我们了解粒子物理学：4）波，经典的运动方程

1. 牛顿弹簧上的球
2. 弹簧上的量子球
3. 波浪，经典外观
4. 波浪，经典的运动方程
5. 量子波
6. 领域
7. 粒子是量子
8. 粒子如何与场相互作用

让我们回到球在弹簧上的振动方程

在循环的第一篇文章中 ，我们首先导出了一个球的振荡运动的公式

$$

$$z（t）= z_0 + A cos [2 \ pi \ nu t]$$

然后他们找到了运动方程，该方程可以解决该问题。

$$

$$d ^ 2z / dt ^ 2 =-K / M（z-z_0）$$

在这里
•d ² z / dt ²表示时间变化超过时间z（t）的变化。
•K是弹簧力，M是球的质量，z ₀是平衡位置。
•ν=√K / M /2π

获得用K和M表示的最后一个频率方程式的关键步骤是计算球z（t）= z ₀ + A cos [2πv t]的振荡运动的d ² z / dt ² 。 我们发现

$$

$$d ^ 2z / dt ^ 2 =-（2 \ pi \ nu）^ 2（z-z_0）$$

波动方程

现在我们要对wave进行相同的操作。 我们找到了一个在空间和时间上都振荡的波浪的形状和运动的公式。

$$

$$Z（x，t）= Z_0 + A cos（2 \ pi [\ nu t-x / \ lambda]）= Z_0 + A cos（2 \ pi [t / T-x / \ lambda]）$$

在哪个运动方程的解中有这样的公式？ 您可以想象答案。 显然，它包括：

1. d ² Z / dt ² ，时间变化，时间Z（x，t）变化。
2. d ² Z / dx ² ，即空间Z的变化（x，t）。

自然地，我们可以猜测该方程应如下所示：

$$

$$C_t d ^ 2Z / dt ^ 2 + C_x d ^ 2Z / dx ^ 2 = C_0（Z-Z_0）$$

其中C _t ，C _x和C ₀是常数。 我注意到，如果C _t = 1，C _x = 0，C ₀ = -K / M，我们将返回到球在弹簧上的振动方程。 在我们的情况下这些常量是什么？

我们总是可以让C _t =1。如果您想让C _t = 5，我只想请您将整个方程除以5，就可以得到等价于C _t = 1的选择。其他常量的其他值。

之后，事实证明，C _x和C ₀的值在不同的物理系统中是不同的。 我们将研究具有不同常数的两种不同类别的波。

对于这两个类别，C _x均为负， $$$C_x = -c_w ^ 2$（这里，c _w表示高频波的移动速度）。

这些类的不同之处在于，第一类，类1，C ₀为负，并且为-（2πμ）2，第二类，类0，C ₀为零。

现在，我们研究这两类方程的波动性质。 但是在此之前，我们需要执行另一项计算，这已经在前面完成了。

快速计数

为了我们无尽的浪潮

$$

$$Z（x，t）= Z_0 + A cos（2 \ pi [\ nu t-x / \ lambda]）= Z_0 + A cos（2 \ pi [t / T-x / \ lambda]）$$

我们将需要知道d ² Z / dt ²和d ² Z / dx ² 。 在上一篇文章中，我们已经表明，对于根据z（t）= z ₀ + A cos [2πνt]移动的弹簧上的球，结果是 $$$d ^ 2z / dt ^ 2 =-（2 \ pi \ nu）^ 2（z-z_0）$。 时间的变化给我们2πν的因子，时间的变化给我们2个因子的因子。 此外，还有一个常见的减号。 因此，您不会感到惊讶：

• $$$d ^ 2Z / dt ^ 2 =-（2 \ pi \ nu）^ 2（Z-Z_0）$
• $$$d ^ 2Z / dx ^ 2 =-（2 \ pi / \ lambda）^ 2（Z-Z_0）$

每次时间变化都会给我们因子ν= 1 / T（周期越大，时间变化就越慢），而每次空间变化都会给我们因子1 /λ（波越长，空间变化就越慢）。

证明

对于无限波，我们有基本方程

$$

$$Z（x，t）= Z_0 + A cos（2 \ pi [\ nu t-x / \ lambda]）= Z_0 + A cos（2 \ pi [t / T-x / \ lambda]）$$

我们想证明这一点

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 =-（2 \ pi \ nu）^ 2（Z-Z_0）$$

$$

$$d ^ 2Z / dx ^ 2 =-（2 \ pi / \ lambda）^ 2（Z-Z_0）$$

一些事实：

•Z-Z ₀ = A cos（2π[νt-x /λ]）（仅在主方程中，它们将Z ₀移至左侧）
•由于Z ₀是与时间和空间无关的常数，因此dZ ₀ / dt = 0且dZ ₀ / dx = 0。
•d（cos t）/ dt =-sin t，而d（sin t）/ dt = + cos t
•d（F [at [b + bx]）/ dt = ad（F [at + bx]）/ d（a t + bx），其中a和b是常数，F是（at + bx）的任意函数。
•d [A f（t）] / dt = A d [f（t）] / dt，其中f（t）是t的任意函数，而A是常数

