🔥 👩🏿‍💻 🧤 数学家阐明了极简假设 🤞🏿 ✂️ 🍈

在最初来自巴比伦的这款平板电脑上，约于公元前1800年制造，列出了毕达哥拉斯三元组-整数a，b和c，满足多项式方程a ² + b ² = c ²。为了这一天的搜索多项式方程的合理性和整体解决方案的仍然是数学家的严重挑战

在公元前五世纪希腊数学家的发现动摇了数学的基础，据传说，这使他丧命。历史学家认为这是Metapont的Hippasus，他属于毕达哥拉斯数学学校，其主要教条是任何物理现象都可以表示为整数及其关系（我们称为有理数）。但是，根据历史学家的说法，当吉帕斯考虑直角三角形的边长时，这种假设会破裂。直角三角形的边长应满足毕达哥拉斯定理-著名的关系a ² + b ² = c ²。据说吉帕斯（Gippas）表明，用有理数表示的三角形的腿的长度相同，则其斜边不能由有理数表示。

根据一个故事的版本，吉帕斯在海上发现了这个发现，他的同事们对这个发现感到震惊，把他扔了下来。

现代数学家不再像古希腊人那样因非理性数字而感到尴尬（而且总的来说，他们发现非理性数字比理性数字更多）。但是毕达哥拉斯人对方程的有理解的热爱继续为数学家提供信息。它是数字理论的基础，而数字理论是传统的数学理论分支，在我们的数字时代，它出乎意料地发现了许多应用。

现在，两位年轻的数学家在三次方程的有理解的研究中走到了科学的最前沿。变量在一定程度上的多项式方程，例如y = 3x ³ + 4或x² + y ² = 1，属于数学家研究的基本对象的数量，并且被用于各种实际应用以及数学分支中。

多项式宇宙

不难看出，变量度不超过1的多项式方程，例如y = 3x + 4，具有无限数量的有理解。x的任何有理值都会给出y的有理值，反之亦然。

如何找到阶数为2的多项式的有理解，例如x ² + y ² = 1或y = 3x ³+ 2x-7，已有一千年的历史。他们可能根本没有解决方案，或者有很多解决方案。此类曲线的图形为圆锥形截面-圆形，抛物线形，椭圆形和双曲线形。如果图表上有一个有理点P，则有一种找到所有其他有理点的绝妙方法。您只需要使所有通过P的线都具有一个合理的斜率，然后计算该线与圆锥形截面的第二个交点即可。

1983年，现任数学研究所所长的Gerd Faltings。马克斯·普朗克在波恩，照顾有力量多项式方程的他表现他们大多数只能做出有限数量的理性决定。还有三次方程，多项式宇宙的顽固偏导。

三次方程式阻止了数学家对解决方案进行分类的努力。试图对三次方程组的有理解进行分类-更准确地说，是一类称为椭圆曲线的三次方程组，因为除了少数几个方程组之外，其他椭圆形方程组都可以具有有理解-从17世纪法国数学家Pierre Fermat开始，所有数论专家都进行了这种尝试哈佛大学的本尼迪克特·格罗斯（Benedict Gross）说。

椭圆三次方程可以有零个，有限个或无限个解。到目前为止，数学家只能猜测这些选择出现的频率。

椭圆曲线在理论和应用数学上都无法预料地出现在意料之外的地方。从1995年起，他们的理解成为费马定理证明的关键要素，尽管椭圆曲线似乎与其公式无关。使用椭圆曲线的操作已成为许多加密协议的核心组成部分，这些协议对在线交易中的银行卡号进行编码。椭圆曲线的有理解是毕达哥拉斯风格的各种几何问题的核心，例如，搜索边长为合理且面积为有理的矩形三角形。

普林斯顿大学的Manjul Bhargava说：“智能刺激，出色的结构，实际应用-所有这些都是椭圆曲线。”

Bargawa今年38岁，他的同事Arul Shankar-26岁，他们在普林斯顿大学高级研究所工作，并且在过去几十年中已经采取了最大的步骤之一，以了解椭圆曲线的合理解。

在他们的工作中，没有找到为特定椭圆曲线找到合理解的方法。相反，她解释了如果随机选择曲线，最有可能做出理性决策的情况是什么。

格罗斯说，巴尔加瓦和香卡的发现“开始揭示了我们大范围的无知”。“工作之后，整个世界看起来都不同了。”

