如何制作不可能的墙纸：禁止对称的历史

左侧是墙纸图案，每个棕绿色玫瑰花结均具有六阶旋转对称性。右侧是墙纸图案，该墙纸图案相对于穿过彩色玻璃窗饰的每个椭圆形元素的水平线具有镜像对称性。

乍一看，发明墙纸并不比从幼儿园完成任务困难。设计师可以为原始作品选择颜色和形状的任意组合，然后简单地在两个方向上相乘。取决于初始片段的图案和方向的选择，可能会出现其他对称性-例如，第一幅图片中的六阶对称性，或第二幅图片中的镜像对称性。两种模式都是由加利福尼亚大学圣克拉拉分校的数学家弗兰克·法里斯（Frank Farris）创建的。


彭罗斯（Penrose）磁贴显示了许多局部五阶对称性的示例，但它们没有重复的图案。当在平面上填充大面积时，宽瓷砖数与窄瓷砖数之比接近黄金分割率。

但是，尽管可以使墙纸具有第二，第三，第四或第六阶的旋转对称性，但无法创建具有五阶对称性的墙纸[该顺序显示了在360°旋转过程中图案将自动对齐的次数-大约为。翻译]。数学工作者将这种限制称为“晶体学限制”已有近200年的历史了。五边形的几何形状禁止具有五阶对称性的图案。对于七个或更多的订单也是如此。

但是，最有趣的图案（例如彭罗斯（Penrose）瓷砖）在许多地方以不同的比例显示了局部五阶对称性，只是没有重复的图案。使用与Penrose方法不同的方法，Farris抑制了异常的五阶对称几何形状，并创建了一组令人兴奋的新图像-乍看起来似乎没有遵守晶体学约束的伪墙纸。


图4

第四个图看起来像是晶体学约束的反例，在点A周围具有五阶旋转对称性，而图案可以在平面上沿AB或AC方向移动。实际上，法里斯（Faris ）在他的文章中写给《美国数学学会》（Notices of the American Mathematical Society），这幅画只是一个聪明的假货。

“你知道观察到的对称性是不可能的，”明尼苏达州卡尔顿学院的斯蒂芬·肯尼迪说。

似乎可以实现围绕点A的五阶旋转对称。但是，如果仔细观察，您会发现点B和C周围的轮子与A略有不同。如果我们可以离开图案而看到更多重复，则该图案的可见重复将越来越像该点区域中的图案而且，即使更有说服力的A副本也会出现在其他地方，如图2所示。 5.法里斯（Faris）表明，也可以在更大的范围内创建这种错觉，远离该模式并重复一定的次数-具体而言，该次数对应于斐波那契数列中的数字（1、2、3、5、8， 13、21，...，其中每个后面的数字是前两个的和），这在Penrose磁贴的几何形状中也起作用。


图5

“有理由，我们知道这是一种欺骗，”法里斯说。但是，正如他在文章中所写，这些图像“邀请我们的眼睛研究它们并享受几乎完美的重复。”

Faris想到了这些假货，从而改变了他创建具有三阶旋转对称性的真实墙纸的技术，如图2所示。 6。

为了创建三阶对称性，Faris开始在三维空间中进行工作，该空间具有一种特别自然的旋转，它通过三个空间坐标进行排序，并且绕对角线旋转120度。然后，Faris创建了三维墙纸图案，将经过特殊选择的正弦曲线叠加在一起，并将它们与预选的调色板组合在一起。根据点在叠加正弦曲线上的位置将点染色。然后，法里斯拿出一块平墙纸，将这种颜色限制在垂直于原始空间旋转轴的二维平面上。

肯尼迪说，这种平滑，正弦的创建墙纸图案的方法与传统的复制和粘贴方法不同。 “这是创建对称图案的一种非常新的方式。”


图6

似乎在五维空间中执行的同一过程应该导致具有五阶对称性的图案的创建-如果只是我们不知道这是不可能的话。有趣的是，法里斯认为，该系统在什么时候失效？

从理论上讲，五维空间是可能的，尽管很难想象。他具有五阶旋转对称性的自然类似物，如三维空间中的三维对称性。在五维空间中，可以选择两个平面之一，每个平面都垂直于旋转轴，另一个平面。它们每个都可以绕一个点旋转72或144度。似乎很难想象两个平面和一条垂直于彼此的直线，但是在五个维度上它们都有足够的空间。

Faris理解了这个问题-如果垂直平面准确地切入了三维空间，并且包含具有无限个点的整数墙纸的无限墙纸，则五维空间中的两个垂直平面是无理的，并且不包含整数坐标的点（参考点除外） 。由于从正弦曲线创建的墙纸图案通过整数移位重复进行，因此此类平面不会从高阶空间继承图案。

“这就是果蝇在汤中的样子，”法里斯在文章中写道。

尽管如此，由于所谓的参与，墙纸​​结构的错觉出现在这两个平面上黄金分割率，描述两个平面方向的无理数和斐波那契数。

由于它们之间的关系，Faris设法证明，尽管在两个平面上没有整数坐标的点，但是它们每个都非常接近整数坐标为Fibonacci数的点的无限散射。每次飞机接近这些斐波那契点之一时，该模式看起来几乎与参考点相同，从而产生了精确副本的错觉。



Faris还想出了如何将自然照片的颜色和图案与波浪功能结合在一起，以将它们包括在图案设计中，因此，您可以获得大量的“假”墙纸。在上图中，您可以看到从照片迁移而来的树木的树枝。

Source: https://habr.com/ru/post/zh-CN400591/