几个世纪以来，我们一直在预测人数的限制，然后我们打破了这些记录。
要说
托马斯·马尔萨斯 （
Thomas Malthus ）不受欢迎，那太温柔了。 他19世纪的当代人
珀西·雪莱 （
Percy Shelley ）是一位受人尊敬的诗人，称他为太监和暴君。
威廉·戈德温 （
William Godwin） ，诗人的哲学家和岳父，称马尔萨斯为“一个黑暗而可怕的天才，时刻准备摧毁人类的所有希望”（
他的女儿玛丽·雪莱 （ Mary Shelley）发明了科学怪人和他的怪物-大约。 佩雷夫 ]。 正如马尔萨斯的传记作者后来写道，他是同龄人中最受虐待的人。 鉴于那是拿破仑·波拿巴的时代。
欺凌的催化剂是1798年出版的《人口法随笔》。 在其中，马尔萨斯（Malthus）是一个小型的英国小教堂，有32岁的卷曲牧师，批评了戈德温（Godwin）等乌托邦式的言论，他们认为理性和科学进步将导致摆脱不平等和苦难的理想社会。 马尔萨斯更加悲观。 他利用本杰明·富兰克林在美国收集的人口普查数据预测，“性激情”将很快导致人口超出其资源的限制，从而导致贫困和其他困难。 没有控制，人类将成倍增长，其数量每25年翻一番。 同时，农业单产每年最多也将线性增长。 100年后，英国的人口将增加16倍（1.12亿），但不到所需食物量的50％。
当然，这没有发生。 到1900年，英国人口仅增加了五倍，达到3500万人，其中大多数人没有挨饿[作者对
爱尔兰的饥荒保持谦卑的态度，这场
饥荒使多达150万爱尔兰人丧生，并从该国移民-大约更多。 翻译]。 但是马尔萨斯也预见到人口增长将会放缓。 据他介绍，为了防止过度增长和人口流失-臭名昭著的“
马尔萨斯灾难 ”-自然有两种类型的限制。 “预防性”检查会降低出生率：在困难时期和没有食物的情况下，男人将能够预见未来的困难，并延迟婚姻和家庭生活。 饥饿，疾病，谋杀，战争等“积极”检查会增加死亡率。 随着粮食生产赶上需求，竞争消退，家庭不断壮大。 因此，“需要，痛苦和对痛苦的恐惧的压迫法则”使人数在粮食供应领域同步波动。 令他的批评家感到厌恶的是，马尔萨斯用这种理论来批评旨在支持有需要的家庭的英国法律，该法律的规模与儿童的数量相对应。 马尔萨斯说，如果自然会践踏穷人，为什么应该鼓励穷人繁衍呢？
但是，马尔萨斯着眼于一个重要的收获。 如果大自然使我们生活在自己的能力范围内，那么马尔萨斯就严重低估了我们增加这些能力的能力。 1834年他去世时，欧洲发生了一场农业革命。 农民学会了种植更多的肉质和快速生长的牲畜，并种植了能补充枯竭土壤中氮含量的农作物。 随着工业革命的到来，还有煤犁和脱粒机。 在20世纪中叶，绿色革命催生了高性能种子和合成肥料。 与马尔萨斯的悲观预测相反，1900年至2000年间，世界人口增长了三倍，从1.6增至61亿，谷物产量增长了五倍，从4亿增至19亿吨。
除了饥饿在当地的个别表现外，人类迄今为止还能够逃脱马尔萨斯的命运。 地球现在养活着73亿人的生命，根据联合国报告，这一数字到2050年将增长到97亿，到本世纪末将增长到112亿。 如果行星具有最大容量，而它仍然是无法达到的。 马尔萨斯认为，这种限制不仅取决于我们的创造力，还取决于自然法则。
尽管批评家们拒绝了马尔萨斯的严厉悲观主义和残酷的社会政策，但他的想法仍然存在。 古典经济学家将它们运用在自由市场的捍卫资本主义中。 查尔斯·达尔文（Charles Darwin）和阿尔弗雷德·罗素·华莱士（Alfred Russell Wallace）引用了马尔萨斯（Malthus）一书，该书强调了生存的必然斗争，以此作为对进化论和自然选择论的确认。 但最重要的是，马尔萨斯影响了人口研究。 他的自然检查理论引起了现代人口学的发展，并因此寻求人类的最大发展。 “生态系统的潜在能力。”