在一起，这意味着：

$$

$$dZ / dt = d [A cos（2 \ pi [\ nu t-x / \ lambda]）] / dt = cos（2 \ pi [\ nu t-x / \ lambda]）] / dt \\ = A（2 \ pi \ nu）d [cos（2 \ pi [\ nu t-x / \ lambda]）] / d（2 \ pi [\ nu t-x / \ lambda]）=-（ 2 \ pi \ nu）A sin（2 \ pi [\ nu t-x / \ lambda]）$$

和

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = d [-（2 \ pi \ nu）A sin（2 \ pi [\ nu t-x / \ lambda]）] / dt = \\-（2 \ pi \ nu） A d [sin（2 \ pi [\ nu t-x / \ lambda]）] / dt = \\-（2 \ pi \ nu）^ 2 A cos（2 \ pi [\ nu t-x / \ lambda ]）=-（2 \ pi \ nu）^ 2（Z-Z_0）$$

由于在将（νt）替换为（-x /λ）时，波的基本公式不变，因此d ² Z / dx ²的计算与d ² Z / dt ²的计算没有不同，只是d / dt给出了系数（2πν） ），我们将得到d / dx给出因子（-2π/λ）。 但是，由于答案中有两个这样的因素，我们只需将（2πν） ²替换为（-2π/λ） ² =（+2π/λ） ² ； 负号无关紧要（总负号加法仍然存在）。 正如我们需要证明的

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 =-（2 \ pi / \ lambda）^ 2（Z-Z_0）$$

细则：上述所有派生词实际上都是偏导数。

0级：任何频率和相同速度的波

在此类波动中，运动方程为：

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2-c_w ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = 0$$

将公式Z（x，t）连接成一个无限波，并使用我们刚刚进行的计算，我们发现：

$$

$$-（2 \ pi \ nu）^ 2（Z-Z_0）-（-c_w ^ 2）（2 \ pi / \ lambda）^ 2（Z-Z_0）= 0$$

将方程除以 $$$-（2 \ pi）^ 2（Z-Z_0）$我们得到

$$

$$\ nu ^ 2-c_w ^ 2 / \ lambda ^ 2 = 0$$

由于频率，速度和波长为正，我们可以提取根并获得

ν= c _w /λ，或者，如果愿意，λ= c _w /ν= c _w T

通过此公式，我们可以了解到：

•最初，我们记录的波可以具有任何频率和波长。 但是运动方程式使它们彼此依赖。 对于0级的波，您可以选择任何频率，但是之后通过λ= c _w /ν确定波长。
•所有0类波，无论频率如何，都以速度c _w传播。 这由公式λ= c _w T和图2得出。 上一篇文章的 3。 观察波在一个T周期内如何经历一个振荡周期。发生了什么？ 在T之后，该波看起来完全相同，但是每个波峰已移至其邻居所在的位置-距离为λ。 这意味着脊在时间T中移动距离λ（一个振荡周期中一个波长），并且意味着脊以λ/ T = c _w的速度移动。 所有频率及其周期和所有波长都是如此！
•与弹簧上的球一样，这些波的振幅A可以是任意大小，可以是任意大小。 所有频率都是如此。

第1类：频率大于最小频率且具有不同速度的波

对于此类波动，我们的运动方程为：

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2-cw ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 =-（2 \ pi \ mu）^ 2（Z-Z_0）$$

将公式Z（x，t）代入无限波，并使用上述指示的快速计算，我们发现

$$

$$-（2 \ pi \ nu）^ 2（Z-Z_0）-（-cw ^ 2）（2 \ pi / \ lambda）^ 2（Z-Z_0）=-（2 \ pi \ mu）^ 2（ Z-Z_0）$$

将方程除以 $$$-（2 \ pi）^ 2（Z-Z_0）$我们得到

$$

$$\ nu ^ 2-cw ^ 2 / \ lambda ^ 2 = \ mu ^ 2$$

由于频率，速度和波长为正，我们可以提取平方根并得到

$$

$$\ nu = [（cw / \ lambda）^ 2 + \ mu ^ 2] ^ {1/2}$$

让我提醒您，y ^1/2与√y相同。

该公式与0类波的公式非常不同，其应用的后果也不同。

首先，运动方程式表明存在最小允许频率。 由于（cw /λ） ²始终为正，

$$

$$\ nu = [（cw / \ lambda）^ 2 + \ mu ^ 2] ^ {1/2}≥\ mu$$

为了接近ν=μ，有必要增加λ。 对于非常大的波长，频率接近μ，但不能变小。 对于0级波浪，情况并非如此。 它们的ν= cw /λ，因此对他们来说，做的λ越多，ν越接近零。 对于1类波，任何大于μ的ν值都是可能的。

