在第四本书
《欧几里得的
开始》中 ，这是一本有关几何的文本，已有2300年的历史，其中指出了在圆内构造15面多边形的迹象。 第一步是几何学的学生所熟知的：建立一个等边三角形和一个正五边形，以使它们的顶点位于一个圆上，并且两个图形都有一个共同的顶点。 除文本指示外，
“开头”还包含说明该方法的图形。
在梵蒂冈图书馆中存储的最古老的《起点》的完整副本中， 这是九世纪的手稿，其中的线段被绘制并删除。 图片来自美国国会图书馆在线目录，版画和照片部。不可能找出欧几里得本人的原始设计是什么样子，但是在幸存的手稿中，五角形等几何图形的显示却揭示出惊人的变化。 对于现代观察者来说，这种变化似乎是错误的：在某些中世纪版本的文本中，线段的长度错误。 在九世纪的手稿中，梵蒂冈图书馆中存储的
《起点》的最旧副本被绘制并删除。 在牛津大学的另一本九世纪著作中，圆圈内五边形的侧面是弯曲且凌乱的，而不是笔直的。 曲线在十二世纪的巴黎人文物中也使用过，但与旧的牛津版相比，曲折的弯曲度略低。 十一世纪或十二世纪的文字存储在维也纳，原始线条的长度正确且笔直，但后来有人在其中添加了弯曲的线段（1）。
起点很有趣，但这不是唯一的图纸中有问题的历史科学著作。 事实证明，它们是在伊本·海桑，阿基米德，亚里士多德和托勒密的作品的复制本中找到的。 在这些变体中，有实际上并不平行的平行线，标记错误的形状，相等的线段或角度绘制的不相等，或者看起来不相等的不相等角度。 例如，在10世纪Palimpsest阿基米德手稿中，等腰三角形用于表示副足。 这似乎是简单的历史怪诞，但一些研究人员在图纸中发现了关于千年来数学发展的有趣提示。
可视化
研究人员开始研究这些变化，以发现数学思想如何传播，并了解不同的人如何处理这一主题。 传统上，研究古希腊文字的数学史学家将重点放在单词和数字上，并跳过绘图作为文字的简单插图。 东京早稻田大学的科学历史学家内森·西多利（Nathan Sidoli）和大阪府立大学的同事Ken Saito表示，他们注意到2012年论文中八边形的示意图发生了变化以及其他证据，由于对文本的关注，我们跳过了部分故事（1）。
数学中包含大量抽象，并且随着时间的流逝，人们发现了许多可视化这些抽象的方法。 Sidoli说：“从我们的青年时代，我们就学会了以某种视觉方式理解通用概念。” “通过查看这些作品，我们可以提醒自己，这不是一种普遍的观看方式。”
绘图和图表已成为人类数千年历史中数学的一部分。 巴比伦人计算了平方根，并在毕达哥拉斯或欧几里得之前的一千多年前就知道了勾股定理的原理。 可以追溯到公元前17世纪的泥板，上面画出一个正方形及其对角线以及相应数字的图画，可以作为证据。 耶鲁大学政治学，计算机科学和统计学教授，数据可视化先驱爱德华·塔夫蒂（Edward Tufty）将这款平板电脑称为巴比伦人知识的“图形见证”。
一些研究人员认为，尽管有很多缺点，但绘画本身可以成为数学的一个组成部分，并在几个世纪之间成为信息的载体。 如果出现在一个副本中的错误扩展到了后续版本，则表明人口普查人员不懂数学或不欣赏准确性。 另一方面，一些专家使用蓝图来补充
《原理》中阐述的知识。 例如，欧几里得仅描述锐角的特性，后来的抄写员可以为钝角和直角添加类似的特性。
这个“开始”片段是奥希里尼纸莎草纸的一部分，奥西里尼纸莎草纸是一组手稿，于1897年在埃及奥希里尼市附近的一个古老垃圾填埋场中发现。 大约2000年的文字是指“起点 ”第二卷的第五定理。 图片由Bill Casselman（温哥华，不列颠哥伦比亚大学）提供。读者干预
至少有上百种出版物出版了
《起点》 ，共十三册，直到上个世纪为止，就销量而言，它是世界第二大书籍。 （第一个是圣经。）但并不是
《原则》中的所有内容都是由欧几里德推论得出的。 这些书包含了当时古希腊人所知道的数学知识的集合。 物理学家斯蒂芬·霍金称欧几里得为“有史以来最伟大的数学百科全书”，并将其与诺亚·韦伯斯特（Noah Webster）进行了比较，后者编写了第一本英语词典（2）。
“起点”是从古希腊语，阿拉伯语，拉丁语，希伯来语和其他语言翻译而来的。 增长和迁移过程中的领域以及其中的图纸都在发展。 读者在页边空白处进行注释并进行编辑。 随后的读者和翻译人员看到了手稿和附录，并根据与他们的时间相对应的内容进行了编辑。 这种互动记录在证据和
“起点”图纸的翻译中，用斯坦福大学研究生李延苏（Yensu Lee）的话来说，复制行为变成了一种转变行为。
Lee说：“我们很容易错过读者在创建图纸中的作用。”他强调，通过在笔记中做笔记，他们可以进行干预并做出贡献。 抄写员后来注意到了这些笔记。 Lee解释说：“如果他们认为边距图纸比主要图纸更重要，那么后代将把这些边际图纸变成主要图纸。” 这些视觉变化以无法通过文本传达的方式传达了数学思想。
称这种改变为错误会太普遍了。 某些更改应该是改进； 其他的则来自文化习俗。 例如，阿拉伯语文本是从右到左阅读的，因此在早期的
“ Beginnings”阿拉伯语版本中，图纸