1838年，比利时数学家Pierre Francois Ferhulst开发了马尔萨斯的著作，用数学术语阐述了他的理论。 马尔萨斯根据一个简单的公式来计算不受控制的增长：人口数量，是其人均增长的N倍，r（出生减去人均死亡）。 按照这种模式，人口将永远永远增长。 但是马尔萨斯说，资源减少最终将开始限制其增长。 为了解决此问题，Verhulst添加了另一个抑制因素，使增长率等于
在此模型中，[由于未知原因-大约 Verhulst称为“逻辑函数”，K表示系统的容量。 首先，正如马尔萨斯所言，增长加速了。 但是，随着人口规模N接近K，经济增长会放缓然后停止。
红色-指数增长达到无限（马尔萨斯），蓝色-Verhulst的逻辑函数，达到极限将此功能应用于比利时的人口趋势后，Verhulst确定该国的人口每年以2.6％的速度增长，最多将达到660万人。 但是他的预测很谨慎。 尽管该曲线与历史数据成功地吻合，但它是基于对人口性质的长期假设，这可能是错误的。 因此，两年后，他推迟了这一职能，并尝试了另一种方法，发布了人口增长率的最新描述：
校正后的模型也对应于历史数据，但在接近其极限时并不会放慢速度。 这使比利时的能力增加到940万人。 但是，这些估计的限制都没有实现（今天的该国人口为1100万）。 但是Verhulst从未制定可靠的数学理论。 甚至他的前任老师和竞争对手
阿道夫·奎特莱 （
Adolf Quetelet ）也批评他的工作没有给出人类行为的确切规律。 1849年Verhulst逝世后，后勤职能丧失了70年。
第一次世界大战期间，对人口增长的担忧再次浮出水面。 “人口压力永远是战争的主要原因，”生物学家雷蒙德·珀尔（Raymond Pearl）在其1925年出版的《人口增长生物学》中指出。 在战争期间，他是美国食品质量局（US Food Quality Authority）的首席统计师，他必须监视士兵的粮食供应是否充足，并直接观察马尔萨斯（Malthus）预测的经济困难。 战后，他与统计学家洛厄尔·里德（Lowell Reed）一起开发了“对数曲线”来研究人口变化。
尽管当时研究人员还不知道这一点，但他们再次遇到了Verhulst早已被人们遗忘的物流功能。 当他们将曲线与1790年至1910年的美国人口数据进行比较时，他们发现了令人惊讶的精确匹配。 但是他们对潜在产能的假设并不比Verhulst更好。 他们得出的结论是，尽管美国的这一数字早在1968年就已经超过了人口的总数，但美国的人口上限仍然是2亿，而现在居住在该国的人口已经达到3.19亿，后来，Pearl估计世界人口限制为20亿，到1930年世界已经克服了这一限制。
在随后的几十年中，对潜在容量的估计接after而至。 1995年，纽约罗维勒大学的数学家乔尔·科恩（Joel Cohen）汇总了当时存在的数十种全球预测，发现它们彼此之间有很大的不同，从不到10亿人口到超过1万亿人口。 最早的预报（例如Pearl的预报）的预报所涉及的人数要比1995年之前已经生活在地球上的60亿人少得多。
根据科恩的说法，他们的失败源于对资源的固定限制的假设，因此也就取决于潜在的能力。 指数K是一个常数；它从未改变。 这个假设忽略了创新的存在。 科恩在《科学》杂志上写道：“您需要了解，正如布什总统所说的那样，每个人不仅是要喂食的嘴，而且是可以工作的手。” “其他人从田野中清除石头，修建灌溉渠，发现矿床和抗生素，发明蒸汽机； 但是他们也砍伐了森林，造成了土壤侵蚀，产生了