其次，我们发现了证据，所有0类的波都具有相同的速度，但不适用于1类的波。如果取ν，则它可以工作的唯一选择是远大于μ。 为此，我们需要使λ非常小（因此，1 /λ非常大）。 在这种情况下

$$

$$\ nu = [（cw / \ lambda）^ 2 + \ mu ^ 2] ^ {1/2}≈cw / \ lambda$$

即，在非常大的频率和较小的波长下，1类波在频率和波长上的比率与0类波大约相同，因此，出于与0类波相同的原因，此类波将以一定速度移动。 ，（大约）等于cw。

对于这两类波，正确的是幅度A可以是任意大小，可以是任意大小，而与频率无关。


图 1.对于0级和1级波，运动方程式给出了频率或周期与波长或1 /波长之间的关系。 每个图形都根据运动方程式显示这些值的关系。 三个图显示相同的内容，但是它们基于不同的变量。 蓝线表示0类的波。红色表示1类的波，当它们与蓝线重合时，在非常高的频率和短波长下其速度相同。 但是在以绿色标记的最小频率μ（最大周期为1 /μ）下，两条曲线随着波长的增加而发散。

细则：您可能已经注意到我有点作弊。 我没有计算第1类波浪的速度。事实是，这里有一个非常棘手的捕获物。 对于0级波浪，我根据山脊的运动计算了它们的速度。 之所以起作用，是因为在0级中，所有频率的波都以相同的速度传播。 但是，在1类或其他任何类型中，不同频率的波以不同的速度移动，实际波的速度并不取决于波峰的移动速度！ 事实证明，脊的移动速度比cw快，但波速小于cw。 为了理解这一点，有必要使用非常不明显的逻辑以及“组”和“相位”速度之间的差异。 我将绕过这个技巧； 我只是想提请您注意它的存在，以免您误解。

关于经典浪潮的最终评论

您可以找到许多熟悉的0级波示例，包括空气，水或金属中的声音（其中cw是材料中声波的速度），光和其他电磁波（其中cw =真空中的c），以及绳索或弦上的波，如图。 2在上一篇文章中。 因此，在基础物理课程中讲授了0级波。 我无法举例说明日常生活中的第1类波浪，但是我们很快就会看到这些波浪对宇宙也很重要。

对于弹簧上质量为M的球的能量，我们有一个方便的公式E = 2π2ν2 A ² M。 其他振荡器的公式取决于它们的性质，但是它们的形状大致相同。 但是在波浪的情况下，我们没有提及它们的能量。 特别是因为我们研究了具有无限数量的山脊的波浪以简化数学。 直观地讲，某种能量必须存储在每个波峰和波谷的运动和形状中，并且波峰和波谷的数量不限时，波中的能量将是无限的。 有两种解决方法。 确切的公式取决于波浪的类型，但让我们看一下绳索上的0级波浪。

•当然，每个波长的能量（存储在点x和点x +λ之间）等于2π2ν2 A ² _Mλ ，其中_Mλ是长度为λ的绳索段的质量。
•实际上，波浪不是无限的。 作为几个脊和凹陷的冲动，如图所示。 2在上一篇文章中，任何波浪都是有限的，它将具有有限数量的脊和凹陷。 如果它延伸到长度L，即具有L /λ脊，则传递给它的能量将是2π2ν2 A ² M _L ，其中M _L是长度为L的一根绳索的质量。仅是L /λ，乘以一个波长的能量。

对于从绳索中传播出来的波，方程式的细节将有所不同，但是简单振荡系统的每波长能量将始终与ν2 A ²成正比。

在1类中，有一个非常有趣的波，在0类中不存在。当ν=μ（最小值）且λ=无穷大时就是这种情况。 在这种情况下，波采取以下形式

$$

$$Z（x，t）= Z_0 + A cos（2 \ pi \ mu t）$$

该波在任何时候都不依赖于x，也就是说，Z（x，t）在整个空间上都是常数，并且Z随时间振动，就像弹簧上的球的频率为μ。 这样的驻波，如图1所示。 2，在进一步考虑时将非常重要。


图 2

量子波

对于弹簧上的球，经典系统和量子系统之间的区别在于，在第一种情况下，振幅可以取任意值，例如能量，而在量子情况下，振幅和能量可以量化。 对于任何类似的振荡系统，其工作方式相同。 也许我们可以猜测，对于海浪来说也是如此……