去年11月，《 Quanta》杂志就有关从相同的平面物体（例如硬币或多米诺骨牌）上绘制形状的问题困扰着读者。本文提供了问题和详细的答案。问题1
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从物理上讲，该任务需要平衡桌子边缘两侧的图形扭矩。每侧的扭矩是该侧的质量与从质心到边缘的距离的乘积。当整个图形的质心在边缘上方时，相同的力矩作用在两侧，并且系统的总扭矩为零。对于复合对象，可以通过将所有组件的扭矩相加得出任意面的总扭矩。因此，我们可以划分并统治原始任务，仅考虑将新块添加到现有堆栈时发生的更改，例如数学归纳法（我们称之为物理归纳法）。考虑一堆n-1个块，每个块的重量为一个单位重量，长度为一个单位长度。堆栈在桌子的边缘处保持平衡。想象一下，视线是沿着桌子的边缘指向的，而桌子在左边–也就是说，木块的悬挂端向右突出。由于堆栈在边缘处平衡，因此质心在边缘上方，并且其扭矩为零。现在想象一下，我们垂直举起了整个堆栈，并在其下方放置了另一个块，以便其右边缘与桌子的边缘齐平。在实践中，这可能很困难，但在思想实验中却很简单。我们通过从底部开始添加第n个块来增加堆栈的稳定性，因为整个堆栈的质心向左稍微移动。表示此偏移量x。 n个块重n个单位，它们在桌子的边缘朝左，具有相同的扭矩x * n。回想一下，一堆n-1个块的总力矩为零。我们仅添加了新块的力矩-质量为一个质量单位，并且距桌子边缘到质量中心的距离为一半长度单位。事实证明，x * n = 1/2，这意味着x = 1 / 2n，其中x是从桌子边缘到新质心的距离。这意味着，如果将整个n个块的堆栈向右移动长度为1/2，则它将在边缘完美平衡-这是最大可能的偏移量。为了完成感应的构建，我们注意到从表的边缘开始的第一个块的最大悬垂为1/2单位长度。因此，对于五个块，我们将公式n替换为从1到5的每个级别，以获得最大悬突：x=1/2+1/4+1/6+1/8+1/10=137/120=1,141(6)
可以看出，如果从上开始，然后向下添加块，则每个移位将是可用块数的倒数的一半。这样的反数序列被称为谐波序列。这样的级数缓慢发散，并且随着n趋于无穷大，它也趋于无穷大。n个块的一般求和公式是通过将序列的所有成员求和而获得的。结果是n次谐波项的一半，可以写成：问题2
想象一下，您有五个相同的块，并且您想在它们的顶部放置一些装饰，该点距悬挂端的块的长度为四分之一。所有方块的重量均为一单位重量，珠宝的重量为方块的五分之一。现在最大悬垂长度是多少？这如何改变基本公式？
首先，考虑第一个砌块，其装饰摆放于其上，并平放，使其右边缘与桌子边缘齐平。没有装饰的砌块的质心距离桌子边缘的长度为一半。装饰会将其向右移动，例如x。装饰的质量为1/5，并且距新质心的距离为1/4。我们将这些力矩等价，得到x = 1/5 *（1/4 x），因此x = 1/24。由于装饰原因，必须将第一个程序块向左移动长度的1/24，因此最大悬垂现在是11/24，而不是1/2。对于后续块，可以使用与第一个问题相同的归纳法。我们得到方程x（n + 1/5）= 1/2，对于n个块，它简化为1/2（n + 1/5）。这使我们获得序列1/24 + 5/12 + 5/22 + 5/32 + 5/42 ...，这导致五级图形的最大悬垂为1,057。请注意，由于装饰的额外重量，第一个块的突出部分不适合整个方案。但是，会出现一个简单的谐波序列，通过该序列可以轻松计算出最终数量。问题3
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由于具有两个到五个块的概率是相同的，因此您需要最大化表示这四种情况下最大突出量的数量。对于2-5个块的堆栈，第一个块的位置最佳，从而给出了整个堆栈的最大悬垂量。如果为下一个堆栈的四个可能大小中的每一个在图上构建最大的突出部分，则会得到两个折线图和两个以V倒置形式的图。它们的顶点表示3-4个块的堆栈的初始块的最佳起始位置。总结这些图，我们得到了整体的悬垂图，它极大地改变了四个最佳位置中每个方向的方向。事实证明，在三个块的最佳位置实现了最佳的总体突出，此后图表下降。因此，您需要将原始块放在您将获得三个额外的块，并且突出长度将为1/6个单位。读者指出了一些限制，使这种假设的数学桥梁无法达到无穷大：风，不均匀，缺乏无限的准确性，弹性或块和桌子的硬度不足等。当然，这是正确的。可以加上地球的曲率和无穷大的空间。这些限制中的哪一个将最快速地使堆栈崩溃？为了回答这个问题，研究相邻的那个很有用：如果您忘记了边缘的悬垂而只是将叠叠乐砖叠放在一起，那么塔的高度就没有数学上的限制。但是，它在砌块中的微小缺陷和建造中的不精确性将消失，振动或风将起最后一根稻草的作用。我们悬而未决的人物也是如此。如果您调整了所有这些因素，则在某些时候会发挥砖块的刚度，当下块略微弯曲并由于上面所有块的总扭矩而偏离水平方向时，将导致上块滑动。我提到过，如果允许在同一级别使用多个块，则可以实现最大的突出。正如一些读者所指出的那样，此问题的最佳解决方案在2009年的“ 最大悬垂量 ”中有所描述。在我看来，采用Paterson-Zwick方法制作的小型设计类似于翠鸟。大的看起来像魔术灯。对于长度为两个单位的突出，这些方案的效率是经典谐波突出的2-3倍，并且使用14个块而不是32个块来实现这样的突出。不幸的是，对于本文而言，它们的数学过于复杂。