椭圆安全

如果我们在椭圆曲线上取两个有理点，则通过它们的线几乎总是与曲线在另一个点处相交，也有理坐标。使用两个不同的有理数点来生成第三个很简单，但是做相反的事非常困难-选取一个有理数点并找到另外两个有理数点来生成它。此属性使椭圆曲线可用于加密：加密安全性基于易于在一个方向上进行而在另一方向上难以进行的操作。

普林斯顿大学的彼得·萨纳克（Peter Sarnak）说：“椭圆曲线涉及许多令人惊奇的事情。” “它们足够复杂，可以承载大量信息，但是足够简单，可以进行深入研究。”

有趣的旅程

查找椭圆曲线的有理解可简化为在xy平面上的图上找到点，从而使其x和y坐标为有理数。而且通常很难做到。但是，如果您找到几个有理的点，则有可能使用简单的程序生成更多的点，这是两千年前由亚历山大数学家Diophantus首次发现的。例如，如果您通过两个有理点画一条线，通常它与曲线恰好在一个点（也就是有理点）上相交。

巴尔加瓦说，这个过程是“一个非常复杂的结构，三次方程式中有一些特殊的东西可以赋予它们深度”。

1922年，路易斯·莫德尔（Louis Mordell）证明了一些惊人的发现。对于任何椭圆曲线，即使具有无限多个有理点，也可以生成所有有理点，从少量的有理点开始，然后将它们连接在一起。如果椭圆曲线上的有理点数是无限的，则生成所有这些点所需的最小点数称为曲线的秩。当这些点的数量是有限的时，曲线的等级为0。

数十年来，数学界一直在思考一个极简主义的假设，该假设估计了椭圆曲线的等级，但证据混杂。假设说，从统计学上讲，大约一半的椭圆曲线的秩为0（即，它们的有限个有理点或零），而另一半则为1（即，它们的无限个有理点数可以从一个）根据该假设，所有其他情况的数量都很少。这并不意味着没有例外，甚至也没有例外。但是，如果我们收集越来越多的椭圆曲线，则落入其他类别的曲线的百分比将越来越少，其数目趋向于0％。

1979年，哥伦比亚大学的多里安·戈德菲尔德（Dorian Goldfeld）首先针对椭圆曲线的特定类别提出了这一假设。哈佛大学的巴里·马祖尔（Barry Mazur）说：“这一直是民间传说。”

普遍认为椭圆曲线不应有太多有理点，这支持了部分极简论。确实，少数人在有理数的数字线上。

Mazur和他的三位合著者在2007年的《美国数学学会简报》上写道：“椭圆曲线的有理点是数学的随机明珠，很难想象会有如此多的此类意外发生。”

乍一看，这表明大多数椭圆曲线的秩应该为0。但是许多数学家相信奇偶校验假设，即假设偶数和奇数秩的椭圆曲线出现50到50。我们得到了极简假设-在最低可能的等级0和1之间除以50除以50。

实验数据也支持极简假设，根据该假设，椭圆曲线确实很难升上高阶。椭圆曲线专家使用计算机搜索高阶曲线。当前记录设置在28附近-但是这样的曲线很少，其系数是巨大的。

但是其他估计并不那么令人鼓舞。数学家计算出数十万条椭圆曲线的等级，到目前为止，所有曲线中有20％的等级为2。对于很小但不是非常小的曲线，等级为3。根据极简主义假设，如果考虑所有椭圆曲线，它们的比例应趋于零。 “显然，数据与假设相反，” Mazur说。

通常，当数据与假设不符时，将被正确丢弃。但是许多数学家坚持极简主义的假设。尽管计算机重做了许多示例，但数学家指出，这些计算只是冰山一角。 Mazur与同事写道：“也可能发生，除非我们证明了这些假设，否则我们收集的任何数据，即使是非常可靠的数据，也无法使理论家感到放心。”

他们还补充说，所计算的椭圆曲线的很大一部分具有大于1的等级，类似于物理学中的暗物质。 “显然有大量的理性点。我们对此毫无疑问。我们只怀疑如何为他们在那里的事实给出令人满意的解释。”

他们写道，由于数据和理论的冲突，几十年来，极简主义的假设“被拒绝或被认为是理所当然的”。

新方法

直到最近，数学世界的后起之秀Manjul Bargava一直处于怀疑者的阵营。2002年，《大众科学》杂志之一将他列为“十大天才”之一，第二年，他28岁，成为普林斯顿大学获得教授头衔的最年轻的人之一。他的同事不仅钦佩他的数学成就，而且钦佩他的友善和创造力。格罗斯说，

现年38岁的曼珠尔·巴尔加瓦（Manjul Bargava）

“他以不同于大多数人的方式看待事物，而这正是他的天才所在。”

