泊松方程和玻尔兹曼分布（第2.1部分）

玻尔兹曼分布（第1部分）

在得出玻尔兹曼分布的结论并理解物理意义之前，有必要提供有关概率基本理论的初步信息。 事实是，正如您所知，我们观察到的宏观系统由许多较小的粒子组成，例如，任何物质都由原子组成，而原子又被分为原子核和电子，原子的原子核又分为质子和中子，以此类推。 在具有大量粒子的材料系统（在所谓的微系统中）中，单独考虑每个粒子是没有意义的，首先，因为没有人能够描述每个粒子（即使是现代超级计算机），其次，从原理上讲，它也不会给我们任何东西，因为宏系统的行为由平均参数来描述，我们将在后面看到。 拥有如此众多的粒子，对参数位于特定值范围内的概率感兴趣是有道理的。

因此，我们从概率论出发进行一些定义，然后，在必须解释麦克斯韦分布的情况下，我们将进行玻尔兹曼分布的分析。

在概率论中，有一个随机事件之类的东西-在某些经验中，这种现象要么发生，要么不发生。 例如，考虑一个包含分子A和一些分配体积的封闭盒子 $$$\三角洲\ tau$ 在此框中（请参见图1）。





图 1个

因此，随机事件将击中分配体积中的分子A $$$\三角洲\ tau$ ，或该分子在此体积中不存在（因为该分子移动了，并且在任何时候它都存在或不存在一定体积）。

随机事件的概率应理解为发生此事件的试验次数m与试验总数M之比，并且试验总数应很大。 我们不能在一次审判中谈论事件发生的可能性。 试验次数越多，事件发生的可能性就越准确。

在我们的案例中，分子A进入体积的概率 $$$\三角洲\ tau$ 等于：

$$

$$W（A）= \ frac {m} {M}，或W（A）= \ lim_ {M \ to \ infty} m / M$$

现在在同一框中考虑两个分配的卷 $$$\ Delta \ tau_1$ 和 $$$\ Delta \ tau_2$ （见图2）


图2

如果这两个体积不相交（请参见图2a），则分子A在某个时间点t可能在体积上 $$$\ Delta \ tau_1$ 或数量 $$$\ Delta \ tau_2$ 。 同时，一个分子不能位于两个不同的位置。 因此，当一个事件的实现排除了另一事件的实现时，我们引入了不兼容事件的概念。 在卷的情况下 $$$\ Delta \ tau_1$ 和 $$$\ Delta \ tau_2$ 相交（见图2b），即分子可以落入相交区域的概率，然后两个事件是相容的 。

分子A落入体积的概率 $$$\ Delta \ tau_1$ 等于：

$$

$$W（1）= m_1 / M$$

在哪里 $$$m_1$ -分子处于体积状态时的测试次数 $$$\ Delta \ tau_1$ 。 同样，分子A落入体积的可能性 $$$\ Delta \ tau_2$ 等于：

$$

$$W（2）= m_2 / M$$

此外，已经实现了分子落入两个体积中的至少一个的事件。 $$$m_1 + m_2$ 次。 因此，此事件的概率为：

$$

$$W = \ frac {m_1 + m_2} {M} = \ frac {m_1} {M} + \ frac {m_2} {M} = W（1）+ W（2）$$

因此，我们可以得出结论，一个不兼容事件的概率等于每个不兼容事件的概率之和。

一组完整的不兼容事件是这样的事件组合，其中一个事件的实现是可靠的，即 事件之一的概率为1。

如果事件之一具有相同值（即 所有事件的概率是相同的。

考虑最后一个示例，并介绍独立事件的概念。 假设第一个事件是在时间t的分子A处于体积中 $$$\ Delta \ tau_1$ ，第二个事件-另一个分子B进入体积 $$$\ Delta \ tau_2$ 。 如果分子B进入体积的概率 $$$\ Delta \ tau_2$ 这不取决于分子A是否在 $$$\ Delta \ tau_1$ 不论是否，这些事件都称为独立事件。

假设我们完成了总共n次测试，发现分子A为 $$$m_1$ 数量倍 $$$\ Delta \ tau_1$ 和分子B- $$$m_2$ 数量倍 $$$\ Delta \ tau_2$ ，则这些事件的概率等于：

$$

$$W（A）= \ frac {m_1} {n}，W（B）= \ frac {m_2} {n}$$

我们将从测试中 $$$m_1$ 为此A落入 $$$\ Delta \ tau_1$ B也参加的测试次数 $$$\ Delta \ tau_2$ 。 显然，选择的试验数量是 $$$m_1（\ frac {m_2} {n}）$ 。 因此，事件A和事件B共同实施的概率等于：

$$

$$W（AB）= \ frac {m_1（\ frac {m_2} {n}）} {n} = \ frac {m_1} {n} \ frac {m_2} {n} = W（A）W（B）$$

即 联合实施中独立事件的概率等于每个事件的概率乘积。

如果我们测量某个量，例如一个分子的速度或单个分子的能量，则该值可以采用数值轴上的任何实数值（包括负值），即 与我们上面所考虑的数量（所谓的离散数量）相比，该数量是连续的 。 这样的数量称为随机变量 。 对于连续随机变量，对给定值的概率感兴趣是错误的。 问题的正确表述是找出该数量在x到x + dx范围内的可能性。 该概率在数学上等于：

$$

$$dW = w（x）dx$$

w（x）是一个称为概率密度的函数。 它的维数是随机变量x的维数的倒数。

最后，仍然有必要说一件很明显的事情，即一个可靠事件的概率，或一整套不兼容事件的所有概率之和等于一个。
原则上，这些定义足以让我们展示麦克斯韦分布的推导，然后是玻尔兹曼分布的推导。

