作基础上获得VGHYU，数学家需要找到流形的有限覆盖，其中与六瓣和三瓣颜色的示例完全一样，该表面上升为一组不相交的表面（尽管它们可以彼此相交）。如果可能的话，它们中的每一个都将是涂层中的内置不可压缩表面，这意味着涂层将为Haken。

但是如何找到这样的覆盖范围呢？

丹菲尔德说：“卡恩（Kahn）和马尔科维奇（Markovic）的工作与WHC之间存在很大差距。” “他们的发现很重要，但目前尚不清楚这是否有助于寻找嵌入式表面。”

Kahn和Markovich的工作引起了麦吉尔大学的Daniel Wise的注意。怀斯从事了使用有限覆盖物去除拓扑对象的自相交的研究事业，但是他在“立方复合体”的背景下工作，这些对象乍一看与三流形完全不同。 Kahn和Markovich的工作帮助Wise向其他数学家展示了这两种情况并没有太大不同。

立方复数-它是立方复数（CC）：它是一组多维数据集，不仅三维多维数据集在这里被称为“多维数据集”，而且还具有任意维度的形状，包括坐标位于例如-之间的所有点的所有点- 1和+1。例如，正方形是二维立方体，而线段是一维。航天器中的多维数据集沿尺寸较大的角，边，面和侧面相互连接。

图9

CC与3流形有很大的不同-它们甚至都不是流形，因为两个不同尺寸的立方体的交点与任何尺寸的通常空间都不相似。但是CC是简化对象，其中研究了3个流形中包含的表面的一个关键方面：这一表面至少局部地将其环境分为两部分。

如果需要探索将形状分为两部分的对象，则立方体是开始的自然场，由于所有可能的形式，它们都具有最简单的此类对象：超平面将其切成中间。正方形具有两个超平面（GP）-垂直线和水平线，将其切成两半。多维数据集具有三个GP（请参见图9）。 n维立方体的中央有n个GP相交。

Wise说：“超平面类似于3流形的曲面，但是您可以立即看到它们。” “很难搜索表面，但是从一开始就可以使用超平面。”

如果我们从质量控制中多维数据集内的GP开始，那么就有一种方法可以将GP扩展到相邻多维数据集中的GP。之后，只有一种方法可以将其扩展到相邻的方法。等等。因此，对于CC中的每个初始GP，都有一种独特的方法可以将其扩展到整个CC中的GP（见图10）。

图10。最右边正方形中的红色超平面在整个立方复合体中唯一地扩展为一个超平面。

这种质量与3个歧管形成鲜明对比，在3种歧管中，小表面积可以通过多种方式扩展到整个表面。 Eigol表示，带有GP的CC“非常漂亮，清晰且严格”，而且它们没有3流形及其表面的“浮躁”感。

当我们在航天器中扩展GP时，它会绊倒所有从其开始的立方体，并垂直于初始GP穿过它（见图11）。换句话说，扩展GPU不一定是内置的。就像表面在3个流形内的情况一样，人们可以问问QC是否具有有限的覆盖范围，其中这些自相交的GP上升为嵌入的GP-这是KK的Haken虚拟假设的一种形式。

图11

几年前，巴黎南十一大学的Wise和FrédéricHaglund确定了一类“特殊” QC，除了其他特性外，它们还仅具有内置GPU。在过去的十年中，Wise开发了一系列技术来识别“特殊QC”。 2009年，怀斯（Wise）发行了长达200页的“核心著作”（Danfield称之为），其中描述了一系列与特殊质量控制相关的发现，例如“组合定理”，展示了如何将特殊质量控制组合在一起以保证新的质量控制，还具有“专长”。怀斯在他的工作中提出了一个假设，粗略地说，任何具有类似于双曲线几何形状弯曲的几何形状的QC都是“实际上”特殊的-也就是说，它具有特殊的有限覆盖。该假设被称为明智假设。

Wise确信，如果这种形式在某种程度上类似于QC（可以“立方化”），那么QC结构将是发现原始形式许多特性的关键。

他说：“抄送是一个秘密，人们甚至都不知道该问什么。” “这是一个基本的隐藏结构。”

