1.
牛顿弹簧上的球2.
弹簧上的量子球3.
波浪，经典外观4.
波浪，经典的运动方程5.
量子波6.
领域7.
粒子是量子8.
粒子如何与场相互作用提醒：弹簧上的量子球
在该系列的
第一篇文章中 ，我们研究了刚度为K的弹簧上质量为M的球，并发现其振动：
•将有一个公式
z（t）=z0+Acos[2 pi nut] 。
•能源
E=2 pi2 nu2A2M 。
•运动方程
d2z/dt2=−K/M（z−z0）其中运动方程ν=√K / M /2π，但允许振幅A为任何正值。 然后，在
第二篇文章中，我们看到适用于振荡的量子力学限制了其振幅-它不再是振幅。 相反，它是量化的；它必须采用无限数量的离散量之一。
A=（1/2 pi） sqrt2nh/ nuM
其中n = 0、1、2、3或44，或者通常任何整数都大于或等于零。 特别地，A可以等于
（1/2 pi） sqrt2小时/ nuM ，但已经不能少了-只有零。 我们说n是球的振动量的数量。 现在还可以量化球的能量：
E=（n+1/2）h nu
这里最重要的是，要增加一个球的振动量子，则需要一个能量为hv的能量-我们可以说每个量子都转移了能量hv。
量子波
随着波涛，一切都基本相同。 对于频率ν和波长λ在平衡位置Z
0附近以幅度A振荡的波，
•运动方程：
Z（x，t）=Z0+Acos（2 pi[ nut−x/ lambda]） 。
•每个波长的能量：
2 pi2 nu2A2J lambda 。
（如果说的是绳子上的波浪，则
Jλ是一个常数，例如，取决于绳子），有几个可能的运动方程，我们将选择其中两个进行研究：
0类：d2Z/dt2−cw2d2Z/dx2=0
类1：d2Z/dt2−cw2d2Z/dx2=−（2 pi mu）2（Z−Z0）
同样，量子力学将幅度A限制为离散值。 就像弹簧振动一样
•一定频率和长度的一个简单波包含n个量子，
•幅度A的允许值与√n成正比，
•允许的能量值E与（n + 1/2）成正比。
更确切地说，关于弹簧上的球，
•允许的能量值E =（n + 1/2）hν
•每个波量子传递的能量为hν
用于表达A的公式非常复杂，因为我们需要知道波浪的长度，而确切的公式会过于混乱-因此，让我们编写一个表达正确思想的公式。 我们通过研究无限波获得了大多数公式，但是对于自然界中的任何实际波，持续时间都是有限的。 如果波长近似等于L，并且具有L /λ脊，则振幅近似等于
A =（1/2 \ pi）\ sqrt {\ frac {2 n h \ lambda} {\ nu L__ lambda}}
A =（1/2 \ pi）\ sqrt {\ frac {2 n h \ lambda} {\ nu L__ lambda}}
这是成比例的
sqrtnh/ nu 就像弹簧一样，但取决于L。波越长，其振幅就越小-因此，对于波的每个量子，能量始终等于hν。
就是这样-如下图所示。
左边是天真的波图像，其振幅与量子数量的平方根成比例，而其他振幅则不存在。 右边是一个不太天真的图像，其中考虑了量子世界中固有的量子振动。 即使在n = 0的情况下，也会存在一些振荡。
后果
这对于我们的0级和1级浪潮意味着什么？
由于0级波可以具有任何频率，因此它们可以具有任何能量。 即使对于一个很小的ε值，也总是可以制造一个0类波的量子，其频率为ν=ε/ h。 对于这么小的能量，该量子波将具有非常低的频率和非常长的波长，但是它可以存在。
满足1类方程的波则不然。 因为对于他们来说，存在一个最小频率νmin =μ，所以对于他们来说，还有一个最小能量的量子：
Emin=h numin=h mu
如果您的微小能量ε小于此数量，则无法产生这种波的量子。 对于所有具有有限波长和更高频率的1类波量子，E≥hμ。
总结
在我们开始考虑量子力学之前，波的振幅（例如弹簧上的球的振幅）可能会不断变化。 它们可以任意地变大或变小。 但是，量子力学暗示存在最小非零波振幅，就像弹簧上的球振动一样。 通常，振幅只能采用离散值。 允许的振幅使得对于弹簧上的球的振动以及对于具有一定频率ν的任何类别的波而言都如此
•要添加一个振动量子，则需要能量hν
•对于n个量子的振荡，振荡能量将等于（n + 1/2）hν
现在是时候将获得的知识应用于这些领域，看看何时以及如何将这些领域中的波量子解释为我们所谓的自然“粒子”。