因此，我们将考虑一种理想的气体（它也可以是一种电子气体，其稀有程度使得电子的相互作用可以忽略不计）。 该气体的每个粒子的速度为v或动量 $$$p = m_0v$ 所有这些速度和冲动可以是任何东西。 因此，这些参数是随机变量，我们将对概率密度感兴趣 $$$w_p$ 。

此外，方便地介绍脉冲空间的概念。 我们沿着坐标系的轴推迟粒子动量的分量（见图3）。


图 3

我们需要找出脉冲的每个分量位于范围内的概率是多少：

$$

$$p_x \ div（p_x + dp_x）; p_y \ div（p_y + dp_y）; p_z \ div（p_z + dp_z）$$

也就是说，同样，向量p的末端在矩形体积dΩ中：

$$

$$d \ Omega = dp_xdp_ydp_z$$

麦克斯韦提出了两个假设，在此基础上他得出了动量的分布。 他建议：

A）空间中的所有方向都是相等的，此特性称为各向同性，尤其是概率密度各向同性 $$$w_p$ 。

B）粒子沿三个相互垂直的轴的运动是独立的，即 冲动价值 $$$p_x$ 不依赖于其他组件的价值 $$$p_y$ 和 $$$p_z$ 。

粒子沿不同方向移动，既沿正方向又沿负方向移动。 也就是说，例如，沿着x轴，脉冲值可以取值为 $$$p_x$ 所以和 $$$-p_x$ 。 但是概率密度是一个偶函数（即，对于自变量的负值，该函数为正），因此它取决于平方 $$$p_x$ ：

$$

$$w_ {px} = \ phi（p_x ^ 2）$$

从各向同性的属性（请参见上文），可以得出其他两个分量的概率密度表示为：

$$

$$w_ {py} = \ phi（p_y ^ 2）; w_ {pz} = \ phi（p_z ^ 2）$$

根据定义，动量p进入体积dΩ的概率等于：

$$

$$dW = w_pd \ Omega$$

回想一下，我们发现对于独立事件，该概率可以通过每个分量的事件概率的乘积表示：

$$

$$w_pd \ Omega = w_ {px} dp_xw_ {py} dp_yw_ {pz} dp_z = \ phi（p_x ^ 2）\ phi（p_y ^ 2）\ phi（p_z ^ 2）dp_xdp_ydp_z$$

因此：

$$

$$w_p = \ psi（p ^ 2）= \ phi（p_x ^ 2）\ phi（p_y ^ 2）\ phi（p_z ^ 2）$$

让我们对这个表达式进行对数并得到：

$$

$$ln \ psi = ln \ phi（p_x ^ 2）+ ln \ phi（p_y ^ 2）+ ln \ phi（p_z ^ 2）$$

然后，我们就 $$$p_x$ ：

$$

$$\ frac {\ psi ^ {'}} {\ psi} 2p_x = \ frac {\ phi ^ {'}} {\ phi} 2p_x$$

，其中质数表示相应函数相对于其复数自变量的导数。

将这个表达式简化为 $$$2p_x$ 我们得到：

$$

$$\ frac {\ psi ^ {'}（p ^ 2）} {\ psi（p ^ 2）} = \ frac {\ phi ^ {'}（p_x ^ 2）} {\ phi（p_x ^ 2）}$$

分别适用于脉冲的其他分量，我们获得：

$$

$$\ frac {\ psi ^ {'}（p ^ 2）} {\ psi（p ^ 2）} = \ frac {\ phi ^ {'}（p_y ^ 2）} {\ phi（p_y ^ 2）} ; \ frac {\ psi ^ {'}（p ^ 2）} {\ psi（p ^ 2）} = \ frac {\ phi ^ {'}（p_z ^ 2）} {\ phi（p_z ^ 2）}$$

这意味着重要的关系：

$$

$$\ frac {\ phi ^ {'}（p_x ^ 2）} {\ phi（p_x ^ 2）} = \ frac {\ phi ^ {'}（p_y ^ 2）} {\ phi（p_y ^ 2）} = \ frac {\ phi ^ {'}（p_z ^ 2）} {\ phi（p_z ^ 2）}$$

从这些表达式可以清楚地看出，该函数的导数相对于动量的一个或另一个分量的函数的关系分别是一个常数，我们可以写如下（我们将常数表示为 $$$-\ beta$ ）：

$$

$$\ frac {\ phi ^ {'}（p_x ^ 2）} {\ phi（p_x ^ 2）} =-\ beta$$

解决这个微分方程，我们获得（如何求解这些方程可以在任何有关普通微分方程的教科书中找到）：

$$

$$\ phi（p_x ^ 2）= Ce ^ {-\ beta p_x ^ 2}$$

其中C和β是我们尚未得出的常数（在下一篇文章中）。 因此，从各向同性和沿坐标轴运动的独立性的条件，可以得出 $$$dW_ {px}$ 动量的那一部分 $$$p_x$ 将在间隔 $$$dp_x$ 由比例确定：

$$

$$dW_ {px} = Ce ^ {-\ beta p_x ^ 2} dp_x$$

，并且脉冲将在体积dΩ中的概率dW为（记住独立事件的概率的乘积）：

$$

$$dW = C ^ 3e ^ {-\ beta p ^ 2} d \ Omega$$

在下一篇文章中，我们将完成麦克斯韦分布的推导，找出该分布的物理含义，并直接进行玻耳兹曼分布的推导。