立方森林

魏斯非常担心表格的形状，但是起初，他的同事因为这种躁狂而嘲笑他。

然后Kahn和Markovich证明了不可压缩的表面定理，Wise和Bergeron立即发表了一篇论文，表明紧实的双曲型3流形中不可压缩表面的存在提供了一种求立方的方法，因此3流形的表面恰好对应于所得立方复合体中的超平面。

Wise和Bergeron设计的关键是Kahn和Markovich展示了如何构造一个表面而不是许多表面的事实。 Wise和Bergeron遵循了由Michael Sageev于2003年首次提出的求立方方法，该方法现在在以色列的Technion工作。Wise和Bergeron首先收集了大量的Kahn-Markovich曲面-足以将3个流形划分为紧凑的多边形。

现在想象一下这些表面的交点之一-例如，其中有n个表面。萨吉耶夫的猜想是，可以将这个相交视为一个阴影，可以说是从n维立方体中n个超平面的相交处得出的。粗略地说，通过为n个曲面的每个相交添加一个n维立方体来构造对应于3个流形的KK（实际上，考虑到各种不可预见的拓扑情况，所有这些都被巧妙地构造了）。如果一个多面体之一的面连接它们在一个3流形中的对应交点，则它们中的两个立方体相邻。

Danfield说：“需要三次方络合物才能准确计算表面之间以及彼此之间如何相交。”

Wise和Bergeron指出，该KK与原始歧管在“同位”状态，也就是说，可以压缩和拉伸KK（考虑到某些尺寸的扁平化和逆过程），直到KK变成歧管为止，反之亦然。而且，这种同位当量将3个流形的每个表面转换为KK中相应的同位体等效GP。

以这种方式构造的QC满足了Wise假设的几何要求，这意味着，如果Wise假设是正确的，则此QC具有有限的覆盖范围，其中将嵌入所有GP。

如果确实存在这样的最终涂层（例如，覆盖m张纸），那么我们需要记住，可以从质量控制本身构建涂层，以特殊方式对其进行切割，然后制作此质量控制的m份并沿着切割线将它们粘合在一起。可以很容易地证明，这种制造涂料的方法可以转移到3流形的最终覆盖物的制造中，并且在该最终覆盖物中，用于构造CC的Kan-Markovich表面将上升到嵌入的表面。换句话说，如果明智假设是正确的，那么IHC也是正确的。

怀斯说：“这是一个非常奇怪的折衷方案：您的质量控制可能是例如10,000维，在您看来，从某种意义上说，您正在使情况恶化。” “但是，尽管有QC值，但它的许多特性还是很容易理解的，因此此过程非常有价值。” “我们更喜欢大型但组织良好的东西，而不是三歧管。”

即使在Wise和Bergeron建立了QC和VGH之间的联系之后，大多数研究3流形的拓扑学家仍远离QC。也许是因为Wise的200页的工作令人沮丧，或者是因为CC与通常的空间有很大不同。

Bergeron说：“对于从双曲线几何学中浮出水面的人们来说，这些想法太深奥了。”

但是，一位数学家已经精通3流形的拓扑结构，以及Wise在其方法中使用的更抽象的组合事物。

Bergeron说：“我认为Jan Eigol是唯一的三歧管专家，他早就了解了Wise的想法如何用于三歧管的拓扑结构。”

Eigol深入研究了Wise的“主要著作”，并确信与Wise的假设有关的所有部分都是正确的。 Aigol参与VHC已有一段时间。他意识到Wise的方法就是将松弛的表面转变为结晶的超平面，这正是他所需要的。

他说：“ KK为我们提供了用于建造最终涂层的森林。”

为了在Wise-Bergeron航天器上建造特殊的最终涂层，Aigol开始沿GP将航天器切割成“乐高积木”。然后，他将颜色分配给块的面，以便在拐角处找到的任何两个面具有不同的颜色。然后，艾戈尔（Eigol）表明，粗略地说，有一种方法可以沿相同颜色的面将有限数量的Lego立方体副本粘贴起来，以使这些面的侧面颜色也匹配。结果，每个扩展的GP将具有相同的颜色。最终的质量控制将是原件的最终涂层，并且所有GP都将被嵌入，因为任何两个相交的GP都将具有不同的颜色，因此不会是一个相交的GP。