数论专家Bargawa对计算的数据与极简假设之间的清晰对比感兴趣。他说：“这表明那里正在发生一些有趣的事情。” “我去找我的同事彼得·萨纳克（Peter Sarnak），问他：“你怎么相信这个假设？”巴尔加瓦回忆道。 “对我来说，这看起来很有趣。”

但是Sarnak认为，当可以计算出系数更大的椭圆曲线时，结果数据将开始朝相反的方向倾斜。 “他对这个假设非常有信心，”巴尔加瓦说。

Bargawa决定以一种或另一种方式找出有关该假设的特定信息。他说：“现在该证明一些东西了。”他开始研究一组计算椭圆曲线等级的算法，这些算法起源于17世纪费马（Fermat）引入的程序。这是一系列称为下降算法的算法-对于大于2的每个整数，都有一个算法-他们熟练地工作并找到了有理点的椭圆曲线。但是，尽管进行了许多尝试，但没有人能够证明这些算法将始终有效。

Bargawa决定尝试其他方法。 Bargava说：“我有一个想法，可以同时尝试所有椭圆曲线的下降算法，然后证明在大多数情况下它都可以工作。”实际上，要研究极简主义假设，不必知道每个椭圆曲线是什么样子的-知道它们正在努力的种类就足够了。

这种方法包括数字几何领域的工作，涉及对各种图形的晶格节点进行计数（晶格节点是具有整数坐标的点）。在最简单的形式（例如圆形或正方形）中，晶格节点的数量大约对应于图形的面积。但是Bargawa的任务涉及更复杂的图形，并且当图形具有复杂的特征（例如触手）时，它可能具有比其区域预测的更多或更少的晶格节点。

26岁的Arul Shankar在

开始使用此类表格之前，Bargava为他的研究生Arul Shankar设定了类似但简单的任务。通常，研究生们要为完成论文中的任务而奋斗多年，但是Shankar在短短三个月内就提出了解决方案。因此，巴尔加瓦说：“我问他是否愿意加入我的行列。”

Mazur说，Bargava和Shankar已经开发了一套新技术，其重要性很可能超出他们要解决的原始任务。“数字的几何形状一直是一种深刻而有力的方法，现在，它们已经大大提高了它的功效。” 他补充说，他们技术的天才“为数论开辟了新的可能性”。

Gross表示，这些新技术“将在数年后影响数论”。

清晰的图案

如果极简假设是正确的，则椭圆曲线的平均秩应该为1/2，但是在Bargava和Sankar开展工作之前，数学家甚至无法证明平均值是有限的。使用2阶下降算法，Bargava和Shankar能够显示所有椭圆曲线的平均秩不超过1.5。使用上一步未处理的某些曲线的3、4和5阶，他们能够将上限线降低到0.88。

尽管此值与极简假设所预测的平均值之间存在差距，但Bargava和Shankar的发现代表了一种飞跃。 Sarnak说：“这只是第一步，但已经非常庞大。” “很高兴看到两个年轻人如此积极地前进。”

此外，已证明平均等级小于1，Bargava和Shankar证明相当大的椭圆曲线（至少12％）的等级为0（否则，平均值会更高）。他们用它表明曲线的同一部分满足著名的Birch-Swinnerton-Dyer假设，即椭圆曲线的老问题，为此，克莱数学学院获得了100万美元的奖励。

在克莱学会在Bargawa的一次演讲中，一位听众开玩笑地问Bargava和Shankaru现在是否依靠百万分之一的奖金中的12％。巴尔加瓦（Bargava）悲哀地说道：“该研究所的代表正在上课，他们立即说不，不应该。”

巴尔加瓦（Bargava）和尚卡尔（Shankar）的发现震惊了数论领域的专家，其中许多人并不期望中层领域取得进展。格罗斯说：“您在Manjul告诉我有关他的工作的一个月前问我，我会回答你，这是没有希望的。”他说，现在，极简主义假设看起来越来越有希望。 “我会把钱押在她身上。”

一种可能的方法（如数学家所说，可能需要注入新的思想）是尝试使用降低5阶以上阶数的算法，以进一步细化中阶的边界。 Bargava说：“使用2、3、4和5阶下降的趋势很明显，并且很可能会继续下去。”

巴尔加瓦（Bargava）并不认为自己是这个想法的权利的唯一拥有者，并希望他们的工作会激发年轻的数学家对椭圆曲线的有理点进行进一步的研究。他说：“极简主义的假设本身并不是目的。” -每次打开门，事实证明您需要打开更多的门。这样做的人越多，我们就可以打开更多的门。”

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