“在相同的温度下有两个相同的球。 其中一个位于水平面上，另一个悬挂在螺纹上。 两个球报告的热量相同。 之后的球会一样吗？ （任何一种热损失都可以忽略不计。）”

有时在物理和社交媒体 奥林匹克竞赛中会发现这样的问题。 普遍接受的答案很直观：由于重力作用下热膨胀的能量消耗，水平表面上的球比悬挂在螺纹上的球要凉。 最近的一篇文章表明此答案不正确。 实际上，结果将相反：说谎的球会比悬挂的球温暖。 我们将理解为什么解决这个问题的传统方法会导致错误的答案，以及为什么在这种情况下的直觉使我们失望。

传统解决方案及其问题

传统解决方案基于以下推理。 两个球在加热过程中都会膨胀，因此，位于水平表面上的球的质心会略微上升，而悬挂的球的质心会下降。 结果，卧球加热得更弱，因为传递给它的热量的一部分会花在上升上，而吊球由于放下时的额外重力会变热。


传统解决方案中使用的推理是：由于热膨胀，桌子上的球上升，而挂在螺纹上的球下降。

答案可以通过一个简单的温差公式来表示（ $$ ）并悬挂（ $$ ）球：

$$

在哪里 $$ ， $$ 和 $$ -球的质量，半径和热容量， $$ -传递给他们的热量， $$ -重力加速度， $$ 球形材料的线性热膨胀系数 ，我们认为足够小。 如所见 $$ -说谎的球会更冷。

在这个决定中似乎一切都是合乎逻辑的。 “第一次吞咽”表明这里有问题，这是在球的基础上尝试创建热机的一种精神尝试。

机器的工作方式如下：首先，球躺在桌子上，我们对其进行加热，因此球的质心上升。 然后，将球固定在顶部的螺纹上，并小心地移开桌子，以使球的高度不变。 最后，我们将球冷却到其初始温度，结果，球被压缩并且其质心上升。 底线：当球加热时，我们传递给球的一部分热量变为机械功以提高球，并且可以无休止地重复此循环。


球形热机的运转周期：加热和冷却后，球形物上升，这意味着我们将一部分热量转化为机械功。

这里的问题是，通过增加球的半径，可以使这种机器的效率（效率）任意接近100％。 这与热力学第二定律相抵触，根据第二定律，热机的效率在加热器和冰箱的相同温度下不能超过卡诺循环的效率。

怎么了

为什么传统的解决问题的方法是错误的？ 在此有必要考虑到，从一开始就躺在桌子上的球在被加热之前会因重力而稍微变平，而悬挂球会稍微拉伸。 这将对上述热机的效率产生负面影响：在悬挂过程中，球会略微降低，因此效率会降低，并且不再超过卡诺循环的效率。


重力对球的影响：放在桌子上的球被弄平，而悬在球线上的球被拉伸。

考虑原始问题时，这将如何体现？ 事实证明，压缩或拉伸一种材料会改变其热容量：在压缩材料的情况下，加热到相同温度所需要的热量比在拉伸的情况下要少。 因此：

• 当桌子上的球被加热时，由于热膨胀，部分热量将上升。 但是，与此同时，球材料本身的加热将更容易并且所需的热量更少。
• 当挂在螺纹上的球被加热时，降低它时的重力将增加传递给它的热量。 但是，与此同时，加热球材料本身将更加耗时并且需要更多的热量。

在传统解决方案中，仅考虑由白色箭头指示的因素。 忽略黑色箭头所示的因素会导致错误的答案。

如我们所见，在这两种情况下，都有一些因素既有利于一个答案选项（一个躺着的球可能比悬挂的球凉爽），又朝着相反的方向（一个说谎的球可能比悬挂的球温暖）起作用。 哪个胜过？

似乎在压缩或拉伸过程中改变材料的热容量（即使存在）的影响应该很小，并且可以忽略不计，就像传统的解决问题的方法一样。 但是，事实并非如此。 该效应的大小与热膨胀本身相同，因为这两种效应均源于原子间力的非谐性。 在传统解决方案中将其中一种影响考虑在内，而忽略另一种则是不一致的，并且会导致错误的答案。

该文章表明，通过正确解决该问题，将等量的热量传递给球后，球的温差等于：

$$

在哪里 $$ -球的绝对温度， $$ -球的材料的热膨胀系数随温度变化的变化率。

与传统解决方案的结果相比，温差为：

• 相反的符号，因为对于大多数材料而言，其价值 $$ 是积极的，因此平等的整个右侧也是积极的，并且 $$ 。
• 绝对值小很多，因为在这里出现的值比小值小 $$ 和 $$ 。

因此，上面讨论的两个效果几乎完全相互抵消，但是第二个效果（压缩或拉伸过程中热容的变化）比第一个效果（热膨胀）稍强。

原子间力的非谐性

本文的作者对这个问题进行了相当严格的考虑，但是不幸的是，没有提供确切解释这两种效应几乎是完全补偿是如何发生的，因此我不得不自己处理这个问题。

该图显示了原子相互作用势能对它们之间距离的典型依赖性。 作用在原子上的力指向势能的减小；因此，原子在小距离处会互相排斥，而在大距离处会被弱吸引。 在一定距离 $$ 势能达到最小。 原子对这个最具有能量优势的距离的渴望是它们与分子，液体和固体结合的原因。


现在，让我们看看材料的热膨胀来自何处。 随着混沌热运动，原子之间的距离不再严格相等 $$ ，并在此值附近波动。 原子之间的键具有非谐特性：它的行为就像不对称弹簧一样，比拉伸更容易拉伸。 结果，在热运动过程中，键在大多数情况下会拉伸而不是压缩，因此平均距离 $$ 原子之间变得大于 $$ 。 随着温度的升高，这种作用加剧，原子之间的距离增加，材料膨胀。


材料热膨胀的原因：在热运动过程中，原子之间的平均距离由于原子间相互作用力的非谐性而增加。

当材料被压缩或拉伸时（如扁平或拉伸的球）会发生什么？ 压缩材料时，外力会减小原子之间的平均距离，而拉伸时，外力会增加。


在压缩下，原子之间的平衡距离减小，而在张力下，平衡距离增加。

现在，我们准备了解材料的压缩和张力如何影响其热容量。 想象一下，我们挤压了材料，以使热运动过程中原子之间的距离现在在向左移动的平衡位置附近振荡。 在这种情况下，非谐性并没有消失，因此，像以前一样，当加热时，原子之间的平均距离会增加。 但是同时，我们将向最小的势能转移，这意味着材料的能量将进一步降低！ 这就解释了压缩过程中材料热容量的下降：热膨胀导致原子间相互作用能的附加附加小幅下降，因此，加热材料所需的能量更少。



如果材料被拉伸，情况则相反：通过热膨胀，原子的相互作用能将比未拉伸的材料增长更快。 因此，为了在相同的温度下加热被拉伸的材料，与没有被拉伸的情况相比，需要更多的能量，这意味着被拉伸的材料的热容量将更高。

因此，以奥林匹克问题为例，这个问题几十年来已经被错误地解决（也许继续被解决），我们看到真实的物理学有时与我们的直觉相矛盾。 因此，在解决问题时，认真使用数学工具非常重要，而不仅限于表面推理。

根据文章 ：

贾科莫·德·帕尔玛（Giacomo De Palma），马蒂亚·C·索尔马尼（Mattia C.Sormani），《重力对固体球体热容量的反直观影响：对一个已知问题的重新检验》，《美国物理学报》 83，723（2015）。
文章的公开预印本： arxiv.org/pdf/1502.01337