3月12日，Aigol宣布了Wise假设的证明，因此宣布了Haken虚拟假设。

“这是自Perelman证明几何化假设以来最令人振奋的消息，” Danfield说。

该信息通过一个由3个流形组成的研究人员组成的社区，因此质量控制立即成为所有拓扑学家的共同话题。

“我认为到目前为止，数学界还不了解Wise的著作有多么强大，” Aigol说。“我认为我的结果将向人们解释他所取得的惊人成就。”

现在，根据Wise的说法，数学家已经开始意识到“每当您对某些事物进行立方体化处理时，就可以揭示出该结构的各种秘密”。

时代的终结

艾戈尔（Aigol）对怀斯理论的证明是“ 4为1的价格”的证明：它不仅证明了VHC，还证明了瑟斯顿（Thurston）提出的23个问题中的其他三个问题，直到现在仍未解决。在提出证明之前，Eigol和其他数学家表明，所有这三个问题-虚拟束假设和关于双曲3流形的两个其他技术性问题-也来自Wise假设。

在虚拟束假说的情况下，我们记得其目的是表明每个紧致的双曲3型流形具有一个有限的覆盖层，该覆盖层以圆形纤维形成，即，通过将加厚表面的相对部分胶粘来构造。从VGH中我们知道歧管具有有限的Hakenov涂层-也就是说，该涂层具有内置的不可压缩表面。如果沿该表面打开Haken歧管，则会得到一些看起来像是加厚的表面，但正如上帝所知道的那样，内胆中有什么。

Yang Aigol最近前往韩国大田。

据Kalegari称，2008年发生了“了不起的突破”，艾戈尔（Eigol）表明，满足特殊技术条件的双曲3流形实际上可以分层。次年，Wise在此基础上表明，所有Haken流形实际上都是分层的。也就是说，有一种方法可以扩展Haken流形以获得有限的覆盖率，从而显示出复杂的拓扑结构并生成简单的叶形流形。因此，如果歧管实际上是Hakenov，则必须对其进行分层。

Kalegari说：“我认为每个人都相信VGH是正确的，但虚拟捆绑假说似乎对我们来说更难获得。” “对我来说，虚拟分层假说来自VGH，这是整个故事中最令人震惊的方面之一。”

明斯基说，有了虚拟束假说的证明，“您就可以被诱惑并认为3个流形太简单了，因为在一个圆圈中分层的流形很简单。” “但是我认为这告诉我们，分层成一个圆形的歧管根本不简单，而且比我们预期的还要狡猾。”

同时，虚拟束定理意味着创建所有紧凑的双曲3流形有一个简单而有益的方法：从变厚的表面开始，旋转其内外边界将其粘在一起以适应您的口味，然后将流形折叠有限次数。

“如果您问我一个双曲的三歧管，我会问您需要哪种类型-哪种束和最终覆盖物？ -Kalegari说。 “现在我们知道，在此过程中，我们不会错过任何一个3流形。”

尽管数学家需要时间来彻底测试Eigol的作品，但许多人对它能够通过测试感到乐观。

明斯基说：“扬·艾戈尔不是一个粗心的人。”

现在，显然已经解决了Thurston列表中的最后一个问题，研究人员开始怀疑3流形的拓扑区域在Thurston之后的新世界中将是什么样子。

数学家同意，他们将进行大量工作来寻找QC可以为古巴形式提供的有用的东西。根据Aigol的说法，对于3歧管本身，时代的终结已经到来-以及下一个时代的开始。

他说：“在大多数数学领域，没有像我们这样的计划可以概述未来20-30年的发展道路。”他建议，现在，三流形和几何学的拓扑结构可能会变得与其他数学领域相似，在这些领域中，即使没有大量关于正在发生的假想图的奢侈，科学家们也可以接触并取得进展。

“新一代的数学家将提出以下重要问题，”艾戈尔说。

我们处于成形状态：从双曲几何到三次复形，反之亦然