的方向通常是镜像的-在古希腊手稿中向左打开的角在阿拉伯语版本中向右显示。 但是，当将这些阿拉伯语版本翻译成拉丁文时，一些抄写员并未扭转这些图画。
曾在加州大学伯克利分校工作的数学家罗宾·哈特斯霍恩（Robin Hartshorn）甚至声称，将图纸的更改视为编辑过程并不总是公平的。 即使具有所有这些弯曲和弯曲，五边形的图形仍传达了所需的含义。 他说，带有准确图纸的
“开始”邮票反映了时代的价值，但这种做法不符合以前的版本。 哈茨霍恩说：“我将其称为重绘图纸，以寻求寻求度量精度的现代数学家的品味。”
康奈尔大学（Cornell University）研究古代科学文献的科学历史学家考特尼·罗比（Courtney Roby）补充说：“这些都是针对并非总是容易以书面形式写成的概念的手绘蓝图。” “绘画是特定作者和抄写员的创作，他们的创造力，实验和变化。”
进化开始
从九世纪
开始 ，李一直从事手稿的创作，直到第一版印刷的
《起点》 （
The Beginnings）问世 ，该版本在印刷机发明后于1482年出现。 Lee说，从那时起，
Beginnings已成为许多欧洲大学的标准教科书，并且它们的绘图已成为教学工具。 结果，“在印刷文化时代，我们观察到的是完全不同类型的图纸，”李说，他对至少五种纸莎草纸，32种古希腊手稿，92种翻译手稿和32种Nachal版画进行了数字化。
直到十九世纪，欧几里得论文才被认为是严格而结构化的数学证据的模型。 从某种意义上讲，这些证明需要图纸。 加州大学哲学家约翰·玛玛（John Mumma）解释说：“没有蓝图，它们是没有用的。”他认为，
“起点”蓝图不仅是一种视觉教学工具，而且对于证明陈述本身也很重要（3）
在19世纪末和20世纪初，数学家对
“起点”的优越性提出
了质疑，
其部分原因是Euclid对图纸的依赖。 特别是，德国数学家戴维·希尔伯特（David Hilbert）呼吁对数学采取更正式的方法，仅使用逻辑而不要求图纸作为证明，他认为这是数学的“拐杖”。
约翰·穆玛说：“他们拒绝了欧几里德的“起点”，因为他们似乎并不十分严格。 “据信，他直观而过于宽松地使用了图纸。”
例如，在
“开始”中，有一张图显示了其他两个点之间的直线上的一个点。 希尔伯特需要不使用图纸就对他所谓的“中间性”进行分析性描述。 英国哲学家和逻辑学家贝特朗·罗素（Bertrand Russell）也批评了欧几里得的方法：他注意到许多古希腊证据是薄弱的，因为他们从图纸中而不是仅仅从逻辑中获得了推理的力量。 拉塞尔在1902年写道（4）：“即使没有得出的数字，正确的证据也必须保持有效，但是许多欧几里得证据没有通过这项检验。” （“
开始 ”中的第一个证明显示了如何使用两个相交的圆构造等腰三角形。但是，从图中可以证明交点是合理的，没有严格证明其存在。）
但是，许多现代数学史学家将欧几里得的方法视为另一种看待数学的方法-它不一定是弱点，因为它使用了绘图。 这些学者认为，图纸是证明，并且没有通用的方式来理解数学。 Mumma说：“实际上，我们可以完全使用图纸中的信息作为证据来理解一切。” “这不仅仅是一个例证。”
自1990年代以来，斯坦福大学的雷维尔·内茨（Revil Netz）和匹兹堡大学的肯尼斯·曼德斯（Kenneth Manders）指出，古代的数学绘画应从不同的角度来看，这是1990年代以来现代研究的大部分时间都集中在绘画上。 内茨说，研究领域集中在两个方面：大多数图形表示和人们如何使用图纸（5、6）。 他认为，斯坦福大学的Lee在比较不同世纪的图纸时所做的工作结合了这两个方面，从而使您可以扩展研究领域。
内茨（Netz）说，李的工作将帮助历史学家理解“科学如何从古希腊人的理论几何学转向……对于现实世界更实际地应用几何学”。
在
《开端》之后，李想分析欧几里得的
《光学 》一书中的蓝图，这是光物理的早期作品，然后重点研究托勒密和阿基米德的作品。 他希望他的研究将引起历史学家，哲学家和数学家的兴趣，以分析人们如何使用（并继续使用）图纸来研究深刻的数学思想。 他说：“我们倾向于摆脱蓝图。” “但是一些想法无法在文本中传达。 它们必须以图形方式传输。”
参考文献
- Saito K，Sidoli N（2012）古希腊数学中的图和论点：从手稿图与现代批判版比较中获得的经验教训。 古代传统的数学证明历史，Chemla K编（剑桥大学出版社，英国剑桥），第135–162页。 谷歌学者
- 霍金·S（Hawking S），编辑（2002年），《巨人的肩膀》（费城，跑步出版社）。 谷歌学者
- Mumma J（2010）证明，图片和Euclid。 合成175：255-287。 CrossRef Web of Science Google学术搜索
- 罗素B（1902）欧几里得的教teaching。 《俄罗斯天然气杂志》 2：165–167。 谷歌学者
- Netz R（1998）希腊数学图：它们的使用及其含义。 学习数学18：33–39。 谷歌学者
- Manders K（1995）基于图的几何实践。 数学实践哲学，Mancosu P（牛津牛津大学出版社），第65–79页。 谷歌学者