氯氟烃和p。 其他人可以增加或减少资本，增加或减少地球的潜在容量。”
这是早期人口模型中所缺少的：人们不仅从不变的供给中获取资源，还通过创新创造新的资源。
1960年，伊利诺伊大学的
海因茨·冯·福斯特 （
Heinz vonFörster）及其同事是最早考虑到人类创造力的人口统计学家。 他们调整了逻辑函数，以便其潜在容量随人口增长而变化，从而导致出现以下公式：
常数d表示人类对一组资源的影响。 根据历史数据，研究人员得出的结论是d为1.01，这意味着该集合正在增长。 随着人口的增长，他养活自己的能力也随之增加，这就是避免马尔萨斯沦陷的原因。 提出了一种数值确定创新影响的方法，而以前的模型则没有。
然而，未来并非空想。 解决了他们的人口规模为N的增长方程后，研究人员得出结论，t N年将成比例
随着时间的流逝，当t越来越接近2026.87时，人口将越来越多。 此时，分数的底部将变为零，因此总体的大小将变为无穷大。 结果，研究小组预测世界末日将在公元2026年到来。
具有讽刺意味的是，确切的日期是11月13日，星期五。 但是福斯特（Förster）的观察表明，创新可以以难以预测的方式改变增长方式，资源是人口规模的函数。
在世界上人口最稠密的城市之一孟买（以前是孟买），一平方英里上有50,000人居住。技术不仅会影响人类可用的资源数量，而且还会影响人类的生命。 这也增加了共享这些资源的重要性。 考虑空间问题。 珀尔（Pearl）在1920年所做的计算表明，最后，在美国每平方英里必须容纳4,000人-他认为这样的人口密度“显然是荒谬的”。 但是，由于多层建筑和每间公寓的污水处理等发明，许多城市已经克服了这一障碍。 在包括孟买和汉城在内的世界上人口最多的地方，每平方英里有40,000多人居住。 然而，他们仍然依赖于周边地区的土地来生产水，种植食物和创造能量。 城乡之间稳定的货物流通可以增加它们俩的潜在生产能力。 另一方面，如果它们中的任何一个缺少必要的资源，则两者都会受到影响。
各国也相互依赖：它们与其他国家进行贸易并共享全球资源，例如海洋，生物多样性和气候。 要了解一个特定国家的成长方式，需要研究其外部正在发生的事情。 例如，2013年，意大利帕多瓦大学的Samir Suweis通过分析其52个国家的水贸易网络，模拟了52个国家的潜在能力。 包括澳大利亚，巴西和美国在内的一些国家“水很丰富”，也就是说，它们可以创造自己的水和依赖水的食物。 其他国家，例如墨西哥和欧洲大部分地区，水资源匮乏。 他们依赖进口。
研究人员研究了两种可能的情况。 首先，他们建议，当水资源丰富的国家接近其极限时，它们将停止出口水，并开始积累水资源。 根据研究小组的计算，在这种情况下，依赖水的国家将在2030年达到顶峰。 但是，如果这些国家共同努力并继续以减少的库存进行贸易，那么整个网络将能够自给自足直到2060年。
马尔萨斯的苛刻预言有可能最终成真，但要延迟一百多年。 也许不是。 也许我们会找到一种脱盐的经济可行方法。 也许我们将学习如何在垂直农场种植所有粮食。 也许我们将开始殖民其他星球。 但是，对于下一代人口学家提出的新的，更高的限制，我们不仅必须创造一些东西：我们将必须共同努力。
亚当·库查尔斯基（Adam Kucharsky）在伦敦卫生与热带医学学院举办数学建模讲座。 2016年，他出版了第一本书《 理想的赌注：科学和数学如何消除赌博